Фінансові ренти (ануїтети) і їх практичне використання

Фінансовою рентою або ануїтетом називається ряд послідовних фіксованих платежів, що виконуються через рівні проміжки часу.

Фінансові ренти (ануїтети) характеризуються такими параметрами:

1) член ренти - величина кожного окремого платежу;

2) період ренти - часовий інтервал між двома платежами;

3) термін ренти - час від початку реалізації ренти до моменту нарахування останнього платежу;

4) процентна ставка - ставка, що використовується для розрахунку нарощування платежів, складових ренту.

Крім того, рента характеризується: кількістю платежів в рік, частотою нарахування відсотків, моментом виробництва платежу (на початку, середині або в кінці року) і так далі.

Узагальнюючими показниками ренти (ануїтету) є майбутня (нарощена) і поточна або справжня (приведена) її величина.

Майбутня вартість ануїтету - це сума всіх членів потоку платежів з нарахованими на них відсотками на кінець терміну, тобто на дату останньої виплати.

Для визначення майбутньої вартості звичайного ануїтету можна використовувати формулу:

(49)

де F - майбутня вартість звичайного ануїтету;

C - величина щорічного внеску (платежу);

T - термін ануїтету;

n - процентна ставка;

- коефіцієнт нарощування ануїтету.

У практиці фінансових розрахунків з використанням ануїтетів можуть бути різні варіанти рентних платежів і нарахування відсотків. Розглянемо 4 можливих варіантів ануїтетів.

1. Рентні платежі вносяться раз на рік, а відсотки на них нараховуються кілька разів на рік, наприклад, (m) разів на рік. В цьому випадку майбутня вартість ануїтету визначається по формулі:

(50)

2. Рентні платежі вносяться кілька разів протягом року рівними сумами, а нарахування відсотків проводиться один раз в кінці року. За таких умов майбутня вартість ануїтету може бути визначена:

, (51)

де р — число рентних платежів протягом року.

3. Рентні платежі вносяться (р) раз на рік, нарахування відсотків проводиться (m) раз на рік, число періодів нарахування відсотків протягом року рівне числу рентних платежів і перебіг року, тобто m = р. В цьому випадку майбутня вартість ануїтету визначається по формулі:

де n - номінальна ставка відсотків;

t - термін ренти в роках;

m - число періодів нарахування відсотків протягом року.

Рентні платежі вносяться (р) раз на рік, нарахування відсотків проводиться (m) раз на рік, число рентних платежів дорівнює числу періодів нарахування відсотків, тобто р ≠ m. Майбутня вартість ануїтету може бути визначена з формули:

, (53)

де р - число рентних платежів протягом року;

m - число періодів нарахування відсотків протягом року;

n - номінальна процентна ставка;

t - термін ренти.

Приклад 24. Рентні платежі виплачуються протягом 5 років у розмірі 10 тис. грн. Процентна ставка 12% річних. Визначити майбутню вартість ануїтету за наступних умов:

а) платежі вносяться один раз до року, а відсотки нараховуються щоквартально;

б) платежі вносяться 2 рази до року рівними сумами, а відсотки нараховуються один раз в рік;

в) рентні платежі вносяться щоквартально, відсотки нараховуються щоквартально;

г) рентні платежі вносяться щокварталу, а відсотки нараховуються по півріччям.

Рішення: Використовуємо формули 50, 51, 52, 53

а) F = 10 х ((1 + 0,12 / 4)^5х4 -1)/(1 + 0,12 /4)⁴-1) = 64,227 тис. грн.

б) F = 10 х ((1 + 0,12)⁵ -1) /(2 х ((1 + 0,12)^1/2 -1)) = 65,380 тис. грн.

в) F = 10 х ((1 + 0,12 /4)^5х4-1)/ 0,12 = 67,176 тис. грн.

г) F = 10 х ((1 + 0,12 / 2)^5х2 -1) /(4 х ((1 + 0,12 / 2)^2/4 -1)) = 66,878 тис. грн.

При здійсненні фінансових обчислень іноді виникає необхідність визначення розмірів разових платежів і терміну ануїтету.

Величина рентного платежу може бути визначена по формулі:

(54)

Термін ануїтету визначається по формулі:

(55)

Справжня величина потоку рентних платежів - це сума всіх його членів, зменшена (дисконтована) на величину процентної ставки на певний момент часу, співпадаючий з початком потоку платежів, або передуючий йому.

Справжня величина показує, яку суму необхідно мати спочатку, щоб, розбивши її на рівні внески, на які б нараховувалися встановлені відсотки протягом терміну ренти, можна було забезпечити отримання нарощеної суми.

Оцінка справжньої величини проводиться на момент початку реалізації ренти.

Для ренти з членами, рівними (С), справжня величина визначається по формулі:

(56)

де А — справжня величина потоку рентних платежів;

С — сума рентного платежу;

а — коефіцієнт приведення ренти, що показує, скільки рентних платежів (С) міститься в справжній величині.

Коефіцієнт приведення ренти (а) визначається по формулі:

(57)

Приклад 25. Сім'я бажає протягом 3 років зібрати суму для придбання автомобіля вартістю 95 тис. грн. Вона може виділити на ці цілі 28 тис. грн. щорічно, поміщаючи їх в банк під 12,5% річних (відсотки складні). Яка сума була б потрібна сім'ї для придбання автомобіля вартістю 95 тис. грн., якби суму, що необхідна, помістили в банк на 3 роки під 12,5% річних?

Рішення: С=28 тис. грн., t=3; n=12,5%.

тис. грн.

Дійсно, якби сім'я мала можливість вказану суму (66,678 тис. грн.) помістити в банк на три роки під 12,5% річних, то нарощена сума склала б:

F = 66,678 х (1 + 0,125)³ = 94,938 тис. гр. ≈ 95 тис. грн.

Нарощена сума при щорічних платежах у розмірі 28 тис. грн. під 12,5% річних складе:

тис. грн.

З цього прикладу можна вивести математичний взаємозв'язок величин:

(58)

або

(59)

Контрольні питання:

1. Визначте сутність оцінки вартості грошей в часі.

2. Надайте класифікацію відсоткових ставок.

3. Окресліть завдання щодо визначення зміни вартості грошей у часі.

4. Розкрийте сутність використання майбутньої вартості грошей у фінансових розрахунках.

5. Надайте характеристику визначення теперішньої вартості грошей у фінансових розрахунках.

6. Виділіть основні методи нарахування відсотків.

7. Розкрийте методику визначення майбутньої вартості грошей з урахуванням інфляційного чинника.

8. Охарактеризуйте сутність і основні параметри ануїтету та порядок визначення його майбутньої вартості.