Що пропонуються студентам на екзамен з математики для економістів

(І курс, ІІ семестр)

1. Дана функція . Дослідити її неперервність в точці х=1 і нарисувати ескіз графіку в околі цієї точки.

2. Дана функція . Записати прирости функції Δy в точці х=0 для Δx>0 i Δх<0. Дослідити поведінку Δу при Δх→0 в цій точці і зробити висновки про неперервність функції.

3. Визначити точки розриву функцій: а) ; б) .

4. Визначити точки розриву функції .

5. Визначити проміжки неперервності функції .

6. Написати рівняння дотичної до графіку функції в точці з абсцисою х=2.

7. Для функції знайти точку х, в якій функція неперервна, але не диференційована.

8. Обчислити похідну функції .

9. Обчислити похідну , якщо

10. Обчислити , якщо функція y=f(x) задана неявно рівнянням .

11. Обчислити .

12. Знайти інтервали зростання і спадання функції .

13. Знайти екстремуми функції .

14. Знайти найбільше і найменше значення функції на проміжку [-1; 4].

15. Знайти точки перегину та інтервали опуклості і вгнутості графіка функції .

16. Функція попиту Q і пропозицій S мають вигляд Q=11-P, S=P+3. Визначити рівноважну ціну та еластичність попиту і пропозиції.

17. Обчислити диференціал функції . Знайти приріст ординати дотичної до графіку цієї функції в точці з абсцисою х=1 на проміжку [1; 1,4].

18. Для функції обчислити в точці х=1, що відповідає приросту ∆х=0,1 аргумента.

19. Записати dy через dv, du і dx, якщо y=ln(v+1), v=sin u, .

20. Обчислити наближено .

21. Знайти і зобразити на площині Оху область визначення функції .

22. Записати рівняння і зобразити на площині Оху лінії рівня функції z=y-x^2.

23. Обчислити .

24. Знайти і зобразити на площині Оху точки розриву функції .

25. Знайти частинні і повний прирости функції в точці х=1, у=1, що відповідають довільним приростам ∆х і ∆у аргументів х і у.

26. Показати, що функція задовольняє рівняння .

27. Обчислити частинні еластичності функції при х=1.

28. За допомогою диференціалу функції обчислити наближене значення .

29. Переконатися, що якщо .

30. Обчислити , якщо .

31. Знайти критичні точки екстремуму для функції .

32. Дослідити на екстремум функцію за допомогою .

33. Дослідити на екстремум функцію за допомогою .

34. Дослідити на екстремум функцію .

35. Знайти найбільше і найменше значення функції в області, яка обмежена лініями х=3, у=х, у=0.

36. Для функції знайти первісну F(x) таку, що F(0)=-2.

37. Обчислити .

38. Обчислити .

39. Обчислити .

40. Записати інтегральну суму для функції на проміжку [0, 1], поділивши його на n рівних частин і вибравши значення функції у лівому кінці кожного частинного проміжку.

41. Матеріальна точка рухається прямолінійно з швидкістю . Знайти шлях, пройдений точкою за час від t₁=1 до t₂=4.

42. Обчислити .

43. Обчислити .

44. Обчислити .

45. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями

46. Обчислити об’єм тіла, одержаного обертанням навколо осі Ох фігури, що обмежена лініями

47. Продуктивність праці у цеху змінюється за законом . Знайти обсяг продукції виробленої цехом за перші три години робочого дня.

48. Функція граничного прибутку змінюється за законом MPR=-0,02Q+10. Знайти додатковий прибуток при збільшенні обсягу реалізованої продукції від 100 до 200 одиниць.

49. Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність.

50. Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність.

51. Розв’язати диференціальне рівняння та знайти його частковий розв’язок:

52. Розв’язати диференціальне рівняння

53. Розв’язати диференціальне рівняння

54. Розв’язати диференціальне рівняння

55. Розв’язати диференціальне рівняння

56. Розв’язати диференціальне рівняння та знайти його частковий розв’язок:

57. Розв’язати диференціальне рівняння та знайти його частковий розв’язок:

58. Розв’язати диференціальне рівняння

59. Розв’язати диференціальне рівняння

60. Розв’язати диференціальне рівняння