Разработка прогноза с помощью метода наименьших квадратов

Экстраполяция - это метод научного исследования, который основан на распространении прошлых и настоящих тенденций, закономерностей, связей на будущее развитие объекта прогнозирования. К методам экстраполяции относятся метод скользящей средней, метод экспоненциального сглаживания, метод наименьших квадратов.

Рабочая формула метода наименьших квадратов:

Y_t+1 = а ∙ Х + b,

где t + 1 – прогнозный период; Y_t+1– прогнозируемый показатель; a и b - коэффициенты; Х - условное обозначение времени.

Расчет коэффициентов a и b осуществляется по следующим формулам:

где, Yф – фактические значения ряда динамики; n – число уровней временного ряда;

Сглаживание временных рядов методом наименьших квадратов служит для отражения закономерности развития изучаемого явления. В аналитическом выражении тренда время рассматривается как независимая переменная, а уровни ряда выступают как функция этой независимой переменной.

Развитие явления зависит не от того, сколько лет прошло с отправного момента, а от того, какие факторы влияли на его развитие, в каком направлении и с какой интенсивностью. Отсюда ясно, что развитие явления во времени выступает как результат действия этих факторов.

Подбор вида функции, описывающей тренд, параметры которой определяются методом наименьших квадратов, производится в большинстве случаев эмпирически, путем построения ряда функций и сравнения их между собой по величине среднеквадратической ошибки, вычисляемой по формуле:

,

где Yф – фактические значения ряда динамики; Yр – расчетные (сглаженные) значения ряда динамики; n – число уровней временного ряда; р – число параметров, определяемых в формулах, описывающих тренд (тенденцию развития).

Таблица 3.1

Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь	Июль	Август	Сентябрь	Октябрь
15,249	13,566	13,413	13,056	12,24	11,8104	10,4804	9,1504	8,2992	7,5544

- построить прогноз на ноябрь, декабрь, январь, используя метод наименьших квадратов;

- рассчитать ошибки полученных прогнозов при использовании данного метода;

- сделайте заключительные выводы.

Решение:

Для решения составим таблицу (Таблица 3.2), в которой будем производить необходимые расчеты:

Таблица 3.2

Месяцы	Исходные данные, Yф	Условное обозначение времени, Х	Yф ∙ Х	Х2	Yр	Расчет средней относительной ошибки, |Yф-Yр|/Yф∙100, %
Январь	15,249		15,249		15,17974545	0,004541579
Февраль	13,566		27,132		32,00298667	1,35905843
Март	13,413		40,239		48,00448	2,578951763
Апрель	13,056		52,224		64,00597333	3,902418301
Май	12,24		61,2		80,00746667	5,536557734
Июнь	11,8104		70,8624		96,00896	7,129187834
Июль	10,4804		73,3628		112,0104533	9,687612432
Август	9,1504		73,2032		128,0119467	12,98976511
Сентябрь	8,2992		74,6928		144,01344	16,35268942
Октябрь	7,5544		75,544		160,0149333	20,18168661
Итого:	114,8188		563,7092		-	79,72246921
Прогноз Ноябрь	6,555266667
Прогноз декабрь	5,859806061
Прогноз январь	5,164345455

Определим условное обозначение времени как последовательную нумерацию периодов базы прогноза (графа 3). Рассчитаем графы 4 и 5. Расчетные значения ряда Yр определим по формуле Yt+1 = а*Х + b, где t + 1 – прогнозный период; Yt+1 – прогнозируемый показатель; a и b - коэффициенты; Х - условное обозначение времени.

Коэффициенты a и b определим по следующим формулам:

где, Yф – фактические значения ряда динамики; n – число уровней временного ряда.

= = 16,00149333

Далее определяем прогнозное значение:

Y ноябрь = * 11 + 16,00149333= 6,962266667
Y декабрь = = 6,140518788
Y январь = = 5,318770909

Рассчитываем среднюю относительную ошибку по формуле:

ε = 79,72246921/10 = 7,97% < 10% - точность прогноза высокая.