Абсолютные и относительные величины

Основные вопросы: 1. Абсолютные статистические величины.

2. Виды абсолютных статистических величин.

3. Относительные величины.

4. Виды относительных величин.

1. Абсолютные статистические величины. Чтобы отразить размер, объем явлений в статистике применяются абсолютные величины. Абсолютная величина (А.В.) получается в результате сводки статистического материала. А.В. выражаются в различных единицах измерения – натуральных, стоимостных (денежных), условных, трудовых.

1) Натуральные единицы измерения характеризуют величину и размер изучаемых явлений. Они выражаются в метрах, тоннах, литрах и т.д. Натуральные единицы можно суммировать только по однородным продуктам, нельзя сложить тонны стали с метрами ткани.

2) Стоимостные единицы применяются для оценки в стоимостном выражении многих статистических показателей: размер розничного товарооборота, ВВП, доходы населения и т.д.

3) Условные. В ряде случаев не все виды однородной продукции можно суммировать. Нельзя суммировать мыло (т.к. оно имеет различный процент жирности), топливо (различную калорийность) и т.д. У.е.и. применяют для учета однородной продукции различных разновидностей. Например, консервы выпускают в банках разной емкости. Поэтому их считают в тысячах условных банок. За одну условную банку принят вес продукции нетто 400 гр.

4) Трудовые единицы измерения – человеко-часы, человеко-дни и т.п. Используются для измерения трудовых ресурсов, затрат труда.

2. Виды абсолютных статистических величин. По способу выражения:

1) Индивидуальные – А.В., характеризующие размеры признака у отдельных единиц совокупности (например, зарплата отдельного работника, размер посевной площади конкретного фермерского хозяйства). Они получаются непосредственно в процессе статистического наблюдения и фиксируются в первичных учетных документах.

2) Суммарные А.В. – выражают величину того или иного признака всех единиц изучаемой совокупности или отдельных ее групп и получаются в результате суммирования индивидуальных А.В. (зарплата по предприятию).

А.В. всегда являются именованными числами. Они выражаются в определенных единицах измерения (кг, шт., тонны, га, м и т.п.).

Пример: За отчетный период предприятие произвело следующие виды молочных продуктов:

Таблица 8

Виды продукции, %	Количество, л
Молоко 2,4 Молоко 3,2 Молоко 5 Кефир 1

Определить общее количество выработанной предприятием продукции в условно-натуральных единицах измерения. За условную единицу принять молоко 2,4% жирности.

Решение: Исчислим коэффициент перевода. Если условной единицей измерения является молоко 2,4% жирности, то это значение принимается равным единице. Тогда коэффициенты перевода условные единицы остальной продукции исчислим так:

Далее определим количество молочной продукции в условно-натуральных единицах измерения

Таблица 9

Виды продукции	Количество, л	Коэффициент перевода	Количество продукции в условно-натуральном исчислении, кг
Молоко 2,4% Молоко 3,2% Молоко 5% Кефир 1%		1,0 1,3 2,1 0,42
Итого:

Общий объем производства молочных продуктов в 2,4%-ом исчислении составил 1306 л.

В практической деятельности при отсутствии необходимой информации абсолютные величины получают расчетным путем, например на основе балансовой увязки:

где – запас на начало периода; – поступление за период; – расход за период; – запас на конец периода.

Отсюда .

Общий объем признака можно рассчитать и по данным о среднем значении и численности совокупности. Так, если в среднем число студентов в группе 25 чел., число групп студентов по данной специальности 12, то общая численность студентов, обучающихся по данной специальности .

Абсолютные статистические величины широко используют в анализе и прогнозировании состояния и развития явлений общественной жизни.

На основе А.В. исчисляют относительные величины.

3. Относительные величины (О.В.). Получаются в результате деления одной величины на другую. Числитель отношения – сравниваемая величина, ее называют текущей или отчетной величиной, знаменатель отношения называют базой сравнения или основанием сравнения.

Если база сравнения равна 100, то О.В. выражена в (%), если база сравнения 1 000 – промилле (‰), 10 000 – в продецимилле (‰0).

Сопоставляемые величины могут быть одноименными и разноименными. Если сравнивают одноименные величины, то их выражают в коэффициентах, процентах, промилле. При сопоставлении разноименных величин наименования относительных величин образуется от наименований сравниваемых величин: плотность населения – чел./км², урожайность – ц/га и т.д.

4. Виды относительных величин (показателей).

1) планового задания – ОППЗ;

2) выполнения плана – ОПВП;

3) динамики (ОПД);

4) структуры (d);

5) интенсивности и уровня развития;

6) координации (ОПК);

7) сравнения (ОПС).

1) ОППЗ – служит для планирования. Вычисляется отношением уровня, запланированного на предстоящий период (П), к уровню показателя, достигнутому в предыдущем периоде ( ):

Пример: в 4 кв. 2003 г. выпуск товаров и услуг составил 90 млн. руб., а в 1 кв. 2004 г. выпуск товаров и услуг планируется в объеме 108 млн. руб.

Определить относительную величину планового задания.

Решение:

Таким образом, в 1 кв. 2004 г. планируется увеличение выпуска товаров и услуг на 20 %.

2) ОПВП – служит для сравнения реально достигнутых результатов с намеченными ранее.

,

– достигнутый уровень в текущем периоде; – план на этот же период.

Пример: выпуск товаров и услуг в 1 кв. 2004 г. – 116,1 млн. руб. при плане 108,0 млн. руб.

Определить степень выполнения плана выпуска товаров и услуг в 1 кв. 2004 г.

Решение: .

План перевыполнен на 7,5%.

3) ОПД – характеризует изменение уровня какого-либо экономического явления во времени и получается делением уровня признака за определенный период или момент времени на уровень этого же показателя в предыдущий период или момент времени. По другому, их называют – темпом роста. Вычисляются в коэффициентах или %. (рассмотрим их позднее).

4) d – характеризуют состав изучаемой совокупности, доли, удельный вес элементов совокупности в общем итоге и представляют собой отношение части единиц совокупности ( ) ко всей численности единиц совокупности ( ):

Пример. По данным таблицы исчислить относительную величину структуры розничного товарооборота РФ по кварталам и за 2002 г.

Таблица 10

Показатель	Квартал	Всего за год, млн. руб.
I	II	III	IV
Оборот розничной торговли В том числе товаров: продовольственных непродовольственных	825,4   391,9 433,5	881,5   418,3 463,2	960,5   441,5 519,0	1086,2   493,9 592,3	3753,6   1745,6 2008,0

Решение: Рассчитаем относительные величины структуры розничного товарооборота за каждый квартал и в целом за год.

– продовольственные за 1 кв.

Остальное вычисляется аналогично (самостоятельно).

Данные занесем в таблицу.

Таблица 11

Показатель	Квартал	Всего за год, %
I	II	III	IV
Оборот розничной торговли В том числе товаров: продовольственных непродовольственных	47,5 52,5	47,5 52,5	46,0 54,0	45,5 54,5	46,5 53,5

Данные табл. Свидетельствуют о том, что во второй половине 2002 г. В РФ наметился рост доли продаж непродовольственных товаров.

5) Интенсивности и уровня развития – характеризуют степень насыщенности или развития данного явления в определенной среде, являются именованными и могут выражаться в кратных отношениях, %, ‰ и др. формах.

Пример: среднегодовая численность населения РФ в 2002 г. – 143,55 млн. чел., число родившихся – 1397,0 тыс. чел.

Определить число родившихся на каждую 1000 чел. населения.

Решение:

На каждую 1000 чел. В 2002 г. В РФ рождалось 9,7 чел.

6) ОПК – характеризует отношение частей изучаемой совокупности к одной из них, принятой за базу сравнения. Они показывают, во сколько раз одна часть совокупности больше другой, или сколько единиц одной части приходится на 1, 10, 100, 1000 единиц другой части. Эти относительные величины могут быть исчислены как по абсолютным показателям, так и по показателям структуры.

Пример: имеются следующие данные о численности студентов ИЭУП:

Показатели	Тыс. чел.
Студенты ИЭУП В том числе: Очники Заочники	15,8 10,6 5,2

Исчислить, сколько заочников приходится на 1000 очников.

Решение: чел. (т.е. на каждую 1000 очников приходится 490,6 заочников).

7) ОПС – характеризуют отношения одноименных абсолютных или относительных показателей, соответствующих одному и тому же периоду или моменту времени, но относящиеся к различным объектам или территориям.

Пример: Среднемноголетние запасы воды в Ладожском озере составили 911 куб. км, а в озере Байкал – 23 000 куб. км.

Найти относительную величину сравнения, приняв за базу сравнения запасы воды в Ладожском озере.

Решение: .

Следовательно, запас воды в озере Байкал в 25,5 раза больше чем в Ладожском озере.

Лекция 5

Средние величины

Основные вопросы: 1. Средняя величина. Виды средних величин.

2. Средняя арифметическая.

3. Средняя гармоническая.

4. Структурные средние.

5. Соотношения между средней арифметической, медианой и модой в статистических распределениях.

6. Средняя величина. Виды средних величин.

1. Средняя величина. Виды средних величин.

Определение: Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности.

Виды средних величин: 1) арифметическая;

2) гармоническая;

3) геометрическая;

4) квадратическая;

5) кубическая.

Все эти средние относятся к классу степенных средних и объединяются общей формулой (при различных значениях m):

,

где – среднее значение исследуемого явления;

– показатель степени средней;

– текущее значение осредняемого признака;

– число признаков.

В зависимости от значения показателя степени m различают следующие виды степенных средних:

при – средняя гармоническая ;

при – средняя геометрическая ;

при – средняя арифметическая ;

при – средняя квадратическая ;

при – средняя кубическая .

При использовании одних и тех же данных, чем больше m, тем больше значение средней величины:

– правило мажорантности средних.

Вид средней выбирается в каждом случае путем конкретного анализа изучаемой совокупности, он определяется материальным содержанием изучаемого явления.

2. Средняя арифметическая.

а) Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц (наиболее распространенная).

Пример: Используя пример 1 из лекции 2, рассчитаем средний производственный стаж работников:

года.

б) Средняя арифметическая взвешенная – средняя сгруппированных величин, вычисляется по формуле:

Пример.

Таблица 12

Группы работников по стажу, лет	Число работников в группе ( ), чел.	Середина интервала ( )
1 – 4 4 – 7 7 – 10		2,5 5,5 8,5	10,0 27,5 17,0
ИТОГО		-	54,5

В данном случае следует воспользоваться формулой средней арифметической взвешенной. Поскольку интервальные значения признака встречаются не один раз, и эти числа повторений (частоты) не одинаковы.

Конкретными значениями признака, которые должны непосредственно участвовать в расчетах, служат середины интервалов (но не средние в интервалах значения), а весами частоты.

лет.

Данный результат отличается от полученного, на основе средней арифметической простой. Это объясняется тем, что в расчете на основе ряда распределения мы располагаем не индивидуальными исходными данными, а лишь сведениями о величине середины интервала.

Часто приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним), т.е. среднюю из средних. Так, например, средняя продолжительность жизни граждан страны представляет собой среднее из средних продолжительностей жизни по отдельным регионам данной страны.

Среднее из средних величин вычисляется по следующей формуле, считая :

,

где – число единиц в каждой группе.

Свойства средних величин:

1. Если все индивидуальные значения признака уменьшить (увеличить) в раз, тогда среднее значение нового признака соответственно уменьшится (увеличится) в раз.

;

2. Если варианты осредняемого признака уменьшить (увеличить) на , то средняя арифметическая соответственно уменьшится (увеличится) на то же число .

3. Если веса всех усредняемых вариантов уменьшится (увеличится) в раз, то средняя арифметическая не изменится.

4. Сумма отклонений от средней равна нулю.

3. Средняя гармоническая. Применяется в тех случаях, когда не известны частоты по отдельным вариантам x совокупности, а представлено их произведение . Обозначим это произведение через , тогда получим формулу средней гармонической взвешенной:

.

является преобразованной формой и тождественна ей. Вместо всегда можно рассчитать , но для этого нужно определить веса отдельных значений признака, скрытые в весах средней гармонической.

Пример.

Таблица 13

Группы работников по стажу, лет	Середина интервала ( )	Общий стаж работы группы, лет ( )
1 – 4 4 – 7 7 – 10	2,5 5,5 8,5	10,0 27,5 17,0
ИТОГО:	–	54,5

Вычислим средний стаж рабочих по формуле средней гармонической:

лет.

В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице, применяется средняя гармоническая простая:

,

где – отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу,

– число вариантов.

Если по двум частям совокупности (численности и ) даны средние гармонические, то общую среднюю гармоническую по всей совокупности можно представить как взвешенную гармоническую среднюю из групповых средних:

.

4. Средняя геометрическая. Применяется, когда индивидуальные значения признака характеризует средний коэффициент роста (представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики). Вычисляется по формуле:

– число вариантов; – знак произведения.

Наиболее широко применяется для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения (рассмотрим ее применение позднее).

5. Средняя квадратическая и средняя кубическая.

– применяется для вычисления средней величины стороны n квадратных участков, диаметров труб и т.п.

простая вычисляется по формуле:

.

взвешенная:

где – веса.

применяется при определении средней стороны длины кубов.

– простая

– взвешенная.

Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов , а из их отклонений от средней при расчете показателей вариации.

6. Структурные средние. Помимо степенных средних в статистической практике используются структурные средние, в качестве которых рассматриваются мода и медиана. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака.

Определение: Мода ( )– значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью в дискретном вариационном ряду – вариант, имеющий наибольшую частоту.

Широко используется при изучении покупательского спроса, регистрации цен и т.п.

Формула для вычисления:

,

где – нижняя граница модального интервала;

– частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалом (соответственно).

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

Пример: По таблице рассчитаем моду.

Таблица 14

Группы работников по стажу, лет	Число работников в группе ( ), чел.	Середина интервала ( )
1 – 4 4 – 7 7 – 10		2,5 5,5 8,5	–1	–4
ИТОГО:		–	–	–2

.

Итак, часто встречаются рабочие со стажем 4,8 лет.

Определение: Медиана – варианта, которая находится в середине вариационного ряда.

Делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значением признака больше медианы.

Номер медианы для нечетного числа членов ряда вычисляется по формуле:

,

где – число членов ряда.

В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

Вычисляется медиана по формуле:

где – нижняя граница медианного интервала;

– медианный интервал;

– половина от общего числа наблюдений;

– сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;

– число наблюдений в медианном интервале.

Пример: По исходной таблице найдем медиану:

.

Следовательно, половина рабочих имеет стаж больше 4,6 года, а половина меньше этого значения.

7. Соотношения между средней арифметической, медианой и модой в статистических распределениях. Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить асимметрию ряда распределения.

Мода и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения.

Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части – квартили, на пять – квинтили, на десять – децили, на сто – перцентили.

Лекция 6