Изменение спроса и предложения

Если меняется цена, то спрос и предложение не изменяются, а лишь растут или убывают, перемещаясь по кривой в новое положение (рис. 10.4).

Рис. 10.4. Увеличение и снижение спроса и предложения

На спрос и предложение, помимо цены, влияют и другие факторы. В случае изменения остальных факторов спрос и предложение изменяются, что находит выражение в сдвиге кривых вправо или влево (рис. 10.5).

8) . Кривая «доход-потребление» и кривая «цена-потребление»

Увеличение денежного дохода означает смещение бюджетной линии вправо вверх. Аналогичный результат может быть достигнут при снижении цен обоих продуктов, что также означает увеличение реального дохода. При уменьшении денежного дохода или росте цен бюджетная линия смещается влево вниз.

С ростом реального дохода бюджетное ограничение сдвигается последовательно в положение В₁, В₂, В₃, …, В_n. Точки касания кривых безразличия с бюджетными ограничениями показывают последовательные положения равновесия потребителя в соответствии с ростом его дохода (рис.4.3).

Эта кривая, названная Дж. Хиксом «доход-потребление», в американской литературе получила название кривой уровня жизни. Если кривая «доход-потребление» - луч, выходящий из начала координат под углом 45° , это значит, что с ростом дохода потребитель в одинаковой пропорции увеличивает потребление и блага Х, и блага У. Если же покупки увеличиваются непропорционально, то изменяется угол наклона кривой.

Предположим в качестве постоянной величины доход потребителя, а в качестве переменной возьмем цену блага Х. Допустим, что цена блага Х снижается, т.е. Р¹_х > Р²_х > Р³_х > Р⁴_х и т.д.

Например, 1 единица блага Х стоила 100 $, а теперь стоит 50 $. Это значит, что за 100$ покупатель может купить 2 единицы блага Х. Графически это выглядит как сдвиг бюджетного ограничения из положения NX₁ в положение NX₂ (рис.4.4). Дальнейшее снижение цены соответственно отражают прямые NX₃, NX₅ и т.д. Соединив точки касания кривых безразличия с бюджетными ограничениями, мы получим кривую «цена-потребление».

9)

Изучив правила максимизации полезности потребителя, можно объяснить нисходящий характер кривой спроса отдельного индивида. Как известно, изменения цен товаров и доходов потребителя воздействуют на бюджетную линию, а тем самым и на оптимальный потребительский выбор. Учет этого воздействия позволяет нам построить кривую спроса на благо со стороны потребителя, т.е. кривую индивидуального спроса.
Спрос на товары зависит от параметров, определяющих положение точки равновесия потребителя. Это положение зависит от функции полезности (определяющей форму и расположение кривой безразличия) и от положения бюджетной линии (оно зависит от цен товаров и дохода потребителя). Вывести функцию спроса со стороны отдельного потребителя, т.е. индивидуального спроса, можно, проследив изменение спроса на благо А при изменении цен и дохода.
Предположим, что цена блага А снижается. В этом случае покупатель сможет приобрести больше данного товара, если пожелает. Бюджетная линия изменит угол наклона. В то же время равновесие потребителя переместится из точки Е1 в точку Е2 (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Изменение равновесия потребителя при снижении цены товара А.

Если изобразить несколько вариантов смещения бюджетных линий в результате снижения цены товара А, и соответственно несколько точек равновесия потребителя (Е1, Е2, Е3, Е4 – рис. 4.12), то, соедини между собой точки равновесия, получим кривую «цена–потребление», которая показывает все варианты потребительского выбора, максимизирующие полезность, при различных уровнях цены товара А.

Рис. 4.12. Построение кривой «цена–потребление».

На основе кривой «цена–потребление» можно построить кривую индивидуального спроса (рис. 4.13). Кривая индивидуального спроса обладает двумя свойствами: во-первых, по мере движения вдоль кривой спроса изменяется уровень полезности, получаемой потребителем; во-вторых, в каждой точке кривой спроса потребитель максимизирует получаемую им полезность.

Рис. 4.13. Построение кривой индивидуального спроса
для нормального товара.

Кривая спроса, построенная на основе кривой «цена–потребление», показывает объем спроса отдельного потребителя при различных ценах товара (на рис. 4.13 – товара А). Обе кривые являются двумя способами описания того, как изменяется покупаемое количество блага при условии изменения его цены (при прочих равных условиях).
Построенная кривая «цена–потребление» имеет положительный наклон, а кривая спроса – отрицательный, т.е. показывает обратную зависимость между ценой товара и величиной спроса на него со стороны покупателя. Такая зависимость характерна для большинства товаров, называемых нормальными. Исключение составляют товары Гиффена – товары, спрос на которые растет при увеличении их цен и падает при снижении цен. Для них кривая «цена–потребление» имеет отрицательный, а кривая индивидуального спроса – положительный наклон (рис. 4.14).
Как видно на графике, спрос на товар А при снижении его цены уменьшается, т.е. кривая спроса на него имеет положительный наклон, а сам товар является товаром Гиффена. Роберт Гиффен (1837–1910 гг.) обнаружил необычное изменение спроса на картофель, который был основным продуктом питания для ирландских бедняков, во время его неурожая. По мере роста цены на данный продукт спрос на него тоже рос, т.е. изменялся в том же направлении, что и цена. Это объяснялось тем, что при повышении цен на картофель бедным семьям приходилось отказываться от других, более качественных товаров (мясо, молоко, масло), цены на которые зачастую росли в еще большей степени, и потреблять больше картофеля.

Рис. 4.14. Построение кривой индивидуального спроса
для товара Гиффена.

Кривая «цена–потребление» может иметь различный вид в зависимости от того, являются блага А и В взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми. Так, если блага являются заменителями друг друга, то при снижении цены одного товара величина потребления другого товара будет снижаться (рис. 4.15).
Если товары являются дополнителями друг друга в потреблении, то при снижении цены товара В количество потребляемого товара А будет увеличиваться. Поэтому кривая «цена–потребление» для дополняющих друг друга товаров будет иметь положительный наклон (как для нормальных товаров на рис. 4.12 и 4.13). Если товары являются независимыми друг от друга в потреблении, то при уменьшении цены товара А потребление товара В остается неизменным, т.е. кривая «цена–потребление» будет горизонтальной (рис. 4.16).

Рис. 4.15. Кривая «цена–потребление» для взаимозаменяемых товаров.

10)

В математической экономике магистралью называется траектория экономического роста, на которой пропорции производственных показателей (такие как темп роста производства, темп снижения цен) неизменны, а сами показатели (такие как интенсивность производства, валовый выпуск) растут с постоянным максимально возможным темпом. Таким образом, магистраль - это траектория или луч максимального сбалансированного роста. Ее часто сравнивают со скоростной автострадой. Так, например, для того чтобы добраться из Кемерово в Киселевск как можно быстрее, наиболее целесообразно сначала проехать по автостраде Кемерово-Новокузнецк, а затем уже съехать на ответвляющуюся от нее дорогу в районе Киселевска. Так мы потеряем на дорогу меньше времени и доедем до конечного пункта с большим комфортом, чем если бы мы ехали по обычному шоссе через Ленинск-Кузнецкий и Белово.

Поскольку "оптимальное" или "эффективное" развитие экономики в любом смысле так или иначе связано и должно сопровождаться экономическим ростом, то для достижения любой конечной цели следует поступать аналогичным образом: сначала вывести производство на магистральный путь, т.е. на траекторию (или луч) Неймана, характеризующуюся максимальным темпом роста и минимальной нормой процента (см. (6.4.14)), а по истечении определенного срока времени вывести ее к задуманной цели. Такими целями могут быть максимизация прибыли, минимизация затрат, максимизация полезности от потребления товаров, достижение конкурентного равновесия при наиболее благоприятных условиях, т.е. на более высоком уровне благосостояния населения, и т.д.

Итак, с одной стороны мы имеем магистральные модели, а с другой - оптимизационные или еще шире - нормативные модели экономики. Изучение этих двух моделей во взаимосвязи, т.е. изучение связи между магистральными и оптимальными (в том или ином смысле) траекториями и является предметом магистральной теории. Можно говорить, что магистральная теория является одним из средств качественного анализа оптимальных траекторий. Основной целью этой теории является исследование условий так называемых "слабой" и "сильной" теорем о магистралях. Слабая теорема утверждает, что за исключением некоторого малого периода (или некоторого числа дискретных моментов из ), не зависящего от продолжительности T планового периода, все оптимальные траектории сосредотачиваются в относительной близости к магистральной траектории. Сильная теорема говорит о том, что те небольшие промежутки времени , на которых оптимальные траектории удалены от магистральной, если они существуют, то разве лишь в начале периода , т.е. , или в конце периода , т.е. ; а в середине периода оптимальные траектории расположены в относительной близости к магистральной.

В общем случае в моделях экономической динамики даже при неизменности технологических возможностей утверждения теорем о магистрали не выполняются. Для их выполнения приходится вводить различные дополнительные предположения о свойствах исходной модели экономики. Другой путь состоит в изучении реальных отраслевых пропорций и сравнении их с магистральными. Благодаря техническому прогрессу и изменчивости во времени общественных предпочтений различных благ, реальное состояние экономики при детальном (дезагрегированном) ее описании всегда значительно отличается от магистрального. В то же время, как показывают полученные в этом направлении результаты исследований, при высоком уровне агрегирования экономические пропорции близки к магистральным.

Теоремы о магистралях доказываются для ряда оптимизационных моделей расширяющейся экономики. Наиболее общей из них является известная теорема Раднера для нелинейных моделей расширения (см. §7.2). Здесь мы приведем подобные теоремы для линейных моделей Леонтьева и Неймана. Единственная наша цель - дать читателю начальное представление о магистральной теории. Поэтому приводить сложные доказательства теорем и заниматься подробным и строгим анализом их условий не будем. Для более углубленного изучения магистральной теории можно рекомендовать книги [2, 16].

На основе модели Неймана (6.4.8) могут быть построены различные оптимизационные задачи. Одна из возможных постановок выглядит так:

В этой задаче требуется найти такую траекторию , чтобы доход от продажи всего выпуска к концу планового периода был максимальным при условии, что затраты каждого периода не превышают выпусков предыдущего периода.

Всякую траекторию, удовлетворяющую условиям (6.5.2) и доставляющую максимальное значение целевой функции (6.5.1), будем называть оптимальной траекторией и обозначать через (здесь - установившаяся к началу планового периода интенсивность выпуска). В общем случае в данной задаче может существовать не одна оптимальная траектория.

Предположим, что в модели Неймана, представленной ограничениями (6.5.2), существует единственная стационарная траектория производства, соответствующая максимальному темпу сбалансированного роста , т.е. . Поскольку , где в любой момент t есть скаляр, то вместо предыдущего неравенства можно писать . Далее, имея в виду представление , мы условно можем написать .

В дальнейшем нам понадобится понятие "расстояния" между векторами интенсивностей в пространстве . Под расстоянием между двумя векторами интенсивностей , будем понимать число

где - норма вектора, т.е. число, равное длине данного вектора. Объясним наглядно смысл такого расстояния. Для удобства обозначим . Тогда

Далее, для любого вектора x длина вектора равна единице. Действительно, так как норма числа есть само число, то

Например, для имеем:

Поэтому равно длине отрезка между точками , (рис. 6.5), лежащими на единичной окружности. Из этого рисунка видно: 1) если возможно представление , где (т.е. x и zколлинеарные вектора), то ; 2) для , .

Нетрудно видеть, что есть непрерывная по обоим аргументам функция.

С помощью введенного понятия расстояния дадим строгое определение понятия магистрали в задаче (6.5.1)-(6.5.2).

Определение 6.6. Луч Неймана называется сильной магистралью в задаче (6.5.1)-(6.5.2), если для каждого существуют такие зависящие от (но не зависящие от T ) числа и , что для всякой оптимальной траектории этой задачи и для всех .

Заметим, что ввиду второго свойства расстояния для всех .

Из определения следует, что постоянный луч как бы аппроксимирует оптимальные траектории: всякая оптимальная траектория почти все время идет вдоль луча , т.е. она сохраняет высокий (почти максимальный) темп интенсивностей производственных процессов, если только величина T горизонта планирования много больше, чем и .

Приведем для полноты и понятие слабой магистрали.

Определение 6.7. Луч Неймана называется слабой магистралью в задаче (6.5.1)-(6.5.2), если для любого существует такое (зависящее от ) число r , что для любой оптимальной траектории этой задачи неравенство нарушается не более чем для r моментов t, , причем число r не зависит от длины T планового периода.

Очевидно, сильная магистраль является одновременно и слабой магистралью (достаточно положить ).

Прежде чем сформулировать теорему о магистрали для задачи (6.5.1)-(6.5.2), рассмотрим более простой и частный случай этой модели - динамический аналог оптимизационной задачи Леонтьева (6.2.14)-(6.2.15):

где A- -технологическая матрица, - вектор валового выпуска в момент t, - вектор цен в момент T.

В модели Леонтьева (6.2.1) равенство означает, что отрасль i не нуждается в товарах отрасли j. Вообще говоря, может существовать целая группа отраслей ( - множество всех отраслей), которые не нуждаются в товарах отраслей из множества , а для своего производства обходятся только товарами из группы S. В этом случае говорят, что множество отраслей S изолировано от остальных в том смысле, что эта группа отраслей может функционировать отдельно от остальных.

Матрица A называется неразложимой, если во множестве всех отраслей N нет изолированных подмножеств. Неразложимость матрицы A означает, что каждая отрасль использует продукцию всех отраслей. Неразложимая матрица A называется примитивной, если множество N нельзя разбить на непересекающиеся подмножества , такие, что если для , то , а при . Читателю предлагается самому истолковать содержательный смысл примитивности технологической матрицы A.

Приведем еще несколько необходимых определений. Собственным вектором матрицы A называется такой ненулевой вектор , что , где - некоторый скаляр, называемый собственным числом матрицы A , соответствующим собственному вектору x. Неотрицательный собственный вектор неотрицательной неразложимой матрицы Aназывается вектором Фробениуса матрицы A , а соответствующее ему собственное число - числом Фробениуса матрицы A.

Неразложимая матрица A называется устойчивой, если для любого x последовательность сходится, где - k-ая степень матрицы , - число Фробениуса для матрицы A. Предельной точкой этой последовательности при и является вектор , где - вектор Фробениуса для матрицы A .

Примитивная матрица всегда устойчива.

Относительно задачи (6.5.3)-(6.5.4) сделаем следующие предположения:

1. ;

2. матрица A неотрицательна, неразложима и примитивна.

Теорема 6.5. Если выполнены условия 1), 2), то сильной магистралью в задаче (6.5.3)-(6.5.4) является вектор Фробениуса матрицы A, т.е. , где - стационарная траектория динамической модели Леонтьева (6.5.4) ( ).

Целевая функция в задаче (6.5.3)-(6.5.4) относится к конечному моменту планового периода и называется терминальной. В динамической оптимизационной задаче Леонтьева с нетерминальной целевой функцией возникает так называемая проблема горизонта планирования. Дело в том, что по оптимальной траектории выпуск к моменту T может оказаться недостаточным для обеспечения нормального функционирования экономики за горизонтом планирования. Поэтому требуется наложить специальные ограничения снизу на вектор , что приводит к дополнительным сложностям при исследовании магистральных свойств оптимальных траекторий.

Вернемся теперь к задаче Неймана (6.5.1)-(6.5.2) и предположим выполненными следующие условия:

а) существует такое число , что соотношения определяют единственный вектор ;
в) ;
г) существует стационарная траектория цен ;
д) матрица A неотрицательна, неразложима и примитивна;
е) для любого достаточно малого числа существуют такие (зависящие от ) числа и , что для оптимальной траектории из неравенства вытекают неравенства .

В последнем условии A₁ и B₁ - это такие подматрицы матриц A и B ( ), что .

В отличие от условий а)-д), допускающих соответствующие экономические интерпретации, условие е) носит чисто технический характер и нужно сугубо для доказательства следующей теоремы.

Теорема 6.6. При выполнении условий а)-е) для любого существует такое число , не зависящее от T , что для любой оптимальной траектории задачи (6.5.1)-(6.5.2)выполняется условие для всех .

Эта теорема утверждает, что почти все время все оптимальные траектории близки к сильной магистрали .

В завершение параграфа заметим, что важная роль магистральных траекторий состоит также в том, что в случае отсутствия возможности вычисления оптимальных траекторий при планировании производства можно ориентироваться на движение по лучу Неймана, т.е. планировать функционирование отраслей с интенсивностями, близкими к тем, которые задаются стационарной траекторией .

11). Общая постановка задачи линейного программирования (ЗЛП). Примеры ЗЛП

Линейное программирование – направление математики, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием оптимальности.

Несколько слов о самом термине линейное программирование. Он требует правильного понимания. В данном случае программирование - это, конечно, не составление программ для ЭВМ. Программирование здесь должно интерпретироваться как планирование, формирование планов, разработка программы действий.

К математическим задачам линейного программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.

Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк. Это, например:

· задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;

· задача о смесях (планирование состава продукции);

· задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или "задача о рюкзаке");

· транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).

Линейное программирование – наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования (кроме того, сюда относят: целочисленное, динамическое, нелинейное, параметрическое программирование). Это объясняется следующим:

· математические модели большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;

· данный тип задач в настоящее время наиболее изучен. Для него разработаны специальные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие программы для ЭВМ;

· многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли широкое применение;

· некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.

В общем виде модель записывается следующим образом:

· целевая функция:

= c1x1 + c2x2 + ... + cnxn → max(min);

(2.1)

· ограничения:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn {≤ = ≥} b1, a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn {≤ = ≥} b2, ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn {≤ = ≥} bm;

(2.2)

· требование неотрицательности:

xj ≥ 0,

(2.3)

При этом a_ij, b_i, c_j ( ) - заданные постоянные величины.

Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (2.1) при соблюдении ограничений (2.2) и (2.3).

Систему ограничений (2.2) называют функциональными ограничениями задачи, а ограничения (2.3) - прямыми.

Вектор , удовлетворяющий ограничениям (2.2) и (2.3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План , при котором функция (2.1) достигает своего максимального (минимального) значения, называетсяоптимальным.

Далее приведем примеры некоторых типовых задач, решаемых при помощи методов линейного программирования. Такие задачи имеют реальное экономическое содержание. Сейчас лишь сформулируем их в терминах ЗЛП, а методы решения подобных задач рассмотрим ниже.

1. Задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании.

Общий смысл задач этого класса сводится к следующему.

Предприятие выпускает n различных изделий. Для их производства требуется m различных видов ресурсов (сырья, материалов, рабочего времени и т.п.). Ресурсы ограничены, их запасы в планируемый период составляют, соответственно, b₁, b₂,..., b_m условных единиц.

Известны также технологические коэффициенты a_ij, которые показывают, сколько единиц i-го ресурса требуется для производства единицы изделия j-го вида ( ).

Прибыль, получаемая предприятием при реализации изделия j-го вида, равна c_j.

В планируемом периоде значения величин a_ij, b_i и c_j остаются постоянными.

Требуется составить такой план выпуска продукции, при реализации которого прибыль преприятия была бы наибольшей.

Далее приведем простой пример задачи такого класса.

Компания специализируется на выпуске хоккейных клюшек и наборов шахмат. Каждая клюшка приносит компании прибыль в размере $2, а каждый шахматный набор - в размере $4. На изготовление одной клюшки требуется четыре часа работы на участке A и два часа работы на участке B. Шахматный набор изготавливается с затратами шести часов на участке A, шести часов на участке B и одного часа на участке C. Доступная производственная мощность участка A составляет 120 н-часов в день, участка В - 72 н-часа и участка С - 10 н-часов.

Сколько клюшек и шахматных наборов должна выпускать компания ежедневно, чтобы получать максимальную прибыль?

Условия задач указанного класса часто представляют в табличной форме (см. таблицу 2.1).

Таблица 2.1 - Исходные данные задачи об использовании производственных ресурсов

производственные участки	затраты времени на единицу продукции, н-час	доступный фонд времени, н-час
клюшки	наборы шахмат
А
В
С	-
прибыль на единицу продукции, $

По данному условию сформулируем задачу линейного программирования.

Обозначим: x₁ - количество выпускаемых ежедневно хоккейных клюшек, x₂ - количество выпускаемых ежедневно шахматных наборов.

Формулировка ЗЛП:

= 2x1 + 4x2 → max;
4x1 + 6x2≤ 120, 2x1 + 6x2 ≤ 72, x2 ≤ 10;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Подчеркнем, что каждое неравенство в системе функциональных ограничений соответствует в данном случае тому или иному производственному участку, а именно: первое - участку А, второе - участку В, третье - участку С.

Повторимся, методы решения ЗЛП мы будем рассматривать чуть позднее, а сейчас - пример задачи другого типа.

2. Задача о смесях (планирование состава продукции).

К группе задач о смесях относят задачи по отысканию наиболее дешевого набора из определенных исходных материалов, обеспечивающих получение смеси с заданными свойствами. Иными словами, получаемые смеси должны иметь в своем составе m различных компонентов в определенных количествах, а сами компоненты являются составными частями n исходных материалов.

На птицеферме употребляются два вида кормов - I и II. В единице массы корма I содержатся единица вещества A, единица вещества В и единица вещества С. В единице массы корма II содержатся четыре единицы вещества А, две единицы вещества В и не содержится вещество C. В дневной рацион каждой птицы надо включить не менее единицы вещества А, не менее четырех единиц вещества В и не менее единицы вещества С. Цена единицы массы корма I составляет 3 рубля, корма II - 2 рубля.

Составьте ежедневный рацион кормления птицы так, чтобы обеспечить наиболее дешевый рацион.

Представим условие задачи в таблице 2.2.

Таблица 2.2 - Исходные данные задачи о смесях

питательные вещества	содержание веществ в единице массы корма, ед.	требуемое количество в смеси, ед.
корм I	корм II
А
В
С		-
цена единицы массы корма, р

Cформулируем задачу линейного программирования.

Обозначим: x₁ - количество корма I в дневном рационе птицы, x₂ - количество корма II в дневном рационе птицы.

Формулировка ЗЛП:

= 3x1 + 2x2 → min;
x1 + 4x2 ≥ 1, x1 + 2x2 ≥ 4, x1 ≥ 1;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

3. Транспортная задача.

Под транспортной задачей понимают целый ряд задач, имеющих определенную специфическую структуру. Наиболее простыми транспортными задачами являются задачи о перевозках некоторого продукта из пунктов отправления в пункты назначения при минимальных затратах на перевозку.

Три поставщика одного и того же продукта располагают в планируемый период следующими его запасами: первый – 120 условных единиц, второй – 100 условных единиц, третий – 80 условных единиц. Этот продукт должен быть перевезен к трем потребителям, потребности которых равны 90, 90 и 120 условных единиц, соответственно.

Обычно начальные условия транспортной задачи записывают в так называемую транспортную таблицу (см. таблицу 2.3). В ячейках таблицы в левом верхнем углу записывают показатели затрат (расходы по доставке единицы продукта между соответствующими пунктами), под диагональю каждой ячейки размещается величина поставки x_ij (т.е. x_ij - количество единиц груза, которое будет перевезено от i-го поставщика j-му потребителю).

Таблица 2.3 - Исходные данные транспортной задачи

Необходимо определить наиболее дешевый вариант перевозок, при этом каждый поставщик должен отправить столько груза, сколько имеется у него в запасе, а каждый потребитель должен получить нужное ему количество продукции.

Сформулируем ЗЛП:

= 7x11 + 6x12 + 4x13 + 3x21 + 8x22 + 5x23 + 2x31 + 3x32 + 7x33 → min;
x11 + x12 + x13 = 120, x21 + x22 + x23 = 100, x31 + x32 + x33 = 80, x11 + x21 + x31 = 90, x12 + x22 + x32 = 90, x13 + x23 + x33 = 120;
xij ≥ 0, ( , ).