Характеристики точности моделей
О точности модели можно судить по величине ошибки прогноза. Ошибка прогноза – величина, характеризующая разницу между фактическим и прогнозным значением показателя.
Абсолютная ошибка прогноза определяется формулой
где 
- прогнозное значение показателя; 
- фактическое значение.
На практике используется относительная ошибка прогноза
δt = 
100.
Средние абсолютные и относительные ошибки по модулю:
= 
; 
= 
∑ 
100.
Если абсолютная и относительная ошибки больше нуля, то это свидетельствует о завышенной прогнозной оценке, если меньше нуля, то оценка заниженная.
Пример11.2. По данным об объеме перевозок грузов и прогнозам по двум моделям следующей таблицы найти относительную ошибку по модулю и среднюю абсолютную ошибку по модулю.
Таблица 11.3
| t | |||||||
| yt | |||||||
| Прогноз 1й модели | |||||||
| Прогноз 2й модели |
Решение. Результаты расчета относительной ошибки и средней абсолютной ошибки по заданным моделям занесем в таблицу 11.4:
Таблица 11.4
| t | Средняя ошибка | |||||||
| yt | ||||||||
| Прогноз 1й модели | ||||||||
| Прогноз 2й модели | ||||||||
| Абсолютная ошибка по модулю 1й модели | 8,57 | |||||||
| Абсолютная ошибка по модулю 2й модели | 8,29 | |||||||
| Относительная ошибка по модулю 1й модели | 2,985 | 5,24 | 3,101 | 2,67 | 0,39 | 3,5 | 4,943 | 3,263 |
| Относительная ошибка по модулю 2й модели | 2,985 | 1,938 | 6,11 | 3,54 | 2,34 | 2,281 | 3,169 |
По расчетам предпочтительнее вторая модель, так как для нее средняя абсолютная и средняя относительная ошибки меньше.
Контрольные вопросы и задания
1. Выведите весовые коэффициенты для расчета взвешенных скользящих средних. Сглаживание временного ряда на каждом активном участке осуществляется по полиному третьего порядка при длине интервала сглаживания l=5.
2. В таблице 11.5 представлены данные квартальной динамики о прибыли компании. Проведите графический анализ компонентного состава временного ряда. Рассчитайте оценки коэффициентов сезонности, предположив ее мультипликативный характер. Проведите интерпретацию полученных результатов.
Таблица 11.5
| Год | Квартал | |||
| I | II | III | IV | |
3. По данных предыдущего упражнения определите прогнозную оценку прибыли компании в 1-ом полугодии следующего года с помощью тренд-сезонной модели. Используйте оценки коэффициентов сезонности, рассчитанные прежде.
4. На основе квартальных данных об объемах продаж продукции фирмы (тыс. шт.) за 5 лет была построена тренд-сезонная модель. Сезонность носила аддитивный характер. Оценки сезонной составляющей представлены в таблице 11.6.
Таблица 11.6
| Квартал | I | II | III | IV |
| Сезонная составляющая | ? | -0,12 | 0,17 | 0,20 |
Определите значение сезонной составляющей для 1 квартала.
5. Рассчитайте прогнозную оценку уровня продаж в 1-ом полугодии следующего года, если уравнение тренда имеет вид: =11,56+0,32t (t=1,2…20)
6. На основе квартальных данных о производстве продукции фирмы (тыс. шт.) за 6 лет были оценены коэффициенты модели (t=1,2…24). Модель, содержащая линейный тренд и сезонные фиктивные переменные для II( 
), III( 
) и IV( 
) кварталов, имела вид:
13,75-0,32t+4,08 +3,02 +3,01
(с.о.) (0,65) (0,04) (0,75) (0,73) (0,73)
В скобках указаны стандартные ошибки коэффициентов (с.о.). Дайте интерпретацию полученной модели. Рассчитайте прогнозную оценку объема производства в 1-ом полугодии следующего года.
7. Дайте определение стационарного временного ряда в узком и широком смысле. Можно ли утверждать, что временной ряд стационарный в узком смысле является одновременно стационарным в широком смысле? Будет ли справедливым обратное утверждение?
8. Как на стадии графического анализа динамики временного ряда можно определить характер сезонности (аддитивный или мультипликативный)?
9. Объясните, почему реализации взвешенных скользящих средних весовые коэффициенты будут неизменными при сглаживании по полиному как второго порядка, так и третьего порядка.
10. Поясните, когда целесообразно использовать простые скользящие средние, а для каких временных рядов предпочтительнее применение взвешенных?
11. Объясните суть метода последовательных разностей.
12. Чему равна сумма оценок значений сезонной составляющей для полного сезонного цикла? (характер сезонности – аддитивный).
13. С помощью какого критерия определяют автокорреляцию остатков?
14. Приведите алгоритм применения критерия Дарбина-Уотсона.
Заключение
Основной задачей преподавания дисциплины «Математические методы и модели в управлении» является формирование навыков принятия обоснованных управленческих решений в профессиональной деятельности.
В результате изучения этой дисциплины студенты убеждаются в широком использовании ранее полученных математических знаний при изучении основ математических методов и моделей в управлении.
В связи с этим в учебном пособии изложены основы математических методов и моделей в следующих разделах:
· математическое программирование,
· игровые методы,
· методы сетевого планирования и управления,
· элементы теории массового обслуживания,
· модели временных рядов.
Отличительной особенностью данного учебного пособия является достаточно подробное рассмотрение теоретических вопросов, связанных с сущностью проблемы использования математических моделей и методов в управлении, а также подбор примеров согласно экономическим специальностям и по специальности «Таможенное дело».
Список литературы
1. Афанасьев, В.Н. Анализ временных рядов и прогнозирование: учебник / В.Н. Афанасьев, М.М. Юзбашев. . – М.: Финансы и статистика, 2012. – 320 с.
2. Ермаков, В. И. Общий курс высшей математики для экономистов: учебник / В. И. Ермаков, Б. М. Рудык. – М.: ИНФРА-М, 2008. – 656 с.
3. Замков, О.О. Математические методы в экономике: учебник / О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. – М.: Издательство «Дело и Сервис», 2004. – 368 с.
4. Красс, М. С. Математика для экономистов: учеб. пособие / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. – СПб.: Питер, 2009. – 464 с.
5. Красс, М.С. Математика в экономике. Математические методы и модели: учебник / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 544 с.
6. Кузнецов, Б.Т. Математика: учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления / Б.Т. Кузнецов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 719 с.
7. Орлова, И.В. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: учебное пособие / И.В. Орлова, В.А. Половников. – М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2013.− 389 с.
8. Попов, А.М. Экономико-математические методы и модели: учебник для бакалавров / А.М. Попов, В.Н. Сотников. – М.: Издательство Юрайт, 2011. – 479 с.
9. Шикин, Е.В. Математические методы и модели в управлении: учеб. пособие / Е.В. Шикин, А.Г. Чхартишвили. . – М.: ДЕЛО, 2002. – 440 с.