Эластичность и ее применение в экономическом анализе

Важнейшим направлением применения дифференциального исчисления в экономике является введение с его помощью понятия эластичности. Коэффициент эластичности показывает относительное изменение исследуемого экономического показателя под действием единичного относительного изменения экономического фактора, от которого он зависит при неизменных остальных влияющих на него факторов.

Эластичность функции и ее геометрический смысл.Пусть величина у зависит от х, и эта зависимость описывается функцией . В силу функциональной зависимости, изменение независимой переменной х приводит к изменению переменной у. Встает вопрос, как измерить чувствительность зависимой переменной у к изменению х. Одним из показателей реагирования одной переменной на изменение другой служит производная

характеризующая скорость изменения функции у с изменением аргумента х. Однако в экономике этот показатель неудобен тем, что он зависит от выбора единиц измерения х и у. Поэтому для измерения чувствительности изменения функции к изменению аргумента в экономике изучают связь не абсолютных изменений переменных х и у ( и ), а их относительных или процентных изменений.

Эластичностью функции называется предел отношения относительных изменений переменных у и х.

Если эластичность изменения переменной у при изменении переменой х обозначить то, используя определение производной, получаем

где – маржинальное (предельное) значение функции f в точке х, – среднее значение функции в точке х. Эту эластичность называют также предельной или точечной эластичностью. Т.е. эластичность может быть выражена как отношение предельной (Mf ) и средней (Af ) величин.

Так как а то эластичность можно представить в форме «логарифмической производной»

Подобно производной, эластичность имеет простую геометрическую интерпретацию.

Рассмотрим убывающую вогнутую функцию (рис.26).

Рис. 26

Из подобия треугольников СВУ и САХ следует, что

Таким образом, т.е. геометрически эластичность убывающей функции равна отношению расстояний по касательной от точки С до ее пересечения с осями у и х, взятому, соответственно, со знаком “–” .

Свойства эластичности.

1. Эластичность – безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измерены величины у и х. .

2. Эластичность произведения двух функций и , зависящих от одного и того же аргумента х, равна сумме эластичностей:

3. Эластичность частного двух функций и , зависящих от одного и того же аргумента х, равна разности эластичностей

4. Эластичность суммы двух функций и может быть найдена по формуле: