Предмет математичного моделювання.

Безліч задач, з якими доводиться мати справи в повсякденній практиці, є богато варіантні.

Серед множини варіантів, в умовах ринкових відносин, доводиться відшукувати найкраще в деякому сенсі рішення, при обмеженнях, накладених на природні, економічні та технологічні відносини. Прийняття рішень відіграє велику роль у всіх сферах людської діяльності. Для постановки задачі ухвалення рішення необхідно мати дві умови:

· Наявність вибору;

· Наявність принципу, на підставі якого здійснюється вибір варіанта рішення.

На ранніх етапах розвитку суспільства доступний обсяг інформації, що використовувався для прийняття рішення, був невеликий. Тому оптимальне в певному сенсі рішення приймалося на підставі інтуїції і досвіду керівників, що приймали рішення, або просто за принципом вольового вибіру. Вольовий вибір часто використовується і сьогодні як єдино можливий при відсутності формалізованих моделей. При такому підході не було і не може бути ніякої впевненості в тому, що знайдений варіант – найкращий. При сьогоденних масштабах виробництва деякі незначні помилки приводять до значних втрат. В зв’язку з цим, виникла потреба при аналізі економічних систем у використанні математичного аппарату та обчислювальної техніки.

Чому ж традиційні методи управління економікою не дають оптимальних рішень?

Головні причини:

- Неповний обсяг інформації. Господарник часто не помічає недоліків інформації та приймає не найкраще рішення, оскільки велика доля інформації має ймовірний характер або невизначений характер.

- Замість єдиного варіанта господарського рішення стало можливим оцінювати декілька варіантів.

- Недостатня кваліфікація керівників приводить до неможливості сприйняти у повному обсязі всю інформацію.

- З зростанням обсягу інформації про досліджуване явище для ухвалення оптимального рішення став використовуватися ряд прямих розрахунків.

Так відбулося, наприклад, створення календарних планів роботи промислових підприємств. Розрахунок дає обгрунтування прийнятому рішенню, дозволяє порівняти рішення за ефективністю. Для порівняння різних варіантів потрібна деяка ознака, що зветься критерієм ефективності. Варіант для якого прийнятий критерій приймає найкраще значення називають оптимальним, а задачу ухвалення найкращого рішення – задачею оптимізації.

Протягом останніх декількох десятиліть у розвинутих країнах широко застосовують систему підтримки прийняття рішень (СППР), які в даний час інтенсивно впроваджують в нашій країні. СППР, крім программного забезпечення містять у собі банк економіко-математичних методів і моделей. Щоб ефективно застосовувати СППР, треба володіти методами математичного моделювання, вміти будувати економіко-математичні моделі, знати методи оптимізації економічних процесів та явищ.

Моделювання – це потужний засіб наукового пізнання для вирішення практичних задач.

Модель – зображення, умовний образ об’єкта дослідження, сконструйований для спрощення цього дослідження. Східність моделі з оригіналом завжди неповна.

Виділяють фізичне та математичне моделювання.

В основу фізичного моделювання покладено експеримент.

Математичне моделювання економічних систем є предметом нашого курсу.

Економіко – математичне моделювання – це опис та дослідження економічних систем, процесів та явищ.

Практичні задачі ЕММ можуть бути условно поділені на три класи:

· Аналіз економічних систем;

· Економічне прогнозування;

· Прийняття управлінських рішень на всіх рівнях економічних систем.

2. Класификація економіко – математичних моделей.

Формальна класіфикація моделей.

Ознака класифікації	Модель
1. Цільове призначення	Прикладні, теоретико-аналітичні
2. По типу зв’язків	Детерміновані, стохастичні
3. По фактору часу	Статичні, динамічні
4. По формі показників	Лінійні, нелінійні
5. По співвідношенню екзогених та ендогених змінних	Відкриті, закриті
6. По типу змінних	Дискретні, непреривні, смішані
7. По ступеню деталізації	Агреговані (макромоделі), деталізовані (мікромоделі)
8. По кількості зв’язків	Одношагові, многошагові
9. По формі подання інформації	Матричні, сіткові
10. По формі процеса	Аналітичні, графічні, логічні
11. По типу математичного апарату	Балансові, статистичні, оптимізаційні, имітаційні, змішані

В залежності від признаків системи, самі системи та ії моделі класіфікуються на:

1) динамічні та статичні;

2) стохастичні (ймовірнісні) та детерміновані (регулярні);

3) неперервні та дискретні;

4) лінійні та нелінійні.

По наявності зворотних зв’язків системи діляться на відкриті, закриті, комбіновані.

Відкриті:

Закриті:

Комбіновані:

Економічна система є частиною більш складної системи – соціально-економічної, та представляє собою ймовірностну, динамічну, адаптивную систему, охоплюючи процеси виробництва, обміну, розподілу та попиту матеріальних благ, а також представляти різні сфери послуг.

Як правило, вхідні потоки економічної системи – це матеріальні потоки виробничих та природних ресурсів, тобто Х. Вихідні потоки – це матеріальні потоки, обладнання, військова продукція, продукція накопичення, повернення та експорту, тобто Y.

Економічні системи – багатоступеневі , багаторівневі системи і люба невизначеність, випадковість в вхідних параметрах приводить до невизначеності та випадковості в вихідних параметрах підсистем та системи в цілому.

Структурна схема звичайної економічної системи

3. Задачі математичного програмування.

Задачі математичного програмування – це задачі на знаходження екстремальних значень деяких функціональних залежностей.

Математичне програмування (МП) представляє собою математичну дисципліну, яка вивчає екстремальні задачі та займається розробкою методів їх вирішення.

В загальному вигляді математична постановка екстремальної задачі полягає в пошуку максимального або мінімального значення функції цілі f(x) при умовах g_i(x)≤b_i, дє f та g_i – задані функції, а b_i – деякі дійсні числа.

Функцію, екстремальне значення якої треба знайти в умовах економічних можливостей, називають функцією цілі, показником ефективності або критерієм оптимальності.

Економічні можливості формалізуються у вигляді системи обмежень. Всі ці умови складають математичну модель задачі.

Математична модель задачі – це відображення орігиналу у вигляді функцій, рівнянь, неріностей, цифр і т.п.

Математична модель задачі МП включає:

1. Сукупність незалежних величин Х = (х₁,х₂,х₃…….х_n) діючі на яку, систему можна змінити. Їх називають планом задачі (вектором управління, рішенням, стратегією)

2. Цільова функція (функція цілі, показник ефективності, критерій оптимальності, функціонал задачі). Цільова функція позволяє вибрати найкращий варіант з багатьох можливих. Найкращий варіант доставляє цільовій функції екстремальне значення. Це може бути прибуток, об’єм випуску або реалізації, витрати виробництва, рівень обслуговування або дефіциту, відходи та інші.

3. Умови (або система обмежень), накладені на невідомі величини. Ці умови випливають з обмежень ресурсів, якими володіє товариство в будь-який момент часу, з необхідності задовольнити поточні потреби, з умов виробничих та технологічних процесів. Обмеженнями є не тільки матеріальні, фінансові та трудові ресурси. Такими можуть бути можливості технічного, технологічного та взагалі наукового потенціалу. Математично обмеження існують у вигляді рівнянь та нерівностей. Їх сукупність є множиною планів задачі.

4. Класифікація методів математичного програмування.

В залежності від властивостей функцій f та g_i математичне програмування можна розглядати як самостійну дисципліну, яка займається вивченням та розробкою методів рішення окремих класів задач.

На сам перед усі задачі МП можна поділити на задачі лінійного та нелінійного програмування. При цьому, якщо всі функції f та g_i лінійні, то задача є задачею лінійного програмування (ЛП). Якщо ж хоча б одна з цих функцій не лінійна, то така задача є задачею не лінійного програмування (НЛП)

Засновником ЛП є радянський математик-економіст Л.В. Канторовіч. (1939 р. наукова праця „Математичні методи організації та планування виробництва”).

Через 10 років американський математик Дж. Данціг розробив ефективний спосіб рішення даного класу задач – симплекс-метод. Вперше термін ЛП з’явився в 1951 році в працях Дж. Данціга та Т. Купманса.

Однак, при вирішенні ряду задач з’являються зв’язки не лінійного характеру. Тому вслід за розробкою моделей ЛП почалися інтенсивні дослідження не лінійних моделей.

Якщо в задачі МП цільова функція або хоча б одна з функцій обмежень нелінійна , то такий розділ МП називаеться нелінійним програмуванням (НЛП).

Якщо на всі або на деякі змінні накледені умови дискретності, наприклад, цілочисельності, то такі задачі розглядаються в розділі МП, який називається дискретним, окремо цілочисельним програмуванням.

Якщо параметри цільової функції або системи обмежень змінюються у часі або сам процес прийняття рішення має багатокроковий характер, то такі задачі вирішуються методами динамічного програмування.

В усіх наведених раніше розділах МП інформація звісна та достовірна. Такі методи оптимізації звуться детермінованими або методами існування рішень в умовах визначеності.

Якщо параметри, які належать функції цілі, або обмежень задачі є випадковими, або приймати рішення необхідно в умовах ризиків, то говорять про проблеми стохастичної оптимізації, а розділ називається стохастичним програмуванням (СП). В першу чергу слід віднести методи та моделі прийняття рішень в умовах конфліктних ситуацій (математична теорія ігор), в умовах неповної інформації (експертні оцінки), в умовах ризику (статистичні рішення) та інші.

Пізніше з’явились інші типи задач, які враховують специфіку цільової функції та системи обмежень, в зв’язку з чим виникли параметричне, дробово-лінійне, комбінаторне та інші типи програмування.

У випадку нелінійностей специфіка задач породила квадратичне, біквадратичне, сепарабельне, випукле та інші типи програмування.

З’явились численні методи пошуку оптимальних рішень: градієнтні, штрафних та барьєрних функцій, можливих напрямків, випадкового пошуку та інші.

Відзначимо, що задачі МП з однією цільовою функцією вирішуються методами скалярної оптимізації. Однак, реальні випадки настільки складні, що вимушені враховувати декілька цільових функцій, котрі повинні приймати екстремальні значення. Наприклад, дати продукції більше, високого гатунку з мінімальними витратами. Задача, де знаходять рішення по кільком цільовим функціям, відносять до векторної оптимізації – це задачі багатокритеріальні.

5. Задачі планування та організації виробництва.

5.1. Задача про максимальну рентабельність підприємства.

Нехай: m – кількість ресурсів; n – кількість товарів; а_ij – кількість одиниць i- го ресурсу, які необхідні для виробництва одиниці j – го товару; b_i – максимальна кількість одиниць i- го ресурсу, що можна використати у виробництві; с_j – прибуток від реалізації одиниці j – го товару; х_j – запланований рівень виробництва одиниць j – го товару.

Загальна кількість одиниць i- го ресурсу, що використовується у виробництві згідно з планом, дорівнює

а_i1x₁ + а_ij2x₂ +а_i3х₃ +_.........+ а_inх_n (i=1.2.3…..m) (1)

Оскільки вона не повинна перевищувати максимальної кількості одиниць i- го ресурсу, яку можна використати у виробництві, то

а_i1x₁ + а_ij2x₂ +а_i3х₃+_.........+ а_inх_n ≤ b_i (i=1.2.3…..m) (2)

Очевидно, що х_j≥0 (j=1.2.3…..n)

Прибуток, одержаний від виробництва х_j одиниць j – го товару, дорівнює с_j х_j, а загальний прибуток визначаємо за формулою

Z= c₁x₁ + c₂x₂+ c₃x₃ + ……… + c_nx_n →max (3)

З економічної точки зору задача полягає в тому, щоб загальний прибуток був максимальним.