Примеры использования алгебраического аппарата для классических экономических моделей.

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Макроэкономика функционирования межотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны, является производителем, а с другой – потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в 1936 г. американским экономистом В.В. Леонтьевым. Модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа.

Предполагается, что производственная сфера хозяйства представляет собой отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения своего производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Как правило, рассматривается процесс производства за один год. Обозначим

- общий объем продукции -й отрасли (ее валовой выпуск);

- объем продукции -й отрасли, потребляемый -й отраслью при производстве объема продукции ;

- объем продукции -й отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере (удовлетворение потребностей населения, содержание государственных институтов и т.д.).

Балансовый принцип связи различных отраслей состоит в том, что валовой выпуск -й отрасли должен быть равен сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. Балансовые соотношения могут быть выражены линейными уравнениями:

, (1.8)

В основу модели Леонтьева лег установленный им факт, что в течении длительного времени уровень технологии производства остается неизменным, откуда следует, что - объем потребления -й отраслью продукции -й отрасли при производстве объема продукции - есть технологическая константа. При таком допущении технология производства принимается линейной, а само допущение называется гипотезой линейности. При этом числа называются коэффициентами прямых затрат. Таким образом, учитывая что для , уравнения (1.8) имеют вид:

(1.9)

Систему (1.9) можно записать в матричном виде, называемом уравнением линейного межотраслевого баланса:

, (1.10)

где - вектор валового выпуска, - вектор конечного потребления, - матрица коэффициентов прямых затрат.

Уравнение (1.10) можно использовать в двух целях: для вычисления неизвестного вектора валового выпуска или для нахождения вектора конечного потребления .

Матрица , все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной, если для любого вектора с неотрицательными компонентами существует решение уравнения (1.10) – вектор , все элементы которого неотрицательны. В этом случае модель Леонтьева называется продуктивной.

Требование неотрицательности элементов матрицы и векторов и вполне естественно вытекает из прикладного характера поставленной задачи. Впредь будем считать, что матрица и векторы и удовлетворяют данному требованию.

Известно, что если для матрицы и некоторого вектора уравнение (1.10) имеет решение , то матрица продуктивна.

Таким образом, для определения продуктивности матрицы достаточно установить наличие положительного решения системы (1.10) хотя бы для одного положительного вектора .

Перепишем систему (1.10) с использованием единичной матрицы :

. (1.11)

Если существует обратная матрица , существует единственное решение уравнения (1.11):

. (1.12)

Матрица называется матрицей полных затрат.

Теорема (первый критерий продуктивности). Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда существует матрица полных затрат и ее элементы неотрицательны.

Теорема (второй критерий продуктивности). Матрица продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:

,

причем хотя бы для одного столбца (строки) неравенство строгое.

Пример 15. Дана матрица коэффициентов прямых затрат, вектор валового выпуска для трех отраслей промышленности за истекший год и планируемый на следующий год вектор конечного потребления. Найти вектор конечного потребления за истекший период. Определить объем валового выпуска каждого вида продукции на следующий год.

№	Отрасль	Потребление	Валовой выпуск	Планируемый конечный продукт
	Добыча и переработка углеводородов
	Энергетика
	Машиностроение

Решение. Выпишем вектор валового выпуска и матрицу коэффициентов прямых затрат:

,

Очевидно, что матрица удовлетворяет второму критерию продуктивности.

Для определения вектора конечного потребления за истекший период используем уравнение (1.11). Имеем:

.

Находим вектор конечного продукта за истекший период:

.

Для ответа на второй вопрос – определение объема валового выпуска каждого вида продукции на следующий год, используем формулу (1.12). Сначала вычислим матрицу прямых затрат:

.

.

Таким образом, чтобы выполнить план по выпуску конечного продукта, нужно увеличить соответствующие валовые выпуски: добычу и переработку углеводородов на 52,1%, уровень энергетики – на 35,8% и выпуск продукции машиностроения – на 85% по сравнению с прошедшим годом. n

Линейная модель торговли

Рассмотрим линейную модель обмена или модель международной торговли, отражающую процесс взаимных закупок товаров. Будем полагать, что бюджеты стран, которые мы обозначим соответственно , расходуются на покупку товаров. Пусть - доля бюджета , которую -я страна тратит на закупку товаров у -й страны и - матрица коэффициентов . Тогда, если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне ее (торговый бюджет), то справедливо равенство

. (1.13)

Матрица со свойством (1.13), в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли.

Для -й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой

, . (1.14)

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли: для каждой страны ее бюджет не должен превышать выручки от торговли, т.е. , или

, . (1.15)

В условиях нашей модели неравенства обращаются в равенства. Действительно, если сложить все эти неравенства и сгруппировать по , а также применить свойство (1.13), получим

.

Таким образом, условия (1.15) принимают вид системы линейных уравнений:

. (1.16)

Если ввести вектор бюджетов , то систему (1.16) можно записать в матричном виде

. (1.17)

Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы , отвечающий ее собственному значению , состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.

Для определения будем использовать уравнение (1.17) в виде:

. (1.18)

Пример 16.Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид:

.

Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов равна 6270 д.е.

Решение. Из уравнения (1.18) имеем систему:

.

Ранг матрицы этой системы равен трем, значит, одна из неизвестных является свободной, а остальные выражаются через нее. Решить эту систему можно методом Гаусса (проделайте самостоятельно!). Найденные компоненты собственного вектора имеют вид:

, , , .

Приравниваем сумму найденных значений к заданной сумме бюджетов:

.

Окончательно получаем искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле (в д.е.):

, , , . n