Статистичне дослідження масива показників

У дослідженнях часто вирішують задачу виявлення чинників, визначальний рівень і динаміку деякого процесу. Таке завдання найчастіше вирішується метода-ми кореляційного, регресійного аналізу.

Для достовірного відображення процесів, що об'єктивно існують, необхідно виявити суттєві взаємозв'язки і не тільки виявити, але і дати їм кількісну оцінку. Цей підхід вимагає розкриття причинних залежностей. Під причинною залежністю розуміється такий зв'язок між процесами, коли зміна одного з них є наслідком зміни іншого.

Не всі чинники, що впливають на досліджувані процеси, є випадковими величинами. Тому при аналізі технічних систем зазвичай розглядаються зв'язки між випадковими і невипадковими величинами. Такі зв'язки називаються регресійними, а метод математичної статистики, що їх вивчає, називається регресійним аналізом.

Основні поняття

З метою математичного опису конкретного виду залежностей з використанням регресійного аналізу підбирають клас функцій, що зв'язують результативний показник у і аргументи x₁, x₂, …, х_k , відбирають найбільш інформативні аргументи, обчислюють оцінки невідомих значень параметрів рівняння зв'язку і аналізують точність отриманого рівняння.

Функція f(x₁, x₂, …, х_k), що описує залежність умовного середнього значення результативної ознаки у від заданих значень аргументів, називається функцією (рівнянням) регресії.

Для точного опису рівняння регресії необхідно знати закон розподілу результативного показника. У статистичній практиці таку інформацію отримати зазвичай| не вдається, тому обмежуються пошуком відповідних апроксимацій для функції f(x₁, x₂, …, х_k ), заснованих на вихідних статистичних даних.

В рамках окремих модельних допущень про тип розподілу вектора показників (у, x₁|, x₂|, …, х_k ) може бути отриманий загальний вид рівняння регресії f(x)=M(Y /Х) , Х=|( x₁, x₂, …, х_k).

З метою якнайкращого відновлення за початковими (вихідними) статистичними даними умовного значення результатирующего показника у(х) і невідомій функції регресії f(x)= M(y/x) найчастіше використовують наступні критерії адекватності (функції втрат).

1. Метод найменших квадратів, згідно якому мінімізується квадрат відхилення спостережуваних значень результативного показника y_i (i=1,2.,n) від модельних значень f(x_i β), де i= (1,…,k- коефіцієнти рівняння регресії, x_i– значення вектора аргументів у i-му спостереженні:

.

Вирішується завдання відшукання оцінки вектора b. Отримувана регресія називається середньоквадратичною. мати

2. Метод найменших модулів, згідно якому мінімізується сума абсолютних відхилень спостережуваних значень результативного показника від модельних значень f(xi , b), тобто

.

Отримувана|одержувати| регресія називається среднеабсолютной| (медіаною).

3. Метод мінімакса зводиться до мінімізації максимуму модуля відхилення спостережуваного значення результативного показника yi| від модельного значення f(xi, b), тобто

.

Отримувана при цьому регресія називається мінімаксною.

(Ми в своїх дослідженнях будемо користуватися методом пайменших квадратів.)

Між різними явищами і їх ознаками необхідно перш за все виділити два типи зв'язків: функціональний (жорстко детермінований) і статистичний (стохастично детермінований).

Стахостичний зв'язок – це зв'язок між величинами, при якому одна з них, випадкова величина Y реагує на зміну іншої величини X зміною закону розподілу. Це обумовлено тим, що залежна змінна (результативна ознака), окрім даних незалежних, схильна до впливу ряду неврахованих або неконтрольованих (випадкових) чинників а також деяких неминучих помилок вимірювання змінних. Оскільки значення залежної змінної схильні до випадкового розкиду, вони не можуть бути передбачені з достатньою точністю, а тільки вказані з певною ймовірністю.

Характерною особливістю стахостических зв'язків є те, що вони виявляються у всій сукупності, а не в кожній її одиниці. Причому невідомий ні повний перелік чинників, що визначають значення результативної ознаки, ні точний механізм їх функціонування і взаємодії з результативною ознакою. Завжди має місце вплив випадковості. Різні значення залежної змінної, що з'являються, – реалізація випадкової величини.

Модель стохастичного зв'язку може бути представлена в загальному вигляді рівнянням: ŷ_i = f(x_i) + e_i

де ŷ_i - розрахункове значення результативної ознаки;

f(x_i) - частка результативної ознаки, що сформувалася під впливом врахованих відомих факторних ознак (одної або множини), що знаходяться в стахостичному| зв'язку з ознакою;

e_i - частина результативної ознаки, що виникла внаслідок дії неконтрольованих або неврахованих чинників, а також вимірювання ознак, що неминуче супроводиться деякими випадковими помилками. Прояви стохастичних зв'язків схильні до дії закону великих чисел: лише у достатньо великому числі одиниць індивідуальні особливості згладяться, випадковості взаимопогасятся, і залежність, якщо вона має суттєву силу, виявиться досить чітко.

Лінійна регресія

Проста лінійна регресія дозволяє знайти лінійну залежність між однією вхідною і однією вихідною змінними. Для цього визначається рівняння регресії - модель, що відбиває залежність значень y, залежної величини Y від значень х, незалежної змінної X генеральної сукупності, яке запишемо у вигляді:

y

x

(

)

A1

х

1×

+

:=

A0

де у(x)- теоретичні значення результативної ознаки, отримані за рівнянням регресії;

A₀ - вільний член рівняння регресії;

А₁ - коефіцієнт рівняння регресії.

Оскільки A₀ є середнім значенням у в точці х=0, інтерпретація його часто утруднена або взагалі неможлива. Коефіцієнт парної лінійної регресії А₁ має сенс показника сили зв'язку між варіацією факторної ознаки х і варіацією результативної ознаки у. Наведене вище рівняння показує середнє значення зміни результативної ознаки у| при зміні факторної ознаки х на одну одиницю його вимірюванн|, тобт| варіацію у, що припадає на одиницю варіації х. Знак А₁ вказує напрям цієї зміни.

Параметри рівняння А₀|, А₁ | знаходять методом найменших квадратів (метод розв’язування систем рівнянь, при якому за розв’язок приймається точка мінімуму| суми квадратів відхилень), тобто| в основу цього методу покладена вимога мінімальності сум квадратів відхилень емпіричних даних y_i від тих, що вирівнюються у:

S(y – ŷ)² = S(y – А₀ – А₁x)² ® min

Для знаходження мінімуму даної функції прирівняємо до нуля її частинні похідні і отримаємо систему двох лінійних рівнянь, яка називається системою нормальних рівнянь:

.

Розв’зок ієї системи в загальному вигляді:

Потім будується відповідна пряма, звана лінією регресії. Коефіцієнти А₁ і A₀, звані також параметрами моделі, вибираються так, щоб сума квадратів відхилень точок, відповідних реальним спостереженням даних, від лінії регресії, була б мінімальною. Підбір коефіцієнтів виробляється по методу найменших квадратів. Іншими словами, проста лінійна регресія описує лінійну модель, яка якнайкраще апроксимує залежність між однією вхідною і однією вихідною змінними.

Цілі регресійного аналізу

Визначення наявностьіі характер у зв'язку між змінними (математичного рівняння, що описує залежність)

Спрогнозувати значення залежної змінної за допомогою незалежної

Визначити вклад незалежних змінних у варіацію залежної

Знайдемо значення коефіцієнта регресії (А₁) і вільного члена рівняння (A₀)

Виміри вхідного параметра Х і вихідного Y задані таблицею:

X1	16,24	16,19	16,25	16,41	16,36	16,52	16,64	16,81	16,93	16,83	16,90	16,23	16,30	16,33	16,74	16,72
Y1

Обчислення будемо виконувати, застосовуючи пакет Mathcad

Розв’яжемо задачу спочатку для Х1.

Предстадставимо початкову інформацію у вигляді векторів, вводячи перепозначення:

, ,

Визначимо суми елементів векторів і добутки векторів :

,

=136 =264,4

S_XX = XX, S_YY = YY , S_YX = XY,

S_XX = 1496 S_YY = 4370 S_YX = 2255

Визначимо параметри рівняння регресії, позначивши:

N=16,

, A=16*1496 -136² =5440,

B

N

SYX

×

SX

SY,

×

-

:=

B=16*2255 – 136*264,4 =127,36;

C

×

:=

SY-X×SXY,

×

SXX

C=1496*264.4-136*2255=88860.

Вільний член рівняння регресії А₀:

A₀ = = 16,326.

Коефіцієнт рівняння регресії А₁

A₁= , A₁ = = 0,023.

y(x) = 0,023x +16,326.

Графічне зображення лінії рівняння регресії і точок кореляции

Рис.1 Пряма регресії

Рис.2 Багатокутник розподілу