Средняя квадратическая величина
В основе вычисления ряда сводных расчетных показателей лежит средняя квадратическая:
Невзвешенная (простая): 
; Взвешенная: 
.
Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.
Структурные средние величины.
К структурным средним величинам относятся:
1) Мода (Мо)
2) Медиана (Ме)
3) Квартили (Q)
4) Децили (D)
Все средние структурные являются именованными величинами и выражаются в тех же единицах измерения, что и значения признака (варианты).
1. Модейв статистике называют значение признака (вариант), который наиболее часто встречается в исходной совокупности. В дискретном вариационном ряду Мо является вариант, имеющий наибольшую частоту. Рассмотрим на примере с семьями:
| Число детей | Количество семей |
| Х | ƒ |
| Итого |
В этом примере наибольшей частоте 8 соответствует значение признака – 1 ребенок, это и есть значение Мо и, следовательно, наиболее часто встречаются в данном примере семьи, имеющие одного ребенка.
В интервальном вариационном ряду с равными интервалами по наибольшей частоте (частости) находят интервал, содержащий Мо (модальный интервал) и далее Мо вычисляют по формуле: 
, где: 
- нижняя граница интервала, содержащая Мо; iMo – величина модального интервала; fMo – частота модального интервала; 
- частота интервала, предшествующего модальному; 
- частота интервала, следующего за модальным. Пример:
| Возраст депутата (полных лет) (X) | Численность депутатов (кол-во человек) (ƒ) |
| 20-29 | |
| 30-39 | |
| 40-49 | |
| 50-59 | |
| 60-69 | |
| Итог: |
В этом примере наибольшая частота равна 30, следовательно, Мо содержится в интервале от 50 до 59 лет. 
Таким образом вычислили, что наиболее часто встречаются депутаты в возрасте 50,7 лет.
В интервальном вариационном ряду Мо можно также вычислить графически по гистограмме:
В интервальном вариационном ряду с неравными интервалами для определения Мо необходимо:
1. рассчитать частости W
2. вычислить плотность распределения путем деления частости на величину соответствующего интервала: Z=W/i.
3. по наибольшей плотности распределения найти модальный интервал
4. Мо вычислить по формуле: 
В интервальном вариационном ряду с неравными интервалами Мо можно вычислить графически по гистограмме. Для этого по оси ординат вместо частот откладываются соответствующие плотности распределения.
Лекция № 5
Медиана –это значение признака при котором исходная совокупность делится на 2 равные части, при этом первая половина совокупности имеет значение признака меньше, чем медиана, а вторая имеет значения признака больше, чем медиана.
Квартильделит исходную совокупность на 4 равные части. На практике вычисляютпервый (нижний)квартиль, который делит исходную совокупность в соотношении ¼ : ¾ итретий (верхний)квартиль, который делит исходную совокупность в соотношении ¾ : ¼ .
Децильделит исходную совокупность на 10 равных частей. Например: второй D делит исходную совокупность в соотношении 2/10 : 8/10; девятый D делит исходную совокупность в соотношении 9/10 : 1/10.
В дискретном вариационном ряду для определения Ме, квартилей и децилей необходимо:
1) Вычислить накопленные частоты.
2) Определить порядковый номер единицы, которая делит исходную совокупность в нужном нам соотношении. Например: для Ме: 
; для первого Q: 
; для девятого D: 
.
3) По накопленным частотам найти значение признака, которое имеет нужная нам единица совокупности. Пример (про семьи):
| Число детей | Количество семей | S |
| Х | ƒ | |
| Итого |
По накопленным частотам определяем, что 10-ой единице совокупности (10-ой семье) соответствует значение признака равное 1, значит Ме равна 1 ребенку. Половина семей имеют 1 ребенка и вообще не имеют детей, а вторая половина имеют 1 ребенка и больше. 
; 
Таким образом мы вычислили, что ¾ семей (75%) имеют 2-ух детей и меньше, а 25% семей имеют более 2-ух детей; 90% семей имеют 3-ех детей и меньше, а 10% более 3-ех детей.
В интервальном вариационном ряду для определения медианы, квартилей и децилей необходимо:
1) Вычислить накопленные частоты.
2) Найти порядковый номер единицы, которая делит исходную совокупность в нужном нам соотношении.
3) По накопленным частотам найти интервал, содержащий нужную нам единицу совокупности.
4) Медиану, квартили и децили вычисляют по формулам: 
, где 
- нижняя граница медианного интервала (интервала, содержащего единицу, которая делит всю совокупность на 2 равные части); 
- величина медианного интервала; 
- накопленная частота интервала, предшествующего медианному; 
- частота медианного интервала. Пример:
| Возраст депутата (полных лет) (X) | Численность депутатов (кол-во человек) (ƒ) | S |
| 20-29 | ||
| 30-39 | ||
| 40-49 | ||
| 50-59 | ||
| 60-69 | ||
| Итог: |
По накопленным частотам определяем, что 41-ая единица совокупности содержится в интервале 40-49 лет. Этот интервал является медианным.
Половина депутатов фракции «Единство» моложе 47,7 лет, 2-ая половина старше 47,7 лет.
В интервальном вариационном ряду медиану можно вычислить графически по кумуляте:
Квартиль вычисляют по формуле: 
; 
Дециль вычисляют по формуле: 
.
В интервальном вариационном ряду квартиль и дециль можно вычислить графически по кумуляте:
Показатели вариации.
Изменение величины признака от одной единицы совокупности к другой в статистике называют вариацией признака. Кроме средних величин для анализа исходной совокупности вычисляют абсолютные и относительные показатели вариации. К абсолютным показателям относятся:
1) Размах вариации (R) определяется, как разность между максимальным и минимальным значением признака в исходной совокупности R=Xmax-Xmin.
2) Среднее квартильное отклонение. Определяется как половина разности 3-его и 1-ого квартиля: 
.
3) Среднее линейное отклонение (d). Определяется, как средняя арифметическая величина из абсолютных отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Применяют 2 формулы для не сгруппированных данных и сгруппированных.
Для не сгруппированных: 
; для сгруппированных: 
.
4) Дисперсия ( 
).Определяется, как средняя арифметическая величина из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от из средней величины.
Для не сгруппированных: 
; для сгруппированных: 
.
5) Среднее квадратическое отклонение представляет собой квадратный корень из дисперсии.
Для не сгруппированных: 
; для сгруппированных: 
.
Среднее квадратическое отклонение показывает на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака (варианты) в исходной совокупности от средней величины. Показатель среднего квадратического отклонения применяется при оценке возможного риска в финансово-экономических расчетах.
Лекция №6.
К относительным показателям вариации относятся:
1. Коэффициент квартильной вариации,который вычисляется по формуле:
2. Коэффициент осцилляции: 
.
3. Коэффициент вариации: 
исходная совокупность считается однородной по изучаемому признаку, если коэффициент вариации меньше 33%. В этом случае средняя величина объективно представляет свою исходную совокупность. Пример вычисления показателей вариации:
| Возраст депутата (полных лет) (X) | Численность депутатов (кол-во человек) (ƒ) | Середины интервалов (X) |  |  |  |
| 20-29 | 24,5 | 23,2 | 23,2 | 538,24 | |
| 30-39 | 34,5 | 13,2 | 211,2 | 2787,84 | |
| 40-49 | 44,5 | 3,2 | 89,6 | 286,72 | |
| 50-59 | 54,5 | 6,8 | 1387,2 | ||
| 60-69 | 64,5 | 16,8 | 117,6 | 1975,68 | |
| Итог: | 645,6 | 6975,68 |
; R=69-20=49 (лет); =7,9(лет); 
=6975,68/82=85,07; 
;
В среднем возраст каждого депутата отличается от среднего возраста для депутатов данной фракции на 9,2 лет. Данная совокупность депутатов считается однородной по возрасту, т. к. коэффициент вариации меньше 33%.