Тренд-сезонные экономические процессы и их анализ

Глава.4

МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

АНАЛИЗА ДИНАМИКИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

• Понятия экономических рядов динамики

• Предварительный анализ и сглаживание временных рядов экономических показателей

• Расчет показателей динамики развития экономических процессов

• Тренд-сезонные экономические процессы и их анализ

Понятия экономических рядов динамики

Динамические процессы, происходящие в экономических системах, чаще всего проявляются в виде ряда последовательно расположенных в хронологическом порядке значений того или иного показателя, который в своих изменениях отражает ход развития изучаемого явления в экономике.

Эти значения, в частности, могут служить для обоснования (или отрицания) различных моделей социально-экономических систем. Они служат также основой для разработки прикладных моделей особого вида, называемых трендовыми моделями.

Дадим ряд определений. Последовательность наблюдений одного показателя (признака), упорядоченных в зависимости от последовательно возрастающих или убывающих значений другого показателя (признака), называют динамическим рядом, или рядом динамики. Если в качестве признака, в зависимости от которого происходит упорядочение, берётся время, то такой динамический ряд называется временным рядом. Так как в экономических процессах, как правило, упорядочение происходит в соответствии со временем, то при изучении последовательных наблюдений экономических показателей все три приведённых выше термина используются как равнозначные.

Составными элементами рядов динамики являются, таким образом, цифровые значения показателя, называемые уровнями этих рядов, и моменты или интервалы времени, к которым относятся уровни.

Временные ряды, образованные показателями, характеризующими экономическое явление на определённые моменты времени, называются моментными:

Таблица 4.1. Списочная численность рабочих предприятия.

Дата	1/I	1/II	1/III	1/IV	30/IV
Списочная численность рабочих

Если уровни временного ряда образуются путём агрегирования за определённый промежуток (интервал) времени, то такие ряды называются интервальными временными рядами:

Таблица 4.2. Фонд заработной платы рабочих предприятия

Месяц	Январь	Февраль	Март	Апрель
Фонд заработной платы рабочих, тыс.руб.	37187,5	38270,0	39380,0	42535,0

Временные ряды могут быть образованы как из абсолютных значений экономических показателей, так и из средних или относительных величин – это производные ряды:

Таблица 4.3. Среднемесячная плата заработной платы рабочих предприятия

Месяц	Январь	Февраль	Март	Апрель
Средняя заработная плата рабочих, руб.

Под длиной временного ряда понимают время, прошедшее от начального момента наблюдения до конечного. Таким образом, длина всех приведённых выше временных рядов, равно четырём месяцам. Часто длиной ряда называют количество уровней, входящих во временной ряд; длина ряда из табл. 4.1. равна пяти, а табл. 4.2. и табл. 4.3. – четырём.

Если во временном ряду проявляется длительная ( вековая ) тенденция изменения экономического показателя, то говорят, что имеет место тренд. Т.о., под трендом понимается изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временных рядов. В связи с этим, экономико - математическая динамическая модель, в которой развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд её основных показателей, называется трендовой моделью.

Для выявления тренда во временных рядах, а также для построения и анализа трендовых моделей используется аппарат теории вероятностей и статистики, разработанный для простых совокупностей. Отличие временных экономических рядов от
простых статистических совокупностей заключаема прежде всего в том, что последовательные значения уровней временного ряда зависят друг от друга. Поэтому применение
выводов и формул теории вероятностей и математической статистики требует известной осторожности при анализе ременных рядов, особенно при экономической интерпретации
результатов анализа.

Предположим» имеется временной ряд, состоящий из n уровней:

y₁,y₂,y₃, …….,y_n.

В самом общем случае временной ряд экономических показателей можно разложить на четыре структурно обра­зующих элемента:

• тренд, составляющие которого будем обозначать U_t, t= 1,2,3,.....,n;

• сезонная компонента, обозначаемая через V_t, t= 1,2,...,n;

• циклическая компонента, обозначаемая через С_t, t= 1,2,3,.....,n;

• случайная компонента, которую будем обозначать ε _t, t= 1,2,3,.....,n;

Под трендом, как уже отмечалось выше; понимается устойчивое систематическое изменение процесса в течение продолжительного времени.

Во временных рядах экономических процессов могут иметь место более или менее регулярные колебания. Если они носят строго периодический или близкий к нему характер и завершаются в течении одного года, то их называют сезонными колебаниями. В тех случаях, когда период колебаний составляет несколько лет, то говорят, что во временном ряде присутствует циклическая компонента.

Тренд, сезонная и циклическая компоненты называются регулярными, или систематическими компонентами временного ряда. Составная часть временного ряда, остающаяся после выделения из него регулярных компонент, представляет собой случайную, нерегулярную компоненту. Она является обязательной составной частью любого временного ряда в экономике, т.е. случайные отклонения неизбежно сопутствуют экономическому явлению. Если экономические компоненты временного ряда определены правильно, что как раз и составляет одну из главных целей при разработке трендовых моделей, то остающаяся после выделения из временного ряда этих компонент так называемая остаточная последовательность (ряд остатков) будет случайной компонентой ряда, т.е. будет обладать следующими свойствами:

· случайностью колебаний уровней остаточной последовательности;

· соответствием распределения случайной компоненты нормальному закону распределения;

· равенством математического ожидания случайной компоненты нулю;

· независимостью значений уровней случайной последовательности, то есть отсутствием существенной автокорреляции;

Проверка адекватности трендовых моделей основана на проверке выполняемости указанных четырех свойств. Если не выполняется хотя бы одно из них, модель признаётся неадекватной; при выполнении всех четырёх свойств модель адекватна. Даная проверка осуществляется с использованием ряда статистических критериев.

4.3. Расчёт показателей динамики развития экономических процессов.

Этот расчёт проводится на основе статистического анализа одномерных временных рядов экономической динамики. Для статистического анализа одномерных временных рядов экономических показателей вида

у₁ ,у₂ ,у₃ ……..у_n

абсолютные уровни моментных и интервальных рядов (см. для примера табл. 4.1 и 4.2), а также уровни их средних величин (см. табл. 4.3) должны быть преобразованы в относительные величины. Их можно получить соотнесением уровней ряда с одним и тем же уровнем, взятым за базу (за базу сравнения чаще всего принимают начальный уровень временного ряда у₁), либо последовательными сопоставлениями с предыдущим уровнем. В первом случае получают базисные показатели, во втором – цепные.

Временной ряд тогда правильно отображает объективный процесс развития экономического явления, когда уровни этого ряда состоят из однородных, сопоставимых величин. Для несопоставимых величин вести расчёт рассматриваемых ниже статистических показателей динамики неправомерно.

Причины несопоставимости уровней временного ряда могут быть различными. В экономике чаще всего такими причинами является несопоставимость:

· по территории ввиду изменения границ региона, по которому собираются статистические данные;

· по кругу охватываемых объектов по подчинению или форме собственности ввиду перехода, например, части предприятий данного объединения в другое объединение;

· по временным периодам, когда , например, данные за различные годы приведены по состоянию на разные даты;

· уровней, вычисленных в различном масштабе измерения;

· уровней ряда из-за различий в структуре совокупности, для которой они вычислены. Например, данные о рождаемости населения зависят не только от изменений числа родившихся и численности населения, но и от изменения возрастного состава населения в течение периода наблюдения.

Возможны и другие причины несопоставимости.

При анализе временных рядов для определения изменений, происходящих в данном явлении, прежде всего bычисляют скорость развития этого явления во времени. Показа­телем скорости служит абсолютный прирост, вычисляемый по формуле

Δ у_i = у_i - у_i-k , (4.4)

где у_i — i-й уровень временного ряда (i = 2,3, ..., n); индекс k=1,2, ..., n-1 определяет начальный уровень и может быть выбран любым в зависимости от целей исследования; при k=1 получаются цепные показатели, при k = i-1 получаются базисные показатели с начальным уровнем ряда в качестве базисного и т. д. Абсолютный прирост выражает величину изменения показателя за интервал времени между сравниваемыми перио­дами. Еcли подходить более строго, то скоростью называют прирост в единицу времени; эта величина носит название среднего абсолютного прироста:

у_i - y _i-k

Δy_i = ___________ . (4.5)

k

В частности, средний абсолютный прирост за весь период наблюдения для данного временного ряда равен

___ у_n - y ₁

Δy_i = ___________ (4.6)

N-1

и характеризует среднюю скорость изменения временного ряда.

Для определения относительной скорости изменения изу­чаемого явления в единицу времени используют относительные показатели: коэффициенты роста и прироста (если эти показатели выражены в процентах, то их называют соответственно темпами роста и прироста). Заметим, что во всех последующих формулах индекс начального уровня, по отношению к которому осуществляется сопоставление, опреде­ляется точно так же с помощью индекса к, как и ранее для показателя абсолютного прироста.

Коэффициент роста для i-го периода вычисляется по формуле

у_i

К_i(р) = ___________ . (4.7)

у_i-к

К_i(р) > 1, если уровень повышается; К_i(р) < 1, если уровень занижается; при К_i(р)=1 уровень не меняется.

Коэффициент приростаравен К_i(пр) = К_i -1или,

у_i - у_i-к

К_i(пр) = ___________ . (4.8)

у_i-к

На практике чаще применяют показатели темпа роста и темпа прироста:

у_i

Т_i(пр) = _______.100% , (4.9)

у_i-к

где Т_i(пр) – темп прироста для i-го периода;

Т_i(пр) = Т_i(р) – 100 %или

у_i - у_i-к

Т_i(пр) = _________.100% , (4.10)

у_i-к

где Т_i(пр) - темп прироста для i-го периода.

Темп прироста показывает, на сколько процентов уровень одного периода увеличился (уменьшился) по сравнению уровнем другого периода, т.е. этот показатель выражает относительную величину прироста в процентах. Сравнение абсолютного прироста и темпа прироста за одни и те же промежутки времени показывает, что в реальныx экономических процессах замедление темпа прироста часто не сопровождается уменьшением абсолютных приростов.

Абсолютное значение одного процента приростаопределяется как отношение абсолютного прироста Δу_i к темпу прироста в процентах Т_i(пр). Среднюю скорость изменения изучаемого явления за рассматриваемый период характеризует также средний темп роста. Обычно он рассчитывается по формуле средней геометрической:

где T₁(p),T₂(p),.....,T_n(p) – средние темпы роста за отдельные интервалы времени.

Соответственно средний темп прироста определяется как

_

T(_пр) = T(_пр) – 100% (4.12)

Показатель среднего темпа роста, рассчитываемый по приведённой выше формуле средней геометрической, имеет существенные недостатки, так как основан на сопоставлении конечного и начального уровней временного ряда, промежуточные уровни во внимание не принимаются. В случае сильной колеблемости уровней использование для статистического анализа среднего геометрического темпа роста может привести к серьёзным просчётам в результате искажения реальной тенденции временного ряда.

В настоящее время предложены другие способы расчёта среднего темпа роста, в той или иной мере лишённые недостатков средней геометрической. Например, предлагается использовать для расчёта среднего темпа роста формулу:

_ _n-1 ỹ _n

T(p) = ^__ ∙ 100 % , (4.13)

ỹ ₁

где ỹ₁ и ỹ_n - сглаженные по уравнению тренда( уравнению кривой роста) начальный и конечный уровни временного ряда. Порядок получения уравнения тренда, т.е. порядок построения трендовой модели рассмотрен в гл. 5. Трендовая модель учитывает, колеблемость промежуточных уровней временного ряда, поэтому вычисленные по ней значения ỹ₁ и ỹ_n, а следовательно, и средний темп роста, вычисляемый по последней формуле, будут более точно характеризовать изменения изучаемого экономического явления за рассматриваемый интервал времени.

Важной характеристикой временного ряда является также средний уровень ряда. В интервальном ряду динамически с равноотстоящими во времени уровнями расчёт среднего уровня ряда производиться по формуле средней арифметической (здесь и далее суммирование ведётся по всем периодам наблюдения):

_{__} Σ y_t

y = ^____ (4.14)

n

Если интервальный ряд имеет неравноотстоящие во времени уровни, средний уровень ряда (так называемая средняя хронологическая) вычисляется по формуле взвешенной арифметической средней, где роль весов играет продолжительность времени (например, количество лет), в течение которого уровень постоянен:

_{__} Σ y_t t

y = ^{_______ ,} (4.15)

Σ t

где t – число периодов времени, при которых значение уровня y_t не изменяется.

Для моментного ряда с равноотстоящими уровнями средняя хронологическая рассчитывается по формуле:

_{__} 1/2 y₁ + y₂+ y₃+ ….+ y_n-1+ 1/2y_n

y = ^{_________________________________________ ,} (4.16)

N-1

где n - число уровней ряда.

Средняя хронологическая для местного временного ряда с разноотстоящими во времени уровнями вычисляется по формуле:

_{__} ( y₁ + y₂)t₁+ (y₃ +y₄)t₂+ ….+( y_n-1+ y_n) t _n-1

y = ^{___________________________________________________ ,} (4.17)

T

Здесь n- число уровней ряда, а t_i – период времени, отделяющий i-тый уровень ряда от (i+1)-го уровня.

При статистическом анализе временных рядов часто возникает вопрос необходимость, кроме определения основных характеристик ряда, оценить зависимость изучаемого показателя y_t от его значений, рассматриваемых с некоторым запаздыванием во времени. Зависимость значений уровней временного ряда от предыдущих (сдвиг на 1), предпредыдущих (сдвиг на 2) и так далее уровней того же временного ряда называется автокорреляциейво временном ряду. Для получения числовой характеристики такой внутренней зависимости вычисляют взаимную корреляционную функцию между исходным рядом y_t и этим же рядом, сдвинутым во времени на величину τ. Функция называется автокорреляционной, она характеризует внутреннюю структуру временного ряда и состоит из множества коэффициентов автокорреляции (нециклических), рассчитываемых по формуле:

Задавая различные значения τ =1,2,3,…, получаем последовательность значений r₁, r₂ , r₃, .... На практике рекомендуется вычислять такие коэффициенты в количестве от n/4 до n/3.

График автокорреляционной функции называется коррелограммом и показывает величину запаздывания с которым изменение показателя y_tсказывается не его последующих значениях. Величина сдвига τ, которому соответствует наибольший коэффицент автокорреляции, называется временным лагом.

В ряде случаев используется упрощённая формула для вычисления коэффициента автокорреляции:

Тренд-сезонные экономические процессы и их анализ

Рассмотрим ряд проблем и основных понятий, связанных с исследованием сезонных колебаний в экономике. Сезонность, как правило, связывается исключительно со сменой природно-климатических условий в рамках ограниченного промежутка времени – годового периода. Наиболее ярко эта связь видна там, где используемые процессы прямо связаны с естественными особенностями того или иного временного года: в сельском хозяйстве, добывающих отраслях, отраслях лёгкой промышленности, обрабатывающих сельскохозяйственную продукцию, и др. Однако сезонные колебания формируются не только под влиянием природно-климатических факторов, но и, пусть в меньшей степени, под влиянием иных особенностей системы, уходящих корнями в экономику.

Влияние сезонности на экономику вполне очевидно и проявляется в аритмии производственных и других процессов: недогрузка производственных мощностей в одни периоды года и более интенсивное их использование в другие; неравномерное распределение внутри рамок года объёмов грузооборота и товарооборота и т.д. Не во всех случаях сезонность является следствием действия неуправляемых или почти неуправляемых факторов. Чаще всего они поддаются регулированию. Но даже и в тех случаях, когда прямое воздействие на процессы, вызывающие сезонные колебания, невозможно, необходимо учитывать их действие при совершенствовании технологических, организационно-экономических процессов и процессов управления. Для того чтобы можно было целенаправленно влиять на сезонность, необходимо уметь измерять и анализировать сезонность, уметь предвидеть развитие процессов, подверженных сезонным колебаниям.

Под сезонными колебаниями понимают регулярные, периодические наступления внутригодовых подъёмов и спадов производства, грузооборота и товарооборота и т.д., связанных со сменой времени года, а под сезонностью – ограниченность годового периода работ под влиянием того же природного фактора.

Как отмечено выше, упорядоченная во времени последовательность наблюдений экономического процесса называется временным рядом, и если процесс подвержен периодическим колебаниям, имеющим определённый и постоянный период, равный годовому промежутку, то мы имеем дело с так называемым тренд-сезонным временным рядом (сезонным временным рядом).

Почти всюду, где не оговорено специально, будем рассматривать временной ряд {Y_t}, t =1,T, порождаемый аддитивным случайным процессом:

Y_t = U_t + V_t + ε _t , t= 1,T, (4.19)

где U_t – тренд;

V_t – сезонная компонента;

ε _{t -} случайная компонента;

T – число уровней наблюдения.

Относительно U_t предполагается, что это некоторая гладкая функция, степень гладкости которой заранее известна. Сезонная компонента V_t имеет период T_{0 :} V _t+T₀ = V_t (T₀=12 для месячных данных; T₀ = 4 – для ряда квартальных данных).

Кроме того, известно, что Т₀ нацело делит Т, т.е. Т= m x T₀, m- целое число. Очевидно, если Т₀ –число месяцев или кварталов в году, m – число лет, представленных во временном ряду {Y_t}. Часто исходные данные тренд-сезонного временного ряда представляются в виде матрицы {Y_ij} размера [m x T₀]. В этом случае выражение (4.19) перепишется с учётом введения двойноё индексации:

Y_ij = U_ij + V_ij + ε _ij , i= 1,m, j=1,T₀ (4.20)

Запишем соотношения, устанавливающие связь между индексами t и ( i,j):

t

i= ^{____ + 1}

T_{0 ;} [ ] означает_, как и выше, целую часть. (4.21)

i = t – (i-1) x T₀

Постараемся выделить и кратко охарактеризовать задачи, возникающие при исследовании сезонности вообще и сезонных временных рядов в частности. Проблема анализа сезонности заключается в исследовании собственно сезонных колебаний и в изучении того внешнего циклического механизма, который их вызывает. Для исследования сезонных колебаний вне связи с причинами, их порождающими, очевидно, необходимо отфильтровывать из временного ряда {Y_t} сезонную компоненту V_t и затем уже анализировать её динамику. Большинство методов фильтрации построено таким образом, что предварительно выделяется тренд, а затем уже сезонная компонента. Тренд в чистом виде необходим и для анализа динамики сезонной волны.

При исследовании сезонной волны V_t чаще всего предполагается, что она не изменяется год от года, т.е. V_ij = V_i+k,j , i+k ≤ m. На самом деле такое предположение далеко от действительности, по крайней мере для большинства экономических процессов. Для сезонной волны характерно изменение со временем как её размаха, так и формы. В результате возникает необходимость в анализе и предсказании изменений сезонной волны.

Перечислим теперь задачи, которые возникают при исследовании сезонных временных рядов:

1. определение наличия во временном ряду тренда и определение степени его гладкости;

2. выявление наличия во временном ряду сезонных колебаний;

3. фильтрация компонент ряда;

4. анализ динамики сезонной волны;

5. исследование факторов, определяющих сезонные колебания;

6. прогнозирование тренд-сезонных процессов.

Объясним суть некоторых понятий и дадим краткую характеристику каждого пункта. Под степенью гладкости тренда мы будем понимать минимальную степень полинома, адекватно сглаживающего компоненту U_t. Этот пункт используется в некоторых итерационных алгоритмах фильтрации при выделении из временного ряда {Y_t} его компонент U_t,V_t ,ε _{t .}

Выявление наличия во временном ряду сезонных колебаний сводиться к проверке на случайность остаточного ряда:

{l _t}; l _t =Y_t – U_{t .}

Под фильтрацией компонент ряда понимается выделение из ряда {Y_t} его составляющих U_t,V_t ,ε _{t .}

Анализ динамики, или эволюции, сезонной волны может рассматриваться как процесс принятия решения трёх взаимосвязанных задач:

1. Анализ динамики амплитуды сезонной волны в каждом месяце (квартале, неделе).

2. Анализ динамики точек экстремума сезонной волны.

3. Исследование изменений формы волны.

На рисунке 4.1. приведена укрупнённая схема исследования сезонных временных рядов. Схема не определяет методов решения каждой задачи, методы могут изменяться, совершенствоваться со временем, но она определяет совокупность и последовательность вопросов, которые должны быть решены для полного исследования сезонного временного ряда.

Выше уже отмечалось, что в каких бы формах ни проявлялась сезонность, в любом случае её действие отрицательно сказывается на результатах деятельности предприятия, фирмы, отрасли, экономики в целом. Управление сезонностью должно опираться на знание законов её эволюции, на знание внешней среды, в которой происходит развитие процесса, подверженного сезонным колебаниям.

Глава 5