Структурна стійкість динамічної системи. Поняття точок біфуркації. Типові біфуркації

Біфуркації пов'язані не з дослідженням однієї конкретної системи з фіксованими параметрами, а з дослідженням сімейства динамічних систем, що залежить від деяких параметрів . При зміні параметрів поведінка траєкторій в фазовому просторі може якісно змінюватися. Значення , при яких відбуваються ці якісні зміни, і називаються точками біфуркації.

В даний час теорія біфуркацій динамічних систем розроблена досить детально. Проте, результати, які були б одночасно й досить загальними, й чіткими, отримані лише для нерухомих точок, або для випадків, які можна звести до аналізу нерухомих точок (наприклад, для циклів). Результати для більш складних режимів і інваріантних множин отримані лише у випадку, якщо на систему накладені досить жорсткі обмеження.

Незважаючи на те, що нерухомі точки – найпростіший тип інваріантних множин, дослідження їх біфуркацій виявляється корисним з огляду на те, що:

- вони дають можливість чітко обґрунтувати існування простих і в той же час типових математичних моделей, дослідження яких дає інформацію про широкий клас явищ;

- вони дають деяку строгу основу для дослідження якісних трансформацій динамічних систем і дозволяють виробити систему поглядів на цю проблему.

У теорії біфуркацій, яку вважають невід'ємною частиною нелінійної динаміки, вдалося виділити деякі типові біфуркації і вказати характерні властивості систем в їх околі. Цей результат виявився настільки вдалим і цікавим, що в даний час поняття, пов'язані з біфуркаціями, проникають в самі різні галузі знань.

Надане означення, спирається на поняття «якісна зміна» і його можна трактувати дуже вільно. У випадку нерухомих точок, циклів і ряді інших випадків можна спиратися на поняття топологічної еквівалентності та структурної стійкості: будемо вважати якісно різними системи, які не є топологічно еквівалентними. Система вважається структурно нестійкою, якщо вона топологічно не еквівалентна своєму малому збуренню.

Біфуркаційним значенням або точкою біфуркації називається значення , при якому динамічна система є структурно нестійкою. Оскільки структурна стійкість буває локальною та глобальною, то виділяють, відповідно, локальні і глобальні біфуркації. Далі будемо говорити лише про локальні біфуркації.

Розглянемо приклад:

(2.1)

Негіперболічну нерухому точку знаходимо з умов

, .

Це , . Легко перевірити, що при особлива точка єдина, , а при — їх три: і ( див. рис. 2.1). У даному випадку біфуркаційна діаграма має вигляд вилки, тому назва «біфуркація» є виправданою (bifurcation — роздвоєння, розгалуження).

В різних системах можуть виникати однотипні біфуркації. Тому природно поставити питання про їх класифікацію. Однією з характеристик, що використовуються з цією метою, є ковимірність.

Рис.2.1. Приклад біфуркаційної діаграми: стійкі розв'язки позначені суцільними лініями, нестійкі — пунктирними.

Біфуркації можна класифікувати за тим, для якої кількості власних значень матриці частинних похідних DF порушується умова гіперболічності (або для Df). Виходячи з цього, можна говорити про те, скільки параметрів , повинно бути в моделі для того, щоб дана біфуркація була типовою: власні значення також розглядаються як функції від параметрів . Тоді умову порушення гіперболічності можна розглядати як систему рівнянь відносно . Наприклад, для того, щоб два дійсних власних значення одночасно дорівнювали 0, необхідно знайти розв'язки системи двох рівнянь

Це система двох рівнянь відносно k невідомих. У даному випадку типовими є наступні ситуації:

· якщо k = 1, то розв’язок системи зазвичай не існує, тобто біфуркація такого типу скоріше за все в даному сімействі спостерігатися не буде;

· якщо k = 2, то біфуркація може спостерігатися в одній або декількох точках простору параметрів;

· якщо k > 2, то в типовому випадку негіперболічні точки будуть розташовуватися на поверхні розмірності (k–2) в просторі параметрів. Тобто можуть спостерігатися поверхні біфуркації.

У загальному випадку, якщо необхідно одночасно задовольнити m умов, то потенційні точки біфуркації будуть розташовуватися на (k–m)-вимірній поверхні. Величину m називають ковимірністю біфуркації, показуючи тим самим, що суттєва не кількість параметрів, а кількість умов.

Таким чином, ковимірність біфуркації показує, від скількох параметрів повинна залежати динамічна система, щоб біфуркація для неї була типовою. Чим вище ковимірність, тим більш екзотичною буде біфуркація.

Зауважимо, однак, що ковимірність біфуркації, пов'язана з властивостями матриці DF, характеризує її неповністю, і в межах однієї ковимірності можливі різні типи біфуркаційних діаграм. Наприклад, якщо в прикладі (2.1) дещо змінити функцію (порушується симетрія, функція перестає бути непарною), біфуркаційна діаграма зміниться.