Статистическое изучение вариации

Средняя величина не раскрывает строения совокупности, она не показывает, как располагаются около нее варианты осредняемого признака. Исследование вариации (колеблемости) в статистике дает возможность оценить степень воздействия на признак других варьирующих признаков. Для измерения вариации признака в совокупности применяют ряд обобщающих показателей:

1) размах вариации;

2) коэффициент осцилляции;

3) среднее линейное отклонение;

4) средний квадрат отклонений (дисперсия);

5) среднее квадратическое отклонение;

6) коэффициент вариации.

Наиболее простым измерителем вариации является разность между наибольшим и наименьшим значением признака и называется размах вариации и исчисляется по формуле:

,

где R – размах вариации; – наибольшее значение признака; – наименьшее значение признака.

Показатель вариации учитывает крайние значения признака, которые сильно могут отличаться от всех других единиц, поэтому иногда пользуются показателем осцилляции:

,

где K – коэффициент осцилляции; R – размах вариации; – средняя арифметическая этого ряда.

Среднее линейное отклонение представляет среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариаций (значений признака) от их средней арифметической (знаки отклонений не учитываются). Среднее линейное отклонение может быть простым и взвешенным и измеряется в тех же единицах, что и величина признака. Вычисление среднего линейного отклонения производится по формулам:

1) для несгруппированных данных

,

где – среднее линейное отклонение; – значения признака; – среднее значение признака; n – численность признаков.

.

2) если данные наблюдения представлены в виде дискретного ряда распределения с частотами, тогда .

Число повторений вариантов значений признака, называют частотой повторений. Если частоты представлены в относительных величинах, то их называют частостями.

Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия еще называется средним квадратом отклонений и обозначается (сигма квадрат). В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:

– простая дисперсия;

– взвешенная дисперсия.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и обозначается (сигма).

– простое (невзвешенное квадратическое отклонение) среднее;

– среднее квадратическое отклонение взвешенное.

Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности и выражается в тех же единицах измерения, что и сам признак (в метрах, тоннах, гектарах и т. д.). Вычислению среднего квадратического отклонения предшествует расчет дисперсии.

Коэффициент вариации – это отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической: %.

В отличие от среднего квадратического отклонения коэффициент вариации является относительной величиной, что используется при сравнении вариаций любых совокупностей.

По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков совокупностей. Чем меньше значение коэффициента вариации, тем однороднее совокупность по изучаемому признаку и типичнее явление. И чем больше его величина (V), тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя.

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1

Имеются данные о распределении посевной площади колхоза по урожайности:

Урожайность зерновых, ц/га	Посевная площадь, га
14–16
16–18
18–20
20–22
Итого:

Определить показатели вариации.

Решение:

Урожайность зерновых, ц/га	Посевная площадь, га	Ср. значение интервала
14–16				–3,4	11,56
16–18				–1,4	1,96
18–20				0,6	0,36
20–22					6,76
Итого:

1. Средняя арифметическая (взвешенная) равна:

2. Исчисляем дисперсию (взвешенную):

3. Среднее квадратическое отклонение (взвешенное):

4. Определяем коэффициент вариации:

Задача 2

Имеются следующие данные о выработке продукции (шт.) рабочих:

Определить:

1) среднюю выработку рабочих;

2) дисперсию.

Решение:

Расчет дисперсии

	Выработка рабочих, х
		–5
		–3
		–3
		–2
Итого:		–

;

.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

По двум бригадам слесарей, занятым на ремонте оборудования, начислена за месяц заработная плата в следующих размерах:

Заработная плата 1 слесаря, дол.						Итого
Численность слесарей в бригадах, чел.	№1	–
№2				–	–

Вычислить:

1) среднюю заработную плату по каждой бригаде;

2) размах вариации;

3) показатель осцилляции;

4) дисперсию;

5) среднее квадратическое отклонение.

Задача 2

С участков был получен следующий урожай пшеницы:

Средняя урожайность с отдельных участков, ц с 1 га						Итого
Число участков в % к итогу	6,6	26,7	40,0	16,7	10,0	100,0

Вычислить:

1) среднюю урожайность;

2) размах вариации;

3) дисперсию.

Задача 3

Для определения скорости износа резцов проведено обследование 1000 резцов. Получены следующие данные:

Время работы резца, час.
Число резцов, шт.

По данным обследования вычислить:

1) дисперсию;

2) среднее квадратическое.

Задача 4

Для изучения норм выработки на заводе проведено обследование затрат времени рабочих-станочников. Распределение рабочих по затратам времени на обработку одной детали представлены в таблице:

Затраты времени на одну деталь, мин.	до 24	24–26	26–28	28–30	30–32	32–34	Итого
Число рабочих в процентах к итогу

Определить среднее квадратическое отклонение затрат времени на одну деталь.

Задача 5

По десяти однородным предприятиям имеются данные об энерговооруженности труда на одного работника:

Номер предприятия
Энерговооруженность труда, кВт/ч

Определить:

1) среднее линейное отклонение;

2) дисперсию;

3) среднее квадратическое отклонение.