Лабораторная работа №4. Экстраполяция тенденций изменения

Социально-экономических показателей деловой среды

На основе адаптивных моделей

Задание:для зависимой переменной Y(t) построить адаптивную модель Брауна, параметры модели оценить с помощью метода наименьших квадратов. Оценить качество построенной модели (провести исследования адекватности и точности модели). Варианты заданий приведены в таблице 15.

Порядок выполнения работы

1 Для лучшего отображения особенностей изменения исследуемого показателя в конце периода наблюдения целесообразно использовать адаптивные модели, каждая из которых имеет определенный механизм приспособления к новым условиям. Общим для всех моделей этой группы является придание наибольшего веса последним наблюдениям при оценке параметров.

Для исследования динамики развития воспользуемся одной из таких моделей - моделью Брауна. Расчетное значение в момент времени t получается по формуле:

Y_p(t) = a₀ (t-1)+ a₁ (t-1)k (t = 1,2,...,N), (20)

где k -количество шагов прогнозирования (обычно k=1).

Это значение сравнивается с фактическим уровнем и полученная ошибка прогноза E(t)= Y(t)-Y_p(t) используется для корректировки модели. Корректировка параметров осуществляется по формулам:

a₀(t)= a₀(t-1)+a₁(t-1)+E(t)(1-β²) (21)

a₁(t)= a₁(t-1)+ E(t)(1-β)², (22)

где β - коэффициент дисконтирования данных, отражающий большую степень доверия к более поздним данным. Его значение должно быть в интервале от 0 до 1.

Такой процесс модификации модели в зависимости от ее текущих прогнозных качеств обеспечивает адаптацию к новым закономерностям развития. Для прогнозирования используется модель, полученная на последнем шаге (при t=N).

Воспользуемся данной схемой адаптивного прогнозирования. Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам при помощи МНК (таблица 19).

Таблица 19 - Оценка начальных значений параметров модели

t	Y(t)	t-tcp	(t-tcp)2	Yt - Ycp	(t-tcp)(Yt - Ycp)
		-2		-15,6	31,2
		-1		-7,4	7,4
				-0,6	0,0
				9,6	9,6
				13,6	27,2
					75,4

Используя данные таблицы, получим:

Y_cp = 41,4

t_cp = 3

a₁(0)=7,5

a₀(0)=19,9

Примем k=1 и β =0,6. Расчет первых двух шагов приведен ниже, остальные отражены в таблице 17.

t=1 Y_p(1) =a₀(0) +a₁(0)k = 19,9 +7,5 1 = 27,4

E(1) = Y(1) - Y_p(1) = 25 - 27,5 = -2,4

a₀(1) = Y_p(1) + E(1)(1- β²) = 27,4 - 2,4 0,64 = 25,9

a₁(1) = a₁(0) + E(1)(1- β)² = 7,5 - 2,4* 0,16 = 7,1

t=2 Y_p(2) =a₀(1) +a₁(1)k = 25,9 +7,1*1 = 33,0

E(2) = Y(2) - Y_p(2) = 34 - 33,0 = 1,0

a₀(2) = Y_p(2) + E(2)(1- β²) = 33,0 +1,0 0,64 = 33,6

a₁(2) = a₁(1) + E(2)(1- β)² = 7,1+1,0 0,16 = 7,3

Таблица 20 - Оценка параметров модели

t	Факт Y(t)	a0(t)	a1(t)	Факт Yp(t)	Отклонение E(t)
	-	19,9	7,5	-	-
		25,9	7,1	27,4	-2,4
		33,6	7,3	33,0	1,0
		41,6	7,5	40,9	1,1
		50,0	7,7	49,1	1,9

Продолжение таблицы 20

		56,7	7,3	57,7	-2,7
		65,9	7,8	64,0	3,0
		73,3	7,7	73,7	-0,7
		77,8	6,9	81,0	-5,0
		82,3	6,3	84,7	-3,7

Таким образом, на последнем шаге получена модель:

Y_p(N+k) = 82,3 + 6,3 k. (23)

2 Оценка качества полученной модели на основе остаточной компоненты E(t) дает следующие результаты:

p = 4; d = 1,49; R_s = 2,8.

Сопоставив эти значения с критическими уровнями, можно констатировать, что все свойства выполняются и, следовательно, построенная модель адекватна. Она имеет следующие точностные характеристики:

S = 2,9; E_OTH = 4,5%..

Прогнозные оценки по модели получаются путем подстановки в нее значения k=1 и k=2, а интервальные - по тем же формулам, что и для кривых роста.

Y_p(10) = 82,3 + 6,3 * 1 = 88,4

Y_p(11) = 82,3 + 6,3  2 = 94,5

U(1) = 3,7

U(2) = 4,0

Таблица 21 - Прогнозные оценки по модели Брауна

Время t	Шаг k	Прогноз Yp(t)	Нижняя граница	Верхняя граница
		88,4	84,1	92,1
		94,5	90,1	98,5

Учитывая адекватность построенной модели, можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей динамики развития прогнозируемая величина с вероятностью 70% попадет в интервал, образованный нижней и верхней границами.

Лабораторная работа №5. Экстраполяция тенденций изменения

Социально-экономических показателей деловой среды

На основе моделей регрессии

Задание:для зависимой переменной Y(t) построить линейную однопараметрическую модель регрессии, параметры которой оценить с помощью метода наименьших квадратов. Оценить качество построенной модели (провести исследования адекватности и точности модели). Рассчитать парный коэффициент корреляции переменных, коэффициент эластичности и бета-коэффициент. Варианты заданий приведены в таблице 15. В соответствии с ним из таблицы выбирается показатель Y(t), а данные фактора X(t) берутся из следующей по порядку строки.

Порядок выполнения работы

Для исследования динамики изменения сдачи в эксплуатацию жилых домов в регионе (за счет всех источников финансирования), тыс. м² общей площади, построим однофакторную линейную регрессионную модель:

Y(t) = a₀ + a₁X(t), t = 1,2,...,N. (24)

Таблица 22 - Оценка параметров уравнения регрессии

t	Y(t)	X(t)	X(t) - Xcp	(X(t) - Xcp)2	Y(t) - Ycp	(Y(t) - Ycp)2	(X(t-Xcp) (Y(t)-Ycp)	Расчет Yp(t)	Отклонение E(t)
			-9		-31			31,7	-6,7
			-7		-22			37,1	-3,1
			-4		-14			45,2	-3,2
			-6		-5			39,8	11,2
					-1			56,0	-1,0
								64,1	2,9
								74,	-1,9
								69,5	6,5
								85,7	-4,7
Σ								-

Оценка параметров модели регрессии осуществляется по МНК на основе следующих формул:

, (25)

a₀ = Y_cp - a₁X_cp.

Получаем a₁ = 2,7

a₀ = -89,8.

Y_p(t) = -89,8 + 2,7X(t)

Оценка качества модели на основе остаточной компоненты E(t) дает следующие результаты: p = 7; d = 2,26 (d = 1,74); RS = 3,1.

Сопоставив эти значения с критическими уровнями, можно констатировать, что все свойства выполняются и, следовательно, построенная модель адекватна.

Характеристики точности S = 5,8; E_OTH = 8,8% дают не очень хорошие результаты.

Модель можно использовать для анализа, она эффективна для получения прогнозных оценок.

3 На основании данных (таблица 22) о динамике изменения двух показателей Y(t), X(t) за девять периодов оценим величину влияния фактора на исследуемый показатель при помощи коэффициента парной корреляции:

(26)

r_y,x = 0,955

Значение коэффициента корреляции свидетельствует о сильной прямой зависимости двух исследуемых показателей.

Коэффициент детерминации:

(27)

.

Коэффициент детерминации показывает, что более 91% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием исключенного фактора.

Коэффициент эластичности:

Э = a₁ X_cp / Y_cp (28)

Э = 2,6

Коэффициент эластичности показывает, что при изменении фактора на один процент среднедневная зарплата увеличится на 2,6%.

Бета-коэффициент:

β = a₁ *S_x / S_y (29)

β =0,95

Бета-коэффициент свидетельствует о том, что при возрастании фактора будет возрастать эффективность исследуемой зарплаты, но риск инвестиций в нее несколько меньше среднерыночного.

Прогнозные значения фактора X(t) определим на основе величины его среднего прироста по соотношению:

X_p(N+k) = X(N) + k САП, (30)

САП = (X(N) - X(1)) / (N -1) (31)

CАП = 2,5

X_p(10) = 67,5

X_p(11) = 70,0

Для получения прогнозных оценок зависимостей переменной по модели подставим в нее найденные прогнозные значения фактора:

Y_p(10) = - 89,8 + 2,7 67,5 = 92,5 (t = 10),

Y_p(11) = - 89,8 + 2,7*70,0 = 99,2 (t = 11)

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

верхняя граница прогноза: Y_p(N+k) + U(k)

нижняя граница прогноза: Y_p(N+k) - U(k)

Для линейной модели регрессии величина U(k) имеет вид:

U(k) = S K_p . (32)

Для прогноза на два шага имеем:

U(1) = 7,7

U(2) = 8,1

Таблица 23 - Прогнозные оценки по модели Брауна

Время t	Шаг k	Прогноз Yp(t)	Нижняя граница	Верхняя граница
		92,5	84,8	100,2
		99,2	91,1	107,3

Таблица 24 - Сводная таблица результатов исследования

Модель	Остаточная компонента	Адекватность	Se	χ EOTH χ , %
Независимость	Случайность	Нормальность
Y(t)=20,0 +7,2t	да	да	нет	не полностью	1,8	3,7
Y(t)=82,3+6,3t	да	да	да	да	2,9	4,5
Y(t)=-89,8+2,7X(t)	да	да	да	да	5,8	8,8

Выводы:

Сравнивая точечные прогнозные оценки модели регрессии с оценками по линейной временной модели, можно отметить их явную близость, однако доверительный интервал регрессионной модели заметно шире, что снижает ее практическую значимость. Адаптивная модель статистически полностью адекватна и имеет достаточно высокие точностные характеристики. Ее результаты можно взять в качестве прогноза.