Типовой расчет № 4
Решение линейных систем
Фундаментальная система решений
Задание 1
Исследовать систему линейных алгебраических уравнений на совместимость и найти решение, если она совместна, методом Гаусса. Выполнить проверку.
Задание 2
Заданы затраты трех видов сырья 
на производство каждого из трех видов продукции 
и количество каждого вида сырья.
Требуется определить план производства, который бы обеспечил полное использование сырья.
| | Вариант |
 | | | | | | | | | | | | | | | |
 | 0,6 | | | | 0,5 | 1,5 | 0,2 | | 0,9 | | 0,4 | 0,1 | | 0,3 | 0,7 |
 | | | | | | | | | | | | | | | |
Задание 3
На базе находится товар трех видов А, В, С, которым она снабжает ларьки, магазины и универмаги. За определенный период торговые организации могут реализовать товар в количестве, указанном в таблице. Сколько ларьков, магазинов и универмагов может обеспечить база, чтобы полностью продать товар. Решение найти методом Жордана – Гаусса.
| Товар | Ларек | Магазин | Универмаг | Количество товара на базе |
| А | m–2 | m–1 | m+4 | n–2 |
| В | m+1 | m | m+7 | n+9 |
| С | m | m+2 | m+1 | n+5 |
| | Вариант |
| mn | | | | | | | | | | | | | | | |
| m | 3,6 | | | 3,2 | | | 4,2 | | | 4,6 | | | 2,4 | | |
| n | | | | | | | | | | | | | | | |
| | Вариант |
| mn | | | | | | | | | | | | | | | |
| m | 4,4 | | | 3,4 | | | 2,8 | | | 3,6 | | | 2,6 | | |
| n | | | | | | | | | | | | | | | |
Задание 4
Решить системы методом Жордана – Гаусса
Задание 5
Найти общее решение для каждой из данных систем и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства, выделить частное решение неоднородной системы).
| 3x1+x2-4x3+2x4+x5=0 2x1-2x2-3x3-7x4+2x5=0 x1+11x2+34x4-5x5=0 | x1+2x2-2x3-3x4=4 2x1+5x2-x3-4x4=9 x1+3x2+x3-x4=5 |
| 7x1+2x2-x3-2x4+2x5=0 x1-3x2+x3-x4-x5=0 2x1+3x2+2x3+x4+x5=0 | x1-4x2+2x3+3x4=5 2x1-7x2+4x3+x4=9 x1-3x2+2x3+x4-3x5=4 |
| x1+x2+10x3+x4-x5=0 5x1-x2+8x3-2x4+2x5=0 3x1-3x2-12x3-4x4+4x5=0 | x1+2x2-3x3-4x4=1 3x1+7x2-2x3-x4=4 2x1+5x2+x3+3x4=3 |
| 6x1-9x2+21x3-3x4-12x5=0 -4x1+6x2-14x3+2x4+8x5=0 2x1-3x2+7x3-x4-4x5=0 | x1-5x2+3x3+4x4=4 2x1-9x2+2x3+x5=7 x1-4x2-x3-4x4+x5=3 |
| 2x1-2x2+2x3-x4+x5=0 x1+10x2-3x3-2x4-x5=0 4x1+19x2-4x3-5x4-x5=0 | x1+3x2-x3-2x4=1 2x1+7x2-4x3-3x4=3 x1+4x2-3x3-x4=2 |
| 5x1-2x2+9x3-4x4-x5=0 x1+4x2+2x3+2x4-5x5=0 6x1+2x2+11x3-2x4-6x5=0 | x1+x2+4x3+2x5=0 3x1+4x2+x3+3x4=1 2x1+3x2-3x3+3x4-2x5=1 |
| 12x1-x2+7x3+11x4-x5=0 24x1-2x2+14x3+22x4-2x5=0 x1+x2+x3-x4+2x5=0 | x1-2x2+2x3+3x4=0 2x1-3x2+x3+4x4=1 3x1-5x2+3x3+7x4=1 |
| x1+2x2+x3+4x4+x5=0 2x1+x2+3x3+x4-5x5=0 x1+3x2-x3+6x4-x5=0 | x1-x2+4x3+3x4=0 3x1-2x2+x3+3x5=1 2x1-x2-3x3-3x4+2x5=1 |
| 2x1+3x2+3x3-3x4-x5=0 x1+6x2-x3+x4+2x5=0 x1+16x2-6x3+6x4+7x5=0 | x1-2x2+2x3+3x4=0 3x1-5x2+x3+4x4=1 2x1-3x2-x3+x4=1 |
| x1+2x2-x3+x4-x5=0 x1+x2+2x3-x4+x5=0 2x1+3x2+x3=0 | x1-3x2+4x3+3x5=2 3x1-8x2+x3+2x4=5 2x1-5x2-3x3+2x4-3x5=3 |
| 8x1+x2+x3-x4+2x5=0 3x1-3x2-2x3+x4-3x5=0 5x1+4x2+3x3-2x4+5x5=0 | x1-3x2+x3+2x4=4 2x1-5x2+4x3+3x4=7 x1-2x2+3x3+x4=3 |
| x1+3x2-x3+12x4-x5=0 2x1-2x2+x3-10x4+x5=0 3x1+2x2+2x4=0 | x1-x2+3x3+4x4=0 4x1-3x2+x3+2x5=1 3x1-2x2-2x3-4x4+2x5=1 |
| 7x1-14x2+3x3-x4+x5=0 x1-2x2+x3-3x4+7x5=0 5x1-10x2+x3+5x4-13x5=0 | x1+4x2-2x3-3x4=2 2x1+9x2-x3-4x4=5 x1+5x2+x3-x4=3 |
| x1+2x2+3x3+x4-x5=0 2x1-2x2-6x3-4x4+x5=0 3x1-2x2+3x3+3x4-x5=0 | x1-2x2+3x3+4x5=1 4x1-7x2+2x3+4x4=3 3x1-5x2-x3+x4-4x5=2 |
| x1+x2+x3-x4-x5=0 2x1+x2-2x3-x4-2x5=0 x1+2x2+5x3-2x4-x5=0 | x1-x2+3x3+4x4=0 2x1-x2+2x3+x4=1 4x1-3x2+8x3+9x4=1 |
| 2x1+2x2-2x3+x4-3x5=0 3x1-x2+2x3-x4+2x5=0 x1-3x2+4x3-2x4+5x5=0 | x1+x2-3x3-4x4=1 4x1+5x2-2x3-x5=3 3x1+4x2+x3+4x4-x5=2 |
| x1+2x2-3x3+10x4-x5=0 -x1-2x2+3x3+10x4+x5=0 x1+6x2-9x3+30x4-3x5=0 | x1-4x2+2x3+3x4=5 2x1-7x2+4x3+x4=9 x1-3x2+2x3-2x4=4 |
| 2x1+x2-x3+7x4+5x5=0 x1-2x2+3x3-5x4-7x5=0 3x1-x2+2x3+2x4-2x5=0 | x1+2x2-2x3-3x5=4 2x1+5x2-x3-4x4=9 x1+3x2+x3-4x4+3x5=5 |
| 2x1-2x2-3x3-7x4+2x5=0 x1+11x2+34x4-5x5=0 x1-5x2-2x3-16x4+3x5=0 | x1-5x2+3x3+4x4=4 2x1-9x2+2x3+x4=7 x1-4x2-x3-3x4=3 |
| 3x1+x2-8x3+2x4+x5=0 x1+11x2-12x3-5x5=0 x1-5x2+2x3+x4+3x5=0 | x1+2x2-3x3-4x4=1 3x1+7x2-2x3+x5=4 2x1+5x2+x3+4x4+x5=3 |
| x1+3x2-5x3+9x4-x5=0 2x1+7x2-3x3-7x4+2x5=0 x1+4x2+2x3-16x4+3x5=0 | x1+x2+4x3+2x4=0 3x1+4x2+x3+3x4=1 2x1+3x2-3x3+x4=1 |
| 5x1+2x2-x3+3x4+4x5=0 3x1+x2-3x3+3x4+4x5=0 6x1+3x2-2x3+4x4+5x5=0 | x1+3x2-x3-2x5=1 2x1+7x2-4x3-3x4=3 x1+4x2-3x3-3x4+2x5=2 |
| 3x1+2x2-2x3-x4+4x5=0 7x1+5x2-3x3-2x4+x5=0 x1+x2+x3-7x5=0 | x1-x2+4x3+3x4=0 3x1-2x2+x3+2x4=1 2x1-x2-3x3-x4=1 |
| 6x1+3x2-2x3+4x4+7x5=0 7x1+4x2-3x3+2x4+4x5=0 x1+x2-x3-2x4-3x5=0 | x1-2x2+2x3+3x4=0 2x1-3x2+x3+4x5=1 3x1-5x2+3x3+3x4+4x5=1 |
| 3x1-5x2+2x3+5x4=0 7x1-4x2+x3+3x4=0 5x1+7x2-4x3-9x4=0 | x1-3x2+4x3+3x4=2 3x1-8x2+x3+2x4=5 2x1-5x2-3x3-x4=3 |
| x1+x2+3x3-2x4+3x5=0 2x1+2x2+5x3-x4+3x5=0 x1+x2+4x3-5x4+6x5=0 | x1-2x2+2x3+3x5=0 3x1-5x2+x3+4x4=1 2x1-3x2-x3+4x4-3x5=1 |
| x1+2x2+3x3-2x4+x5=0 x1+2x2+7x3-4x4+x5=0 x1+2x2+11x3-6x4+x5=0 | x1-x2+3x3+4x4=1 4x1-3x2+x3+2x4=1 3x1-2x2-2x3-2x4=1 |
| 6x1+3x2+2x3+3x4+4x5=0 4x1+2x2+x3+2x4+3x5=0 2x1+x2+x3+x4+x5=0 | x1-3x2+x3+2x4=4 2x1-5x2+4x3+3x5=7 x1-2x2+3x3-2x4+3x5=3 |
| 3x1+2x2+4x3+x4+2x5=0 3x1+2x2-2x3+x4=0 3x1+2x2+16x3+x4+6x5=0 | x1-2x2+3x3+4x4=1 4x1-7x2+2x3+x4=3 3x1-5x2-x3-3x4=2 |
| x1+x2+x3+2x4+x5=0 x1-2x2-3x3+x4-x5=0 2x1-x2-2x3+3x4=0 | x1+4x2-2x3-3x5=2 2x1+9x2-x3-4x4=5 x1+5x2+x3-4x4+3x5=3 |
Задание 6
Найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений.
Задание 7
Исследовать следующую систему линейных уравнений:
.
Задание 8
Привести матрицу к ступенчатому виду 
.
Задание 9
Вычислить ранг матрицы 
.
Задание 10
Найти собственные числа и собственные вектора матрицы А.
Типовой расчет № 5
Применение матриц и систем линейных уравнений
В экономике
Задание 1
В таблице приведены данные о дневной производительности 5 предприятий, выпускающих 4 вида продукции с потреблением 3 видов сырья, а также продолжительность работы каждого предприятия в году и цена каждого вида сырья.
| Вид изделия, №п/п | Производительность предприятий, изд. /день | Затраты видов сырья изделия, ед. веса / изд. |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | Количество рабочих дней в году | Цена видов сырья |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
Требуется определить:
1) годовую производительность каждого предприятия по каждому виду изделий;
2) годовую потребность каждого предприятия по каждому виду сырья;
3) годовую сумму кредитования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для выпуска продукции указанных видов и количеств.
По данным таблицы составить новую таблицу по следующим условиям:
– дневная производительность всех предприятий увеличивается на 100%;
– число рабочих дней в году для первого предприятия увеличивается на 50%, а для остальных – на 40%;
– цены на виды сырья уменьшаются соответственно на 10, 20 и 30%.
Определить суммы кредитования предприятий и их соответ-ствующие процентные изменения.
Задание 2
В таблице приведены данные по балансу за некоторый промежуток времени между тремя отраслями промышленности. Необходимо: 1) найти векторы конечного потребления и валового выпуска; 2) найти матрицу коэффициентов прямых затрат; 3) определить является ли она продуктивной, используя два критерия продуктивности; 4) установить объём валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление по отраслям возрастет соответственно до 
условных денежных единиц. Решить задачу одним из методов: Крамера, обратной матрицы, Гаусса, Жордана – Гаусса. 5) определить процентные изменения валовых выпусков, необходимых для обеспечения заданного увеличения компонент вектора конечного продукта.
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| |  |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| |  |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| |  |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| |  |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| |  |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| |  |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| |  |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| |  |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| |  |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| |  |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
 |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
 |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | |
| | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск |
| | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | | | | | |
| | |
Типовой расчет № 6
