Основные уравнения трендов

Аналитические выражения многочленов имеют вид:

y(t)=a +a t - первой степени;

y(t)=a +a t +a t - второй степени;

y(t)=a +a t +a t +a t - третьей степени.

В представленных многочленах параметры имеют конкретную физическую интерпретацию: a - скорость роста, a - ускорение роста, а - изменение ускорения, а - исходный уровень ряда.

Многочлен первой степени применяется для описания процессов равномерно развивающихся во времени. Парабола второй степени находит применение для равноускоренного снижения исследуемых процессов. Для параболы третьей степени характерно изменение знака прироста один или два раза. Многочлены второй и третьей степени приводятся к линейной форме путем замены переменных: t = t ; t = t

К числу наиболее часто используемых уравнений тренда для реализации функций прогнозирования относятся следующие уравнения:

Y(t)=ab простейшая экспоненциальная кривая;

Y(t)=k+ab модифицированная экспонента;

Y(t)=ab c логарифмическая парабола;

Y(t)=at степенная функция;

Y(t)=a+ гиперболическая кривая первого типа;

Y(t)= гиперболическая кривая второго типа;

Y(t)= гиперболическая кривая третьего типа.

y(t)=ka кривая Гомперца

y(t)=k+ab кривая Перла – Рида

Обе кривых путем некоторых преобразований сводятся к уравнению модифицированной экспоненты. Например, прологарифмировав выражение кривой Гомперца, получим: Ln y(t)=ln k+bt ln a

1.4. Производственная функция Кобба – Дугласа

Впервые производственная функция была построена в 1928 году для обрабатывающей промышленности США 1889 -1922 годы и носит имя ее авторов Ч. Кобба и П.Дугласа. Расчет параметров функции на основе статических данных позволил представить её в виде: . Эта, сегодня широко известная функция, обладает рядом замечательных свойств, которые можно легко экономически интерпретировать. При отсутствии ограничений функция Кобба – Дугласа для двух факторов имеет вид:

,где А, постоянные, определяемые на основе наблюдаемых данных; - выпуск продукции, -затраты труда, - затраты капитала.

Рассмотрим самый простой случай, когда . Определим предельные продукты труда и капитала. Предельный продукт труда равен:

предельный продукт капитала равен:

.

Относительное изменение продукта труда равно:

,

,

отсюда .

Таким образом, и представляют собой процентное изменение предельного продукта труда и предельного продукта капитала .

Если считать затраты капитала фиксированными, а затраты труда величиной переменной, то производственная функция становится функцией одной переменной. Тогда при бесконечно малом приращении становится , и в пределе выражение представляет отношение предельного изменение объема выпуска к предельному изменению затрат труда, которое показывает степень реакции объема выпуска к изменению затрат труда, то есть представляет частную эластичность выпуска от труда. Наоборот, если затраты труда фиксированы, то превращается в , а представляет частную эластичность выпуска продукции от капитала. Частная эластичность указывает на процентное изменение выпуска, приписываемое процентному изменению затрат труда при неизменности затрат капитала. Аналогично, является частной эластичностью выпуска от капитала.

Равенство демонстрирует важные зависимости. Так как есть предельная производительность труда, а - средняя производительность труда, то между ними существует пропорциональная связь и коэффициентом пропорциональности является эластичность выпуска по труду.

Аналогичная зависимость существует для капитала. Рассмотрим как функции. Определим вторые частные производные производственной функции. Вторая частная производная по переменной труд имеет вид:

= .

Вторая частная производная для переменной капитал:

=

Так как меньше единицы, поскольку , то . Отрицательные значения и представляют собой достаточные условия того, что, начиная с определенного значения, предельные продукты труда и капитала убывают при увеличении труда и капитала.

Поясним экономический смысл коэффициентов . Названные коэффициенты в сумме измеряют совокупное процентное изменение выпуска при данном процентном изменении затрат труда и капитала. Если , то объем выпуска возрастает ровно настолько, на сколько увеличиваются затраты труда и капитала, имеет место постоянная отдача от масштаба, и функция Кобба-Дугласа в таком случае является однородной. Например, труд и капитал возросли на 10%, тогда . Выпуск увеличился в раза.

Это свойство функции объясняет, почему относительные доли труда и капитала являются постоянными при любых изменениях относительной доступности капитала и труда, и почему существует «относительное» постоянство долей факторов в произведенном продукте в развитых странах (на протяжении последнего столетия).

Обратимся еще раз к предельной норме технологического замещения:

.

В условиях равновесия она равна отношению процента и ставки заработной платы . Тогда равенство имеет следующую интерпретацию:

. Откуда . При левая сторона представляет отношение доли дохода, полученного на капитал, к той доле, что приходится на труд, или отношению постоянных эластичностей выпуска, которые определяются технологией, лежащей в основе производственной функции Кобба–Дугласа. Если , то доля труда в доходе больше доли капитала, и наоборот. Если технология не меняется, то изменение отношения факторных цен вызывает компенсирующие отношения затрат факторов, а относительные доли факторов остаются постоянными и равными . Компенсирующее изменение состоит в том, что если цена капитала понижается, его потребляют больше и меньше потребляют труда, и наоборот, так что затраты факторов в денежной форме не меняются.

Приведенный анализ составляет основу большинства исследований распределения дохода. Это пример одного из практических применений производственной функции Кобба – Дугласа.

Задание

В качестве факторных моделей в работе используется производственная функция Кобба – Дугласа. Вид трендовой модели выбирается студентом из определенного исходного множества.

На базе заданного нормативного показателя изменения ресурсов определяется нормативный прогнозный ряд.

Контрольные вопросы

1.Расскажите об основных методах подбора кривых при выравнивании временного ряда.

2.Поясните идею применения метода наименьших квадратов при выравнивании временного ряда.

3.Укажите оптимальные оценки параметров, полученные с помощью метода наименьших квадратов при выравнивании ряда: линейной функцией; полином второй степени; показательной функцией.

4.Приведите математическую модель прогноза значений временного ряда, характеризующего изменения во времени некоторого экономического явления.

Список литературы

1. Балагин, В.В. Теоретические основы автоматизированного управления / В.В. Балагин. – Минск: Высш. шк., 1991.2. Германова, О.Е. Производственные функции: содержание и использование / О.Е. Германова. – Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовского ун-та, 1994.3. Ехлаков, Ю.П. Теоретические основы автоматизированного управления / Ю.П. Ехлаков, Г.А. Ходжаев. – Ставрополь: Изд-во Ставропольского ун-та, 1992.4. Перегудов, Ф.И. Введение в системный анализ / Ф.И. Перегудов, Ф.П. Тарасенко. – М.: Высш. шк., 1989.

Практическое занятие №7