Математические модели задачи фирмы 5 страница

Легко проверить, что и

Кроме того, функция (4) линейно-однородна:

.

Таким образом, функция Кобба-Дугласа (4) обладает всеми вышеуказанными свойствами.

Для многофакторного производства функция Кобба-Дугласа имеет вид:

Для учета технического прогресса в функцию Кобба-Дугласа вводят специальный множитель (технического прогресса) e^vt , где t - параметр времени, v- постоянное число, характеризующее темп развития. В результате функция принимает «динамический» вид: , где не обязательно .

4.3 Производственная функция CES

Производственная функция CES(с постоянной эластичностью замещения) имеет вид:

(5)

Где - коэффициент шкалы, - коэффициент распределения, - коэффициент замещения, - степень однородности. Если выполнены условия , то функция (5) удовлетворяет неравенствам (2) и (3). С учетом технического прогресса функция CES записывается:

Название данной функции следует из того факта, что для нее эластичность замещения постоянна.

4.4 Производственная функция с фиксированными пропорциями.

Эта функция получается из (5) при и имеет вид:

(6)

Производственная функция затрат-выпуска(функция Леонтьева) получается из (6) при : .

Содержательно эта функция задает пропорцию, с помощью которой определяется количество затрат каждого вида, необходимое для производства одной единицы выпускаемой продукции. Поэтому часто встречаются другие формы записи:

(7)

или

Здесь - количество затрат вида k, необходимое для производства одной единицы продукции, а y - выпуск.

4.5 Производственная функция анализа способов производственной деятельности.

Данная функция обобщает производственную функцию затрат-выпуска на случай, когда существует некоторое число (r) базовых процессов (способов производственной деятельности), каждый из которых может протекать с любой неотрицательной интенсивностью. Она имеет вид «оптимизационной задачи»

, где (8)

Здесь - выпуск продукции при единичной интенсивности j-го базового процесса, - уровень интенсивности, - количество затрат вида k, необходимых при единичной интенсивности способа j. Как видно из (8) , если выпуск, произведенный при единичной интенсивности и затраты, необходимые на единицу интенсивности, известны, то общий выпуск и общие затраты находятся путем сложения выпуска и затрат соответственно для каждого базового процесса при выбранных интенсивностях. Заметим, что задача максимизации функции f по в (8) при заданных ограничениях-неравенствах является моделью анализа производственной деятельности (максимизация выпуска при ограниченных ресурсах).

4.6 Линейная производственная функция

Линейная производственная функция (функция с взаимозамещением ресурсов) применяется при наличии линейной зависимости выпуска от затрат:

(4.9)

где - норма затрат k-го вида для производства единицы продукции (предельный физический продукт затрат).

Среди приведенных здесь производственных функций наиболее общей является функция CES, она обобщает функции Кобба-Дугласа, Леонтьева и линейную производственную функцию.

4.7 Области применения производственных функций.

Задача 1.

Производственная функция имеет вид Y=F(K, L)=5L^0,5K^0,5, где Y - количество продукции за день, L - часы труда, K - часы работы машин. Предположим, что в день затрачивается 9 часов труда и 9 часов работы машин. Каково максимальное количество продукции, произведенной за день? Предположим, что фирма удвоила затраты обоих факторов. Определите эффект масштаба производства.

Решение. В условиях задачи в день производится единиц продукции. Если затраты обоих факторов удваиваются, то выпуск становится равным , т.е. тоже удваивается. Тогда F(2K, 2L)=2F(K, L) и эффект от изменения масштаба производства, определяемый из условия , равен 1.

Задача 2.

В краткосрочном периоде производственная функция фирмы имеет вид: Y=100L+25L²-3L³, где L - число рабочих. При каком уровне занятости общий выпуск будет максимальным?

Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти точку максимума функции Y(L) . Продифференцируем ее по L и приравняем производную к нулю: ‑9L²+50L+100=0. Получаем квадратное уравнение, дискриминант которого D=2500+3600=6100, а корни . Поскольку один из корней отрицательный, берем .

Количество рабочих - целое число, поэтому, округляя, получаем L=7.

Задача 3.

Предположим, что когда фирма увеличивает применяемый капитал со 120 до 150, используемый труд с 500 до 625, выпуск продукции увеличивается с 200 до 220. Какой эффект роста масштаба производства имеет место в данном случае?

Решение. Эффект роста масштабов производства определяется из условия . В нашем случае . В то же время выпуск увеличился в раз, т.е. . Значит, и .

Задача 4.

Издержки производства 100 штук некоторого товара составляют 300 тыс. руб., а 500 штук - 600 тыс. руб. Считая функцию издержек линейной, определите величину издержек в тыс. руб. для выпуска 400 штук.

Решение.Запишем линейную функцию издержек в виде C=aY+b, где C - издержки производства, Y - объем выпуска, a,b - коэффициенты. Подставляя известные значения выпуска и соответствующих им издержек, получаем систему уравнений: . Отсюда находим , т.е. . При Y=400 получаем C=525.

Задача 5.

Общие издержки фирмы по ремонту автомобилей составляют С=2S²+100, где S - число автомобилей. Пусть рыночная стоимость ремонта автомобиля равна 120 долларов. Сколько автомобилей будет отремонтировано при этой цене? Какую прибыль получит фирма?

Решение. Доход фирмы определяется как 120S, издержки - как 2S²+100. Тогда ее прибыль равна П=120S-2S²-100. Максимум прибыли находится из условия равенства нулю ее производной: . Отсюда S=30 и П=1700.

Математические модели задачи фирмы

Рассмотрим оптимизационные модели производства. Будем моделировать не само производство, как таковое, а задачу принятия решения относительно планирования производства. Поэтому будем предполагать выполненными следующие аксиомы:

§ любое производство начинается с этапа планирования;

§ принимаются только реалистичные планы;

§ принятые планы выполняются.

На основе этих положений задача фирмы как организации, производящей затраты производственных ресурсов для изготовления товаров, сводится к определению количества выпускаемой продукции и необходимых для этого затрат.

Фирма должна решить свою задачу наилучшим (т.е. оптимальным) образом. При этом «оптимальность» можно понимать двояко: либо как получение наибольшей прибыли (с учетом имеющихся возможностей фирмы относительно затрат ресурсов), либо как достижение необходимого (фиксированного) уровня выпуска с наименьшими затратами. Фирма может поставить перед собой только одну из этих целей. В противном случае задача будет некорректной, т.е. нереализуемой. Действительно, нельзя осуществить наибольший выпуск при наименьших затратах. В теории многокритериальной оптимизации этот факт устанавливается строго.

С точки зрения временного промежутка (горизонта планирования) можно различить задачи двух типов - задачу текущего производства (краткосрочная задача) и задачу перспективного развития (долгосрочная задача).

Краткосрочная задача ставится на один производственный цикл - от начала производства товара до момента выхода фирмы со своим товаром на рынок. Здесь решается задача рационального использования уже имеющихся в распоряжении фирмы ресурсов, производственных мощностей, сырья, расходов на заработную плату. Поэтому математические модели краткосрочной задачи фирмы представляют собой оптимизационные задачи с ограничениями.

Долгосрочная задача охватывает период, достаточный для принятия и реализации крупномасштабных решений: наращивания или сокращения основных фондов, изменения структуры производства, определения долгосрочных инвестиций, страховок и др. Эти затраты непосредственно не зависят от объема текущего выпуска. Поэтому математические модели долгосрочной задачи фирмы являются задачами безусловной оптимизации.

Для моделирования задач фирмы нам нужно формализовать такие понятия, как затраты, выпуск, их цены, доход, издержки и производственные возможности фирмы.

Доход (выручка) фирмы в определённом временном периоде – произведение общего объёма выпускаемой фирмой продукции на рыночную цену этой продукции.

Издержки фирмы – общие выплаты фирмы в определённом временном периоде за все виды затрат.

Прибыль фирмы в определённом временном периоде – разность между полученным фирмой доходом и её издержками производства.

Основная цель фирмы заключается в максимизации прибыли путём рационального распределения затрачиваемых ресурсов.

Не умаляя общности, будем считать, что фирма производит один вид продукта, используя m видов ресурсов. Эти величины будем обозначать соответственно через y и x₁,…,x_m. Предположим, что «технология» производства достаточно хорошо изучена, т.е. известна производственная функция y=f(x)=f (x₁,…,x_m).

Обозначим через p цену выпускаемой продукции, а через - цену k-го вида ресурса, k=1,…,m. Эти цены порождают понятия дохода (выручки от продажи произведенной продукции) и издержек. Доход от реализации готовой продукции y=f(x) определяется формулой p×f(x). Издержки, соответствующие вектору затрат x=(x₁,…,x_m), т.е. общие выплаты за все виды затрат, равны p₁x₁+…+p_mx_m. Эти издержки называются переменными издержками, так как они связаны (меняются вместе) с объемом выпуска. Кроме того, фирма несет и постоянные издержки (обозначим c₀), связанные с расходами на содержание фирмы. Поэтому общие издержки (обозначим C) складываются из двух компонент:

Поскольку постоянные издержки не связаны с выпуском, то при составлении краткосрочных моделей мы их учитывать не будем. Тогда общий результат производства (x,y) (затраты-выпуск) можно оценить величиной

Если эта величина положительна, то пара (x,y) приносит прибыль, в противном случае - убыток.

С помощью полученных формул построим математические модели различных задач фирмы.

1. Долгосрочная задача. На долгосрочный период фирма может планировать любые затраты, поэтому модель задачи имеет вид:

Это есть задача безусловной максимизации прибыли. Здесь постоянные затраты C₀ не учтены, так как они не влияют на максимизацию функции P по переменным затратам x₁,…,x_m.

Таким образом, в случае долговременного промежутка задача максимизации прибыли представляет собой обычную задачу на нахождение глобального абсолютного максимума.

2. Краткосрочная задача. Эта задача планируется с учетом наличных на данный период запасов ресурсов, поэтому ее модель строится на условную оптимизацию:

(2)

где - множество допустимых значений затрат k-го вида.

3. Задача многопродуктового производства. Предположим теперь, что фирма выпускает не один, а несколько (n) видов продуктов. Пусть для каждого j-го вида продукта известны производственная функция f_j: y_j=f_j(x₁,…,x_m) и цена p_j (k=1,…,m); для каждого k-го вида ресурса известны функция , описывающая суммарные затраты этого ресурса для производства всех n видов продуктов, и его наличное количество b_k>0 (k=1,…,m).

В случае долговременного промежутка фирма может свободно выбирать любой вектор x=(x₁,x₂) затрат из пространства затрат. Естественно, что x₁, x₂ > 0.

В случае краткосрочного промежутка фирма должна учитывать неизбежные лимиты на объёмы затрачиваемых ею ресурсов, которые формально могут быть записаны в виде нелинейного неравенства: g(x₁,x₂) < b.

Следовательно, задача максимизации прибыли для краткосрочного промежутка имеет вид задачи математического программирования:

P(x₁,x₂) = p₀f(x₁,x₂)-(p₁x₁+p₂x₂)à max.

g(x₁,x₂) < b

x₁ > 0, x₂ > 0

Здесь р₀=(р₁,…,р_n)– вектор цен выпускаемых товаров, g(x₁,x₂) - вектор-функция затрат, b=(b₁,…,b_m)– вектор наличных запасов ресурсов.

Следовательно, задача максимизации прибыли для краткосрочного промежутка имеет вид задачи математического программирования.

Контрольные вопросы.

1. Основные формализуемые элементы производства, их определения и моделирование (производство, технология производства, фирма, выпуск, затраты, прибыль, издержки, постоянные издержки, переменные издержки, задача фирмы на максимизацию прибыли, задача фирмы на минимизацию издержек ).

2. Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

а. y=a×x₁×x₂;

б. ;

в. .

3. Каковы основные содержательно-логические и экономические требования к производственной функции и ее математические свойства.

4. Может ли меняться аналитическая форма производственной функции?

4.8. Варианты заданий по теме

Определите для всех нижеследующих функций тип отдачи от масштаба:

Q = K^1/3L^1/3

Q = K^1/8L^1/4

Q = min{4L, 3K}

Q = 2L² + 5K²

Q = min{L, 3K}

Q = min{5L, K}

Q = (K^1/3 + L^1/3)³

5. Балансовые экономико-математические модели

5.1. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)

Рассмотрим модель межотраслевого баланса, называемую еще моделью Леонтьева или моделью «затраты-выпуск».

Предположим, что производственный сектор народного хозяйства разбит на n отраслей (энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т.д.).

Рассмотрим отрасль i, i = 1, 2,…, n. Она выпускает некую продукцию за данный промежуток времени (например, за год) в объеме x_i, который еще называют валовым выпуском. Часть объема продукции x_i , произведенная i-ой отраслью используется для собственного производства в объеме x_ii , часть – поступает в остальные отрасли j = 1, 2,…, n для потребления при производстве в объемах x_ij , и некоторая часть объемом y_i – для потребления в непроизводственной сфере, так называемый объем конечного потребления. Перечисленные сферы распределения валового продукта i-ой отрасли приводят к соотношению баланса:

Введем коэффициенты прямых затрат a_ij , которые показывают, сколько единиц продукции i-ой отрасли затрачивается на производство одной единицы продукции в отрасли j. Тогда можно записать, что количество продукции, произведенной в отрасли i в объеме x_ij и поступающей для производственных нужд в отрасль j, получаем x_ij = a_ij x_j .

Считаем сложившуюся технологию производства во всех отраслях неизменной (за рассматриваемый период времени), означающую, что коэффициенты прямых затрат a_ij постоянны. Тогда получаем следующее соотношение баланса, называемого моделью Леонтьева

(1)

Введя вектор валового выпуска X, матрицу прямых затрат A и вектор конечного потребления Y

модель Леонтьева (1) можно записать в матричном виде

X = AX + Y (2)

Матрица A ≥ 0, у которой все элементы a_ij ≥ 0 (неотрицательны), называется продуктивной матрицей, если существует такой неотрицательный вектор X ≥ 0, для которого выполняется неравенство X > AX.

Это неравенство означает, что существует хотя бы один режим работы отраслей данной экономической системы, при котором продукции выпускается больше, чем затрачивается на ее производство. Другими словами, при этом режиме создается конечный (прибавочный) продукт Y = X ‑ AX > 0.

Модель Леонтьева с продуктивной матрицей A называется продуктивной моделью. Для проверки продуктивности матрицы A достаточно существования обратной матрицы B = (E – A)^-1 с неотрицательными элементами, где матрица E – единичная матрица: .

С помощью модели Леонтьева (2) можно выполнить три вида плановых расчетов, при условии соблюдения условия продуктивности матрицы A:

1) Зная (или задавая) объемы валовой продукции всех отраслей X можно определить объемы конечной продукции всех отраслей Y

Y = (E – A)X

2) Задавая величины конечной продукции всех отраслей Y можно определить величины валовой продукции каждой отрасли

X = (E – A)^-1Y (3)

3) Задавая для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей – объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

B = (E – A)^-1

Указанная выше матрица называется матрицей полных материальных затрат. Её смысл следует из матричного равенства (3), которое можно записать в виде X = BY. Элементы матрицы B показывают, сколько всего необходимо произвести продукции в i-ой отрасли, для выпуска в сферу конечного потребления единицы продукции отрасли j.

5.1.1. Построение модели Леонтьева средствами Excel

Задача.

Экономическая система состоит из трех отраслей, для которых матрица прямых затрат A и вектор конечного продукта Y известны:

Определить:

1) Матрицу коэффициентов полных материальных затрат B

2) Проверить продуктивность матрицы A

2) Вектор валового выпуска X

3) Межотраслевые поставки продукции x_ij

Решение. Модель Леонтьева имеет вид:

X = AX + Y.

Матрица полных материальных затрат B равна

B = (E – A)^-1

Продуктивность матрицы A проверяется, по вычисленной матрице B. Если эта матрица существует и все ее элементы неотрицательны, то матрица A продуктивна.

Вектор валового выпуска X рассчитывается по формуле

X = BY

Межотраслевые поставки продукции x_ij вычисляются по формуле

x_ij = a_ij x_j

Для решения задачи межотраслевого баланса необходимо уметь выполнять с помощью Excel следующие операции над матрицами:

- умножение матрицы на вектор

- умножение двух матриц

- транспонирование матрицы или вектора

- сложение двух матриц

Решим задачу в Excel. Вызовите Microsoft Excel. Введите матрицу A в ячейки с адресами «А2:С4» и вектор Y в ячейки с адресами «Е2:Е4» (Рисунок 1).

Рисунок 1. Задание исходных данных

Введите единичную матрицу Е в ячейки с номерами «А7:С9». Вычислите матрицу Е – А. Матрица Е – А является разностью двух матриц Е и А. Для вычисления разности двух матриц необходимо проделать следующее:

- установите курсор мыши в левый верхний угол (это ячейка с адресом «А12») результирующей матрицы Е – А, которая будет расположена в ячейках с адресами «А12:С14»;

- введите формулу «=А7-А2» для вычисления первого элемента результирующей матрицы Е – А;

- введенную формулу скопируйте (растяните) во все остальные ячейки результирующей матрицы.

В результате в ячейках «А12:С14» появится искомая матрица, равная разности двух исходных матриц Е и А.

Вычислите матрицу B = (E – A)^-1 , являющейся обратной по отношению к матрице Е – А. Матрица Е – А расположена в ячейках с адресами «А12:С14». Для вычисления матрицы В необходимо проделать следующее:

- выделите диапазон ячеек «А17:С19» для размещения матрицы В;

- нажмите на панели инструментов кнопку «Вставка», а затем кнопку «Функция». В появившемся окне в поле «Категория» выберите «Математические», а в поле «Выберите функцию» – имя функции «МОБР»;

- в появившемся диалоговом окне «МОБР» введите диапазон матрицы Е – А (диапазон ячеек «А12:С14») в рабочем поле);

- нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

В диапазоне ячеек «А17:С19» появится искомая обратная матрица (E – A)^-1 , равная матрице B.

Проверка продуктивности матрицы А. Поскольку матрица В найдена, следовательно она существует. Все элементы матрицы В неотрицательны, поэтому матрица В – продуктивна.

Вычисление вектора валового выпуска X. Вычисление вектора валового выпуска X находим по матричной формуле X=BY, в которой матрица В вычислена, а вектор Y задан.

Вычисление вектора X = BY производится с помощью операции умножения матриц, а в данном случае – умножения матрицы В на вектор Y. Для этого необходимо:

- выделить диапазон ячеек «Е7:Е9», где будет расположен вектор Х. Обратите внимание, что по правилам умножения матриц, размерность результирующей матрицы Х должна быть равна количеству строк матрицы В на количество столбцов матрицы Y. В нашем случае, размерность вектора Х равна: три строки на один столбец;

- нажав на панели инструментов кнопку «Вставка функции»вставить функцию «МУМНОЖ»;

-введите диапазон матрицы В (диапазон ячеек «А17:С19») в рабочее поле «Массив 1», а диапазон вектора Y (ячейки «Е2:Е4») в рабочее поле «Массив 2» (Рисунок 2);

- нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. В диапазоне ячеек «Е7:Е9» появится искомый вектор Х.

Рисунок 2. Диалоговое окно умножения матриц

Вычисление межотраслевых поставок продукции x_ij . Межотраслевые поставки продукции x_ij вычисляются по формуле

x_ij = a_ij x_{j ,}

где a_ij – элементы исходной матрицы А, расположенной в ячейках «А2:С4», x_j – элементы вектора Х, найденного выше и расположенные в ячейках «Е7:Е9».

Для проведения вычислений x_ij необходимо проделать следующее.

5.1. Вычислить транспонированный вектор Х^Т относительно вектора Х. При этом вектор-столбец Х станет вектором-строкой Х^Т. Это необходимо для согласования размерностей дальнейшего умножения элементов векторов.

С этой целью:

- выделить указателем мыши при нажатой левой кнопке ячейки «Е12:G12», в которых будет располагаться транспонированный вектор «Х^Т»;