Выбор и обоснование формы уравнения регрессии

Выбор формы или класса уравнения, по которому будут проведены расчеты, равносилен выдвижению в общем виде некоторой гипотезы о форме связей, согласно которой будет исследована регрессионная связь между выбранными факторами и результирующим признаком.

Выбор той или иной формы связей определяется следующими соображениями:

- избранный тип уравнения регрессии должен отражать качественный характер экономических закономерностей, присущий изучаемым явлениям;

- для оценивания параметров методом наименьших квадратов необходимо использовать уравнения, которые по отношению к определяемым константам регрессии являются линейными или могут быть к таким приведены путем несложных преобразований;

- уравнение регрессии должно быть достаточно простым, т.е. не содержать слишком много констант.

Существует несколько способов установления формы связей, из которых наиболее простыми и надежными являются два:

- установление формы связи при помощи логического анализа, используя профессиональные знания об изучаемой проблеме;

- установление формы связи при помощи анализа регрессии и корреляции.

Рассмотрим несколько типов математических функций, которые часто используются в качестве общего типа взаимосвязи в экономике, наиболее распространенными функциями регрессионного анализа являются линейные функции типа:

(1)

Обратной по отношению к линейной функции является гиперболическая зависимость:

(2)

Характерное свойство гиперболы – наличие асимптот.

Близкой по своему характеру к гиперболической зависимости является полулогарифмическая функция:

(3)

График этой функции асимптот не имеет, но при больших значениях x зависимая переменная меняется незначительно.

В экономике широко применяются степенная и экспоненциальная функции:

(4)

Степенная и экспоненциальные функции такого рода путем логарифмирования могут быть применены к линейному по отношению к константам вида:

(5)

Логарифмически-линейная форма взаимосвязей используется тогда, когда по мере прироста абсолютной величины факторного признака его влияние на результативный признак снижается, но все же остается значимым при больших значениях x. В логарифмически-линейной функции пропорциональны относительные приращения факторного и результативного признаков.

До сих пор рассматривались кривые, равномерно возрастающие или убывающие во всей области существования исследуемых связей. Однако в экономике имеются связи, при которых определенному значению факторного признака соответствует минимальное или максимальное значение результативного. Такие связи называют экстремальными.

Для описания экстремальных связей может быть использовано уравнение второго порядка:

(6)

Этот тип связи имеет тот недостаток, что кривая по обе стороны от экстремума симметрична. В экономике таких связей почти нет. Более подходящей для правильного отображения экономических взаимосвязей является кинетическая функция:

(7)

Она приводится к линейному виду путем логарифмирования и в этом случае имеет вид:

(8)

Сложные уравнения нелинейной регрессии следует использовать только тогда, когда более простые уравнения выражают взаимосвязи недостаточно точно или вовсе неправильно. Если преимущество сложной формы необоснованно, следует применять более простую.

Определение параметров уравнения регрессии. Наиболее распространенным методом оценивания параметров регрессии является метод наименьших квадратов. Суть метода заключается в поиске таких значений параметров производственной функции, при которых сумма квадратов отклонений наблюдаемых и «теоретических» значений достигает минимальной величины. Метод может эффективно использоваться только при линейной форме связи результирующей переменной и факторов аргументов, кроме того, факторы-аргументы, включаемые в модель, линейно независимы; ошибка уравнения является случайной величиной с математическим ожиданием равным нулю и постоянной дисперсией; последовательные значения ошибок не зависят друг от друга.

В тех случаях, когда выбранные зависимости не удается путем логарифмирования свести к линейным относительно параметров выражениям, целесообразно использовать методы замены переменных.