Основные статистические характеристики

В основе дальнейших построений лежит показатель прибыльности ценных бумаг, рассчитываемый как процентное отношение выплачи­ваемых по очередному периоду доходов (дивидендов, процентов) к рыночной цене бумаг. Наряду с этим будет рассматриваться средний рыночный показатель гщ, определяемый по формуле:

«•»-2 «■ i х! , . а)

. ■ . 1 = 1- ■ , .

где: п — прибыль i -х бумаг, N — количество всех бумаг на рынке, X-i — удельный вес /' -х бумаг, определяемый как отношение объема их

выпуска к суммарному объему всех выпусков (в рыночных ценах на соответствующий момент).

Расчеты показателя г_т по всем выпускам за рубежом не проводятся из-за чересчур большого количества различных ценных бумаг. Вместо этого используется статистическая отчетность по индексам, охватываю­щим достаточно широкий круг бумаг, включающий в себя наиболее представительные компании. В частности, в США чаще всего использу­ется индекс Standard&Poor's, который рассчитывается именно как средневзвешенный по акциям 500 крупнейших компаний. В России и в других государствах СНГ тем более целесообразно следовать аналогич­ному селективному правилу, так как определенная часть акций уже в момент своего появления окажется далеко за чертой надежности.

Предположим теперь, что показатели г_т и г/ отобраны за К прошедших лет, т.е. имеются наборы: (г}_п, гт,.--гт) и (г/, г},...г?) для каждого /', входящего в состав общерыночного индекса. Конкрет­ное значение К, т.е. длина ретроспективного ряда, определяется каждым исследователем индивидуально и возможные на этот счет соображения не входят в круг рассматриваемых здесь вопросов.

Следуя стандартной статистической процедуре, можно получить средние арифметические величины по каждому из указанных набо­ров, для которых будут применяться обозначения — ~г_т и 7/.

Второй, также вполне стандартной характеристикой, является среднеквадратическое отклонение:

\_ 1

1=1

а

а

m

m

К

(2)

К

Следующее соотношение вытекает из формулы (1). Справедливое для каждого года, оно сохраняется и для средних величин:

l

Подставляя (3) в первое из соотношений (2), можно получить еще одну широко известную формулу:

I

N N

(4)

2 2

где aij = pi) oi о) tptj — коэффициент корреляции равный:

[ х f(^?J-^rl)'

со значениями, не выходящими за пределы -1, +1.

Все вышеприведенные соотношения представляют собой начало любой статистической обработки, не зависящее от конкретных про­цессов, которые породили ту или иную статистику. Поэтому смысл всех последующих действий обусловливается тем, как именно интер­претируются указанные символы и формулы. С этого начинается и построение интересующей нас модели.

Величины ~г_т и 7/. получают следующую смысловую нагрузку. Исследователь полагает, что на протяжении выбранного им ретрос­пективного периода в К лег прибыль по рынку ценных бумаг в целом и по отдельным бумагам в каждом году соответствовала этим пока­зателям, но отклонялась от них в силу различных еще не изученных причин. Он также считает, что эти причины будут действовать и в будущем, и хочет выяснить ряд вопросов.

Каково фактическое отклонение прибыли? Другими словами, как измерить имеющиеся колебания и по рынку в целом, и по отдельным бумагам, чтобы определять вероятность, поступления прибыли в ожидаемом размере?

В чем причины указанных колебаний, и каковы количественные закономерности, их определяющие?

Какова роль отдельных бумаг в прибыльности и риске инвестици­онного портфеля?

Надолго ли сохранятся сложившиеся к настоящему моменту коли­чественные характеристики рынка, и если изменятся, то как?

К перечисленному примыкают и побочно решаются другие не менее важные вопросы, как например, снижение риска инвестиционного портфеля при сохранении уровня доходов, верификация рыночных цен в связи с недооценкой или переоценкой отдельных бумаг и т.д.

Из сказанного ясно, что вслед за показателями прибыли Ъп и 7/. на передний план выдвигается характеристика колебаний или девиа­ция бумаг.

Эту роль выполняет среднеквадратическое отклонение а, имену­емое в теории вероятностей дисперсией. Мы будем иметь в виду эквивалентность всех трех терминов, предпочитая в дальнейшем наиболее простой из них, а именно — отклонение.

Таким образом, первый и наиболее простой вывод состоит в том, что при равенстве прибыли / -х и j -x бумаг (7/ = 7/.) риск выше там,

где больше а. Так например, из соотношения а / - 3/2 а / инвестор сделает вывод о том, что риск вложения денег в / -е бумаги в полтора раза выше, чем в / -е, при их равной отдаче.

Ниже мы укажем формульную связь а с оценкой вероятности риска, а пока перейдем к следующему этапу моделирования.

Рыночное равновесие

Современный рынок ценных бумаг представляет собой хорошо уравновешенную систему. Это значит, что продавцы бумаг и их покупатели постоянно и активно взаимодействуют, т.е. разрыв между ценами спроса и предложения очень невелик и стороны быстро приходят к признанию их равновесных значений. Кроме того, все обращаемые на рынке бумаги имеются в любое время в продаже. Разумеется, речь идет о нормальном состоянии рынка, поскольку резкие кризисные спады, как и неожиданные взлеты активности относятся к аномальным явлениям, которые изучаются отдельно.

Указанное состояние рынка на первый взгляд представляет зау­рядную в информационном отношении констатацию. За этим, однако, следует чрезвычайно важный вывод, который в дальнейшем будем именовать принципом рыночного равновесия. Ему можно дать две эквивалентные формулировки.

Прибыли ?щ соответствует минимально возможная степень риска а,п или: максимально возможная прибыль, отвечающая риску am, достигается при структуре портфеля, идентичной структуре рыноч­ного оборота.

Иными словами, любой портфель с существенно отклоняющейся от рыночной структурой при равенстве одного из показателей г или а будет проигрывать в другом.

Поначалу принцип рыночного равновесия производит впечатле­ние однозначности инвестиционной стратегии и нецелесообразно­сти дальнейших разработок в этом направлении. Действительно, главной задачей инвестора становится максимальное воспроизведе­ние в своем портфеле структуры рынка с периодической ее коррек­тировкой каждые полгода-год. Остальное, как говорится, само пойдет.

В зарубежной практике такой подход к выбору инвестиционной стратегии весьма типичен. Причем для его реализации не требуется больших вложений для приобретения всех бумаг в нужных пропор­циях. Как показывает, например, американский опыт, для этого достаточно воспользоваться набором Доу-Джонса, состоящим из ак­ций всего 30 компаний.

Итак, каждый инвестор имеет возможность избрать стратегию рыночного портфеля. Но все ли этого хотят? Ведь для одних существующий уровень риска а_т может показаться чрезмерным, и они захотят его понизить, пожертвовав частью прибыли. Для других, напротив, окажется недостаточным размер прибыли и ради его увеличения они пойдут на более рискованные вложения

средств.

Таким образом появляются еще две группы инвесторов, а вместе с ними две проблемы. Как снизить уровень риска с минимальными потерями прибыли? Как увеличить прибыль с минимальным допол­нительным риском? Прежде, чем предложить пути их решения, остановимся на одной детали, связанной с ~г,п и а,_п.

Когда речь идет о рыночном равновесии, не следует забывать о самих субъектах рынка — инвестиционных фондах, компаниях, банках, брокерских и дилерских фирмах; наконец, об огромном множестве частных инвесторов. Прежде всего эти последние своими оценками и действиями и формируют цены. Благодаря их настро­ениям и вкусам активизируется или снижается обращение бумаг. Иначе говоря, зеркальным отражением рыночного равновесия яв­ляются общественно усредненные теоретические знания, ментали­тет, практические навыки. Но эти качества у каждого отдельного субъекта рынка — свои. Поэтому кроме упомянутых групп инве­сторов существует еще одна, состоящая из тех, кто опережает среднюю массу по теоретической подготовке и интеллектуальной тренированности. Им по силам нарушить равновесие на рынке в свою пользу.

Основные формулы

Уже неоднократно упоминавшиеся в этой и в других главах книги гарантированные бумаги с фиксированным доходом представляют собой важнейший элемент рыночного оборота, а, следовательно, и инвестиционного портфеля.

Отсутствие риска по понятным причинам влечет за собой и минимальный среди прочих бумаг уровень прибыли. В силу этого гарантированные бумаги играют роль главного регулятора прибылей

и рисков.

Для понимания данного обстоятельства следует обратиться к ни­жеприведенному рисунку.

По его горизонтальной оси откладывается риск, по вертикальной — прибыль. Кривая L представляет собой верхнюю границу области />, соответствующей различным, в том числе не оптимальным инве­стиционным портфелям. Символ Z обозначает гарантированный про­цент, выплачиваемый по казначейским бумагам.

Рисунок не является строгим доказательством, а лишь иллюстра­цией последующих выводов. Сами же доказательства могут быть получены из принципа рыночного равновесия с помощью несложных математических действий и предоставляются желающим в качестве упражнения.

Все точки области Р расположены выше отметки Z. Это означает, что даже не оптимальный портфель, составленный из бумаг с той или иной степенью риска, дает более высокую прибыль, чем аналогичные по объему инвестиций гарантированные бумаги.

Кривая L на всех своих участках представляет выпуклую вверх линию. Ее возрастание, как функция от а, имеет затухающую скорость.

Все точки кривой L левее а_т помещаются ниже отрезка прямой, соединяющего Z и г_т, а сама эта прямая является касательной к L. Из этого обстоятельства вытекает заключение, которое можно проде­монстрировать на следующем примере.

Предположим, что клиент захотел сформировать портфель с уров­нем риска в 70% к рыночному, т.е. понизить последний на 30%. Для достижения этого ему необходимо и достаточно вложить 70% своих инвестиций в ценные бумаги, образующие структуру рыночного портфеля, а остальные 30% — в гарантированные бумаги с фиксиро ванным доходом. Соответствующая такому портфелю прибыль вычис­ляется так: 30% * Z + 70% х ~г_т . Любая другая комбинация с тем же понижением риска даст меньшую прибыль.

Из сказанного вытекает соотношение, известное под названием линия капитала^ связывающее г_р и а_р (r_pz~r_m , а_р^а_т):

- Z

а

(5)

Z +

— ъ

а

При г_р-г_т и о_р=о_т оно превращается в тождество:

(6)

а

= Z +

Опуская не очень сложные математические выкладки, приведем следующие соотношения, которые могут быть получены из формул (1), (3), (4), (6) для всех i- У, 2, ...N.

Величина а/_т характеризует структурную корреляцию i -x цен­ных бумаг с рыночным портфелем.

Таким образом, чем больше величина aim, тем выше прибыль соответствующих ценных бумаг. В то же время из равенства (9) ясно, что увеличение а_ип ведет к возрастанию риска а_т.

N

(9)

\ ш

I

J-1

Следовательно, просматривая цепочку в обратную сторону, можно заключить, что замена любых ценных бумаг на более прибыльные повышает риск портфеля. Те же закономерности действуют и в противоположном направлении. Эти выводы и установленные форму­лами (5), (8), (9) количественные связи уже в значительной мере отвечают на ранее поставленные основные вопросы инвестора Для дальнейшего введем едва ли не самый главный показатель рынка ценных бумаг — так называемую бету (р), определяемую как

отношение: ainja_m. В связи с этим уравнение (8) принимает вид:

ri- Z+ (г_ш —Z) /J, (10)

По отношению к бете справедливо, таким образом, следующее утверждение: чем больше бета, тем выше прибыль ценных бумаг, и обратно — большая прибыль означает большую бету.

Два других, не менее важных утверждения вытекают из формулы (11), которую мы также приводим без доказательств.*

1 а, =

()

Здесь at, в соответствии с формулой (2), является характеристикой риска i -х бумаг, a a_ei — величина, не зависящая от бета. Каждое из двух слагаемых в правой части (11) имеет свой особенный смысл. Первое известно под названием рыночный (или систематический) риск бумаг, второе — уникальный (или единичный) риск.

В качестве первого вывода из формулы (11) можно указать на прямую зависимость а/ от /3/. Второй вывод заключается в том, что риск бумаг удается разделить на две независимые составляющие, одна из которых — /3? о% — показывает как общее состояние дел на рынке влияет на конкретные ценные бумаги, а другая относится к исклю­чительным качествам данных бумаг.

Разделение риска на независимые составляющие дает любому инвестору возможность проанализировать ценные бумаги со всех сторон и определить их сильные и слабые стороны при формировании портфеля. Ниже будет указан способ расчета величины а_е/, а пока остановимся подробнее на формулах (5) и (10).

Как показывает проверка практикой, формула (5) может быть с полным успехом распространена и на значения о_р, расположенные правее а_т в сравнительно небольшом от нее удалении. Это дает инвестору возможность сопоставить целесообразность увеличения потенциальной прибыли с возникающим в этой связи дополнитель­ным риском. Приняв положительное решение, он может увеличить в своем портфеле удельный вес бумаг с более высокими бета, чем

N

средняя по портфелю/Зр =]£ Xi 0/. По причине, которая будет вскоре понятна, ему при этом целесообразно включить новые бумаги, не содержавшиеся в портфеле ранее.

В реальной жизни ивесторы чаще всего все-таки пользуются в таких случаях не формальными методами, а соображениями, осно­ванными на рыночной информации, различных прогнозах, а иногда и личных пристрастиях к тем или иным бумагам. Однако тем, кто хотел бы получить исчерпывающее представление о математических методах оптимального (с точки зрения г_р) перевода портфеля в состояние повышенного риска, может быть рекомендован источник [9], а точнее тот его раздел, где речь идет о методе Марковича для определения г_р -оптимума при заданном уровне риска и любом конкретном наборе (не обязательно рыночном) ценных бумаг.

Теперь обратимся к формуле (10).

Если не принимать во внимание некоторые связанные с ней условности, лежащие в основе всех сделанных здесь построений (принцип равновесия, предположение об отражательных способно­стях средних величин), знак равенства, соединяющий левую и правую части, является точным. Но это достигается за счет того, что в равенстве (10) используются усредненные показатели 1гт и г и Такое обстоятельство затрудняет интерпретацию и практическое использо­вание формулы, поэтому вместо нее используется соотношение

r_i=Z₊ (r_m-Z) p_i+e._t , (12)

рассматриваемое как статистическая закономерность с отклонением в виде случайной величины £/.

Аналогичным образом трансформируется и формула (5):

r_p= Z+ (r_m-Z) /|_{р +} £_р , (13)

Символ р обозначает уже любой портфель, X _1р — удельное

N N

содержание в нем / -х бумаг р_р = ^ Xi_ppi. , Е_р = ]>] Х\_р £/.

(14) (15)

Вместе с (12) и (13) выполняются следующие равенства:

/1

Кроме того, рассчитываемая аналогично формулам (2) величина а, для Ei из соотношения (12) совпадает с величиной ст_е/ из (11).

Из (15) следует тот важный вывод, что диверсификация портфеля снижает уровень риска. Проще говоря, любая замена конкрет­ных бумаг на сумму, например, 2000 долл. на разные бумаги по 1000 долл. с теми же самыми бета (!), сохраняет прибыль г_р, но понижает риск а_р.

Формулы (12) и (13) являются главными расчетными. Инвестор, используя публикуемую статистику по г/ и г_т за ряд прошедших лет, всегда может определить /3/ и р_р по легким даже для ручного счета формулам:

в Р

(16)

б/ и е/ ( j - /, 2, ... , К ) рассчитываются затем как фактиче­ские разности левой и правой части.

Заключительные замечания

Как уже отмечалось в начале главы, в ней описана чрезвычайно широко применяемая модель оценки основного капитала, построенная на вероятностно-статистических методах. Основные заслуги по ее созданию принадлежат крупному американскому ученому В.Шарпу, но и другие зарубежные специалисты потратили немало времени и сил на ее усовершенствование. Здесь очень важно подчеркнуть уже высказанную ранее мысль, что сама проблема, изучаемая с помощью этой модели, не допускает своего вполне законченного решения. Любому исследователю приходится довольствоваться лишь постоян­ным уточнением и углублением собственных и чужих результатов. Это накладывает отпечаток на аналитическую структуру модели, а именно выражается в некоторой неоднозначности используемых при­емов. Однако в этом же заключается и сильная ее сторона, так как инвестору предоставляется возможность выбирать тот аналитический инструментарий, который по его мнению наиболее эффективен для оценок данной рыночной ситуации, ее близких и отдаленных перс­пектив.

Определив для себя структуру портфеля, инвестор занимает по отношению к рынку как бы статическую позицию и может сохранять ее достаточно долго, если сам рынок сохраняет общую динамику и внутренние пропорции. Вместе с этим при резких изменениях в рыночной ситуации или неожиданных сдвигах в доходах и курсах конкретных бумаг, инвестор может срочно откорректировать свой портфель с помощью широчай­шего арсенала способов, в том числе предоставляемых опцион­ными сделками и их сочетаниями с короткими или длинными позициями по отдельным бумагам.

Таким образом, процесс формирования и ведения портфеля дает возможность усовершенствовать инвестиционную технику как в на­правлении математических методов*, так и путем освоения рыночных операций, изложенных в предыдущих главах.

В странах с развитой капиталистической экономикой существуют различные точки зрения на то, какими именно средствами можно быстрее всего достичь в этом смысле успеха. Тут опять проявляют себя комплексность и внутреннее многообразие рынка ценных бумаг, а также свойственное всем желание найти к нему подход с какой-то одной стороны. Прямым порождением этого являются устойчивые разногласия, касающиеся оценок различных частных явлений рынка, однако существует и одно принципиальное расхождение, на котором нельзя не остановиться.

То, что курс акций подвержен частым колебаниям, которые далеко не всегда адекватны реальным изменениям в делах компании-эми­тента, известно всем. Поэтому многие спекулянты пытаются вовремя воспользоваться такими недолгими ситуациями. Вместе с этим суще­ствует мнение, что на рынке всегда есть бумаги с устойчиво завы­шенными или заниженными ценами. То есть, имеются в виду не отдельные кратковременные отклонения курсов, а несоответствие ценовой основы бумаг. Такая гипотеза эквивалентна утверждению о том, что средняя цена бумаг, рассчитанная за достаточно длительный прошедший период, была выше или ниже "правильной". В качестве "правильной" сторонники этой гипотезы принимают ту цену, доход по которой равен Z+ ( г _т — Z\ fit, где бета рассчитана по формуле (12). Мерой отклонения от "правильной" цены служит показатель альфа (а ):

в,-r,-[Z+ (r_m-Z) /j,] (17)

При а/<о действовавшая цена считается завышенной, а при сц>о — заниженной. На основе а -анализа инвесторы уточняют состав портфеля, вы­бирая при прочих равных условиях те акции, которые имеют поло­жительные альфа. При опционных сделках эти соображения служат дополнительным основанием для приобретения call и продажи put, a положительные — для обратных сделок. Логика таких действий состоит в том, что рынок не может допустить слишком долгое отклонение своих цен от нормы.

Противники гипотезы несоответствия цен считают а -анализ в лучшем случае бесполезным занятием, а скорее вредным, поскольку взамен потерянного времени инвестор, по их мнению, получает ложную информацию. Само же наличие ненулевых альфа они относят на счет принципиального несовершенства любых моделей и, в част­ности, модели оценки основного капитала.

К сожалению, отдать в этом споре явное предпочтение одной из сторон вряд ли возможно, и это отчетливо проявляется в позициях зарубежных ученых-экономистов — многие из них стараются не высказываться по этому поводу.

В заключение настоящей главы следует вернуться к одному заме­чанию, сделанному в ее начале. Это замечание о том, что модель оценки основного капитала применима прежде всего к портфелю, составленному из акций и гарантированных бумаг с фиксированным

доходом.

С точки зрения теоретических обобщений модель могла бы быть расширена и до включения в портфель различного рода облигаций, однако, это превратило бы ее в чисто абстракную конструкцию не пригодную для практического использования. Причина такой несов­местимости проистекает из принципиальных различий в понятии риска для акций и облигаций. Риск по облигациям и связанная с ним прибыль имеют свою особую природу, обусловленную формой долго­вых отношений эмитента и инвестора, а не отношениями корпора­тивной собственности как у акций. Это определяет совершенно иные методы отбора облигаций и сепаратный подход к формированию и ведению их портфеля. Подробно об этом будет рассказано в следую­щей и последней главе книги.