Средние величины в рядах распределения

Средняя величина в статистике представляет собой обобщенную количественную характеристику признака в совокупности в конкретных условиях места и времени.

Она показывает уровень признака, который относится ко всей совокупности. В зависимости от характера статистических данных применяют различные виды средних величин. В рядах распределения наиболее распространенными из них являются средняя арифметическая и средняя гармоническая простая и взвешенная.

простая

арифметические

Рис.3. Наиболее распространенные средние величины

в рядах распределения

4.1.1. Средняя арифметическая простая ранжированного ряда показателей соответствует простой совокупности объектов, в которой нет составных частей или групп, деленной на численность объектов исследования:

, где

- сумма показателей объектов исследования,

n - количество объектов исследования;

4.1.2. Средняя арифметическая взвешенная учитывает распространенность, повторяемость каждой варианты, т.е. удельный вес отдельных групп в общей совокупности и определяется по формуле:

, где:

- сумма произведений вариант (показателей) на их частоты,

- сумма численности (частот).

Для того, чтобы исчислить среднюю арифметическую интервального ряда, надо сначала определить среднюю для каждого интервала, а затем – среднюю для всего ряда.

Средняя для каждого интервала определяется по средней арифметической простой:

Для определения средней арифметической интервального ряда с открытыми интервалами необходимо, прежде всего, определить неизвестные границы интервалов первой и последней групп.

Если нижняя граница интервала отсутствует в первой группе, то его величина принимается равной интервалу последующей группы, а если верхняя граница отсутствует в последней группе, то его величина принимается равной интервалу предыдущей группы.

4.1.3. Средняя гармоническая величинапредставляет собой величину, обратную средней арифметической, исчисленную из обратных значений признака и применяется в том случае, когда в расчетах нет значений частот, а есть только варианты и произведение вариант и частот:

, где:

сумма частот или повторяемости каждой варианты,

сумма отношений частот к соответствующим вариантам.

Если частоты (веса) каждой варианты отсутствуют или равны между собой ( ), то применяется средняя гармоническая простая:

.

4.1.4. Средняя геометрическая:

невзвешенная:

;

взвешенная:

,где:

- i-й вариант осредняемого признака;

n - объем совокупности;

- вес i-го варианта;

k - число вариантов осредняемого признака.

Пх_i – произведение значений признака х_i.

Основная область применения - осреднение индивидуальных показателей в динамике.

4.1.5. Средняя квадратическая:

- невзвешенная - взвешенная

4.1.6. Средняя кубическая:

- невзвешенная - взвешенная ,

где: - i-й вариант осредняемого признака;

n - объем совокупности;

- вес i-го варианта.

Основная область применения - расчет показателей вариации, взаимосвязи, структурных изменений, асимметрии.

4.1.7. Общий вид степенной средней величины:

, где:

k– показатель степени.

Данной степенной системой показателей могут быть представлены средние арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая и другие средние.

С изменением показателя степени «k» выражение данной функции меняется, и, в каждом отдельном случае, приходим к определенному виду средней:

при к=1 - = - средняя арифметическая,

при к=-1 - - средняя гармоническая.

при к= 0 - - средняя геометрическая,

при к=2 - - средняя квадратическая

и т.д. для любой степени.

Степенные средние разных видов, исчисленные по одной и той же совокупности, имеют различные количественные значения. И чем больше показатель степени «К», тем больше и величина соответствующей средней:

Это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется мажорантностью средних.