Порядок виконання завдання

Дослідимо наявність мультиколінеарності, вико­навши такі кроки:

1. Нормалізацію (стандартизацію) пояснювальних змінних моделі.

2. Розрахунок кореляційної матриці r_хх.

3. Визначення детермінанта матриці r_хх. та критерію c².

4. Розрахунок матриці, оберненої до матриці r_хх.

5. Визначення F-критерію.

6. Обчислення частинних коефіцієнтів кореляції.

7. Визначення t-критерію.

Крок 1. Нормалізація (стандартизація) незалежних змінних моделі.

Обчислимо середні арифметичні незалежних змінних:

.

Визначимо стандартні відхилення.

Позначимо вектори незалежних змінних – продуктивності праці, фондомісткості, коефіцієнтів плинності робочої сили – через Х₁, Х₂, Х₃. Елементи нормалізованих векторів обчислимо за формулою:

де n – кількість спостережень, n = 15;

m – кількість незалежних змінних, m = 3;

– середнє арифметичне значення компонентів вектора х_k;

– дисперсія змінної х_k.

Із формули випливає, що спочатку потрібно обчислити середні арифметичні значення і величини для кожної незалежної змінної. Дисперсії кожної незалежної змінної мають такі значення:

;

Усі розрахункові дані для нормалізації змінних Х₁, Х₂,X₃, згідно з поданими співвідношеннями наведено в табл. 8.4.

Таблиця 8.4

–7,94	–9,79	–1,39	63,0436	95,9094	1,9414	–0,4729	–0,3610	–0,3502
–6,04	–7,49	–1,19	36,4816	56,1500	1,4240	–0,3598	–0,2762	–0,2999
–4,04	–6,59	–0,99	16,3216	43,4720	0,9867	–0,2406	–0,2430	–0,2497
–2,34	–6,29	–0,89	5,4756	39,6060	0,7980	–0,1394	–0,2320	–0,2245
–1,24	–4,89	–0,79	1,5376	23,9447	0,6294	–0,0739	–0,1804	–0,1994
–0,74	–2,19	–0,69	0,5476	4,8107	0,4807	–0,0441	–0,0808	–0,1743
–0,74	–1,79	–0,39	0,5476	3,2160	0,1547	–0,0441	–0,0661	–0,0989
–0,64	–1,09	–0,29	0,4096	1,1954	0,0860	–0,0381	–0,0403	–0,0737
–0,54	1,01	–0,19	0,2916	1,0134	0,0374	–0,0322	0,0371	–0,0486
–0,24	1,71	0,21	0,0576	2,9127	0,0427	–0,0143	0,0629	0,0519
0,96	2,11	0,91	0,9216	4,4380	0,8220	0,0572	0,0776	0,2279
2,86	2,91	1,11	8,1796	8,4487	1,2247	0,1704	0,1071	0,2782
5,16	4,21	1,31	26,6256	17,6960	1,7074	0,3074	0,1551	0,3284
7,06	9,91	1,61	49,8436	98,1420	2,5814	0,4205	0,3651	0,4038
8,46	18,31	1,71	71,5716	335,134	2,9127	0,5039	0,6748	0,4290
Всього			281,86	736,089	15,829

Тоді знаменник для нормалізації кожної незалежної змінної буде такий:

X₁ : ;

X₂ : ;

X₃ : .

Матриця нормалізованих змінних подається у вигляді:

	–0,4729	–0,3610	–0,3502
	–0,3598	–0,2762	–0,2999
	–0,2406	–0,2430	–0,2497
	–0,1394	–0,2320	–0,2245
	–0,0739	–0,1804	–0,1994
	–0,0441	–0,0808	–0,1743
	–0,0441	–0,0661	–0,0989
Х* =	–0,0381	–0,0403	–0,0737
	–0,0322	0,0371	–0,0486
	–0,0143	0,0629	0,0519
	0,0572	0,0776	0,2279
	0,1704	0,1071	0,2782
	0,3074	0,1551	0,3284
	0,4205	0,3651	0,4038
	0,5039	0,6748	0,4290

Крок 2. Розрахунок кореляційної матриці нульового порядку⁾.

де X^* – матриця нормалізованих пояснювальних змінних;

– матриця, транспонована до X^*.

Маємо:

	–0,4729	–0,3610	–0,3502
	–0,3598	–0,2762	–0,2999
	–0,2406	–0,2430	–0,2497
	–0,1394	–0,2320	–0,2245
	–0,0739	–0,1804	–0,1994
	–0,0441	–0,0808	–0,1743
	–0,0441	–0,0661	–0,0989
Х* =	–0,0381	–0,0403	–0,0737
	–0,0322	0,0371	–0,0486
	–0,0143	0,0629	0,0519
	0,0572	0,0776	0,2279
	0,1704	0,1071	0,2782
	0,3074	0,1551	0,3284
	0,4205	0,3651	0,4038
	0,5039	0,6748	0,4290

	–0,47294	–0,35977	–0,24064	–0,13938	–0,07386	–0,04408	–0,04408	–0,03812
X*' =	–0,36097	–0,27619	–0,24302	–0,23196	–0,18036	–0,08084	–0,0661	–0,0403
	–0,35021	–0,29994	–0,24967	–0,22453	–0,1994	–0,17427	–0,09886	–0,07373
					Продовження матриці
		–0,03216	–0,0143	0,057182	0,170354	0,307352	0,420524	0,503914
		0,03710	0,062905	0,077648	0,107135	0,15505	0,365142	0,674752
		–0,04859	0,051944	0,227885	0,278154	0,328423	0,403826	0,428961

		0,9440	0,9426
rxx =	0,9440		0,9183
	0,9426	0,9183

Кожний елемент цієї матриці характеризує тісноту зв’язку однієї незалежної змінної з іншою. Оскільки діагональні елементи характеризують тісноту зв’язку кожної незалежної з цією самою змінною, то вони дорівнюють одиниці.

Решта елементів матриці r_хх такі:

	0,944;
	0,9426;
	0,9183.

Парні коефіцієнти кореляції характеризують тісноту зв’язку між двома змінними. Вони можуть змінюватися в межах
від –1 до 1.

Коефіцієнти парної кореляції r₁₂ , r₁₃ та r₂₃ близькі до одиниці, тому можна передбачити, що досліджувані незалежні змінні є мультиколінеарними. Користуючись цими коефіцієнтами, можна зробити висновок, що між змінними Х₁ і Х₂ , Х₁ і Х₃ та Х₂ і Х₃ існує вельми високий зв’язок.

Якщо цей зв’язок є виявленням мультиколінеарності, то це негативно впливатиме на оцінку параметрів економетричної моделі. Звертаємося до алгоритму Фаррара-Глобера.

Крок 3. Обчислимо детермінант кореляційної матриці r_хх і критерій c²:

а)

б)

ln|r_xx | = –4,482;

Отже, критерій c²= 54,5307.

Якщо ступінь свободи дорівнює а рівень значущості a=0,01, то критерій c²_табл = 11,3449.

Оскільки – робимо висновок, що в масиві змінних існує мультиколінеарний зв’язок.

Крок 4. Розрахуємо матрицю, обернену до матриці r_xx :

	13,85	–6,93	–6,69
C =	–6,929	9,85	–2,51
	–6,691	–2,51	9,62

Матриця C – симетрична, і її діагональні елементи завжди мають бути додатними.

Крок 5. Визначення F-критерію:

де n – кількість спостережень; m – кількість пояснювальних змінних.

Виконавши обчислення, дістанемо:

Коли a = 0,05 і ступені свободи m–1=3–1=2, n–m=15–3=12 маємо F_крит = 3,885.

Фактично знайдене значення F-критерію порівнюємо з табличним. У нашому випадку F_факт > F_крит , тобто незалежні змінні мультиколінеарні з рештою змінних.

Коефіцієнт детермінації до кожної змінної:

R21 =

0,9278;

R22 =

0,898;

R23 =

0,896.

Якщо коефіцієнт детермінації наближається до одиниці, то незалежна змінна мультиколінеарна з іншими.

Крок 6.Обчислення частинних коефіцієнтів кореляції:

де с_kj – елемент матриці С, що міститься в k-му рядку i j-му стовпці;
с_kk і с_jj – діагональні елементи матриці С.

r12 =	0,5932;
r13 =	0,5798;
r23 =	0,2584.

Частинні коефіцієнти кореляції характеризують рівень тісноти зв’язку між двома змінними за умови, що решта змінних на цей зв’язок не впливає. Частинні коефіцієнти кореляції за модулем нижчі, ніж коефіцієнти парної кореляції, бо на їхній рівень не впливає решта змінних, які мають зв’язок із цими двома.

Крок 7. Обчислення t-критеріїв:

t12 = 2,553

t13 = 2,465

t23 = 0,926

tкрит = 2,179

Обчислені t-критерії порівнюємо з табличним за вибраного рі­вня значущості a = 0,05 і ступенів свободи n–m= 12.

Якщо t_kj більше за t_табл, як у нашому випадку, то пара цих пояснювальних змінних тісно пов’язана між собою.

Оскільки розраховані t₁₂ > t_табл та t₁₃ > t_табл , то можна зробити висновок, що пари цих пояснювальних змінних (X₁ і X₂ та X₁ і X₃) – тісно пов’язані між собою.

Висновок.

Оскільки – робимо висновок, що в масиві змінних існує мультиколінеарний зв’язок.

t₁₂ > t_табл – між змінними Х₁ і X₂ (продуктивністю праці та чисельністю працівників) існує мультиколінеарність.

t₁₃ > t_табл – між змінними Х₁ і X₃ (продуктивністю праці та фондовіддачею) існує мультиколінеарність.

А це означає, що метод найменших квадратів застосувати в цьому разі не можна.

5. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ

Контрольна робота виконується студентами заочної форми навчання і складається з двох теоретичних питань та задач, які виконуються за темами лабораторних робіт 2, 3, 4, 5, 6, 7 та 8 (див. відповідні додатки).

Варіант теоретичних питань та варіант задач визначаються студентом згідно з початковою літерою його прізвища (табл. 5.1).

Таблиця 5.1

Варіанти завдань для контрольної роботи

Початкова літера прізвища

А

Б

В

Г

Д

Е

Є

Ж

З

И

І

Ї

Й

К

Л

М

Варіанти теоретичних питань

Варіанти задач

Продовження таблиці 5.1

Початкова літера прізвища

Н

О

П

Р

С

Т

У

Ф

Х

Ц

Ч

Ш

Щ

Ю

Я

Варіанти теоретичних питань

Варіанти задач

Контрольна робота виконується на стандартних аркушах паперу А4, має зшиті та пронумеровані сторінки.

Структура контрольної роботи:

· титульна сторінка;

· зміст;

· теоретична частина;

· розрахункова частина;

· список використаної літератури.

Титульна сторінка оформляється за зразком, наведеним у додатку 12.

6. ВАРІАНТИ ТЕОРЕТИЧНИХ ПИТАНЬ ДЛЯ ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ

Варіант 1

1. У чому суть методу найменших квадратів?

2. Характеристика системи оцінок і критеріїв для перевірки статистичної достовірності моделі?

Варіант 2

1. Які основні причини наявності в регресійній моделі випадкового відхилення?

2. Роль коефіцієнтів еластичності в кількісному аналізі нелінійних економетричних моделей?

Варіант 3

1. Як розрахувати невідомі параметри лінійної моделі?

2. Суть та складові частини нелінійної економетричної моделі з двома змінними?

Варіант 4

1. Наведіть приклади економетричних моделей.

2. Суть та складові частини нелінійної моделі пропозиції продукції.

Варіант 5

1. Що означає специфікація моделі?

2. Етапи побудови нелінійної моделі попиту на продукцію.

Варіант 6

1. Шляхи перетворень нелінійних моделей до лінійних.

2. Роль та значення коефіцієнтів еластичності в аналізі моделей попиту і пропозиції продукції.

Варіант 7

1. Які моделі використовуються в маркетингових дослідженнях?

2. У яких випадках використовується УМНК (метод Ейткена)?

Варіант 8

1. Що розуміється під часовим рядом?

2. У чому суть узагальненого методу найменших квадратів?

Варіант 9

1. Дайте визначення «тренд». Які основні види трендів?

2. Роль коефіцієнтів еластичності в кількісному аналізі нелінійних економетричних моделей?

Варіант 10

1. Етапи перевірки наявності тренда.

2. Зміст поняття «мультиколінеарність» та причини її виникнення.

Варіант 11

1. Основні аналітичні функції, які застосовують для опису динамічних рядів.

2. Ознаки мультиколінеарності.

Варіант 12

1. Суть методу ковзної середньої. Застосування ковзних середніх.

2. Суть алгоритму Фаррара–Глобера та мета його застосування.

Варіант 13

1. Як впливає період усереднення на лінію ковзної середньої?

2. Яке співвідношення свідчить про наявність мультиколінеарності між змінними?

Варіант 14

1. В чому суть методу згладжування?

2. Як використовуються F-критерії в оцінці мультиколінеарності змінних?

Варіант 15

1. Призначення методів згладжування та фільтрації, їх основні характеристики.

2. Як визначаються і для чого використовуються t-критерії в аналізі мультиколінеарності змінних?

Варіант 16

1. Дати поняття функції в економічних дослідженнях.

2. Як усунути мультиколеніарність?

Варіант 17

1. Способи завдання функцій. Типи функцій та їх характері точки.

2. Яким методом можуть бути оцінені параметри моделі з мультиколінеарними змінними?

Варіант 18

1. Функції однієї змінної в задачах з економіки.

2. Дати означення гомоскедастичності та гетероскедастичності.

Варіант 19

1. Основні етапи побудови лінійних моделей.

2. Які існують методи визначення гетероскедастичності.

Варіант 20

1. Дати визначення лінійної багатофакторної регресійної моделі.

2. Як впливає явище гетероскедастичності на оцінку параметрів моделі?

7. ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

Таблиця 7.1

Тематика індивідуальних завдань з дисципліни та час на їх виконання

Вид індивідуальних завдань	Тематика індивідуальних завдань	Всього годин
Контрольна робота (заочна форма навчання)	· Задача 1. Згідно варіанту побудувати модель парної лінійної кореляційної залежності. Визначити параметри моделі. Оцінити тісноту та значимість зв’язку між змінними моделі. Проаналізувати достовірність моделі та її параметрів. Обчислити прогнозні значення (Yпр). Побудувати графік та зробити економічні висновки. · Задача 2. Згідно варіанту побудувати парну нелінійну економетричну модель виду . Знайти числові параметри функції. Провести економічний аналіз впливу фактору Х на Y. · Задача 3. Згідно варіанту дослідити часовий ряд на наявність тренду (тенденції). · Задача 4. Згідно варіанту провести вирівнювання за методом трьох- чотирьох- та п’ятичленної ковзної середньої. Нанести вихідні дані на графік. · Задача 5. Згідно варіанту побудувати множинну лінійну кореляційну модель. Визначити параметри моделі. Розрахувати статистичні критерії оцінки достовірності моделі. Проаналізувати достовірність моделі та її параметрів. Обчислити прогнозні значення (Yпр). Побудувати графік та зробити економічні висновки. · Задача 6. Згідно варіанту побудувати множинну нелінійну модель у вигляді функції Кобба-Дугласа; оцінити точність і достовірність моделі; визначити тісноту зв’язку між факторами; побудувати ізокванти взаємозамінності факторів моделі і зробити економічний аналіз отриманих результатів за всіма відомими характеристиками виробничих функцій. · Задача 7. Згідно варіанту дослідити наявність мультиколінеарності за допомогою алгоритму Фаррара-Глобера.
Всього

8. ЗАПИТАННЯ ДЛЯ ПІДГОТОВКИ ДО ДИФЕРЕНЦІЙОВАНОГО ЗАЛІКУ

1. Системи лінійних рівнянь.

2. Означення матриці та основні види матриць.

3. Обернена матриця та іі знаходження.

4. Детермінант (визначник) квадратної матриці.

5. Закони множення матриць.

6. Матриця-рядок, матриця-стовпець, транспонування матриць.

7. Інвертування матриці.

8. Методи рішення системи рівнянь.

9. Поняття „модель” та „економетрична модель”.

10. Види економетричних моделей.

11. Основи теорії кореляції. Функціональний і кореляційний зв’язок.

12. Класифікація регресійних моделей.

13. Система нормальних рівнянь парної лінійної регресійної моделі.

14. Метод найменших квадратів для побудови рівняння регресії.

15. Структура та зміст лінійної економетричної моделі.

16. Сутність поняття "тіснота зв’язку".

17. Показники тісноти зв’язку між змінними.

18. Сутність поняття "значимість зв’язку".

19. Оцінка достовірності і точності побудованих моделей.

20. Графічне відображення кореляційних моделей.

21. Лінійні моделі множинної регресії.

22. Перетворення нелінійних моделей у лінійні.

23. Криві зростання.

24. Степенева функція. Зведення до лінійної регресії.

25. Приклади використання лінійних множинних регресійних моделей.

26. Економіко-математичні моделі продуктивності праці.

27. Класифікація економіко-математичних моделей.

28. Вимоги до економетричного аналізу та його етапи.

29. Коефіцієнт детермінації у парній регресійній моделі.

30. Коефіцієнт кореляції у парній регресійній моделі.

31. Критерій Фішера.

32. Відмінність між точковим і інтервальним прогнозом.

33. Визначення лінійної багатофакторної регресійної моделі.

34. Склад багатофакторних лінійних моделей.

35. Етапи побудови множинних кореляційних моделей.

36. Роль коефіцієнтів еластичності в кількісному аналізі лінійних економетричних моделей.

37. Основні характеристики виробничих функцій і їх економічний зміст

38. Економетричне моделювання в маркетингу. Функції попиту та пропозиції: поняття та визначення.

39. Етапи побудови та аналізу моделей попиту і пропозиції.

40. Методи побудови загальної лінійної моделі.

41. Характеристика лінійної регресійної моделі. Рівняння регресії, коефіцієнт кореляції, похибки, t-критерій Стьюдента; F-критерій Фішера.

42. Вимоги до вихідної статистичної інформації, яка використовується в моделюванні.

43. Сутність автокореляції та методи її виключення в моделюванні.

44. Поняття мультиколінеарності та засоби її виключення в процесі моделювання.

45. Методи визначення гетероскедастичності.

46. Вплив гетероскедастичності на оцінку параметрів моделі.

47. Сутність гетероскедастичності та гомоскедасттичності.

48. Приклади моделей для кількісного економетричного аналізу підприємств харчової промисловості.

49. Визначення наявності мультиколінеарності в економетричному моделюванні. Метод Феррара-Глобера.

50. Авторегресійні моделі.

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

Базова:

1. Іващук О. Т. Економіко-математичне моделювання: навчальний посібник/ за ред. O.Т.Іващука – Тернопіль: ТНЕУ «Економічна думка», 2008. – 704 с.

2. Лещинський О.Л., Економетрія: навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. /О.Л.Лещинський, В.В.Рязанцева, О.О.Юнькова – К.: МАУП, 2003. – 208 с.

3. Лугінін О.Є. Економетрія: навч. посібник. 2-ге видання /О.Є.Лугінін – К.: Центр учбової літератури, 2008. – 278 с.

4. Наконечний С.І., Економетрія: підручник. /С.І.Наконечний, Т.О.Терещенко, Т.П.Романюк – К.: КНЕУ, 2004. – 520 с.

5. Толбатов Ю.А. Економетрика: підручник /Ю.А.Толбатов – Тернопіль: Підручники і посібники, 2008. – 288 с.

Допоміжна:

6. Назаренко О.М. Основи економетрики: підручник. /О.М.Назаренко – К.: Центр навч. літератури, 2004. – 392 с.

7. Наконечний С.І., Економетрія: навч. методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни. /С.І.Наконечний, Т.О.Терещенко – К.: КНЕУ, 2001. – 192 с.

ДОДАТКИ

Додаток 1