Исчисление средней арифметической взвешенной по способу моментов

Расчеты средней арифметической могут быть громоздкими, если варианты (значения признака) и веса имеют очень большие или очень малые значения и затрудняется сам процесс подсчета. Тогда для простоты счета используется ряд свойств средней арифметической:

1) если уменьшить (увеличить) все варианты на какое-либо произвольное число А, то новая средняя уменьшится (увеличится) на то же число А, т. е. изменится на ±А;

2) если уменьшить все варианты (значения признака) в одинаковое число раз (К), то средняя уменьшится во столько же раз, а при увеличении в (К) раз – увеличится в (К) раз;

3) если уменьшить или увеличить веса (частоты) всех вариант на какое-либо постоянное число А, то средняя арифметическая не изменится;

4) сумма отклонений всех вариант от общей средней равна нулю.

Перечисленные свойства средней арифметической позволяют в случае необходимости упрощать расчеты путем замены абсолютных частот относительными, уменьшать варианты (значения признака) на какое-либо число А, сокращать их в К раз и рассчитывать среднюю арифметическую из уменьшенных вариант, а затем переходить к средней первоначального ряда.

Способ исчисления средней арифметической с использованием ее свойств известен в статистике как «способ условного нуля», или «условной средней», или как «способ моментов».

Кратко этот способ можно записать в виде формулы

.

Если уменьшенные варианты (значения признака ), обозначить через , то приведенную выше формулу можно переписать в виде .

При использовании формулы для упрощения исчисления средней арифметической взвешенной интервального ряда при определении величины какого-либо числа А используют такие приемы его определения.

Величина А равна величине:

1) первого значения средней величины интервала (продолжим на примере задачи, где млн дол., а .

Расчет средней из уменьшенных вариант

Интервалы	Среднее значение интервала		Число заводов, f	Произведение
До 2	1,5	0 (1,5–1,5)
2–3	2,5	1 (2,5–1,5)
3–4	3,5	2 (3,5–1,5)
4–5	4,5	3 (4,5–1,5)
5–6	5,5	4 (5,5–1,5)
Свыше 6	6,5	5 (6,5–1,5)
Итого:	3,7	–

,

;

2) величину А берем равной величине среднего значения интервала с наибольшей частотой повторений, в данном случае А = 3,5 при (f = 30), или значение серединной варианты, или наибольшей варианты (в данном случае наибольшее значение признака Х = 6,5) и деленное на размер интервала (в данном примере 1).

Расчет средней при А = 3,5, f = 30, К = 1 на том же примере.

Расчет средней способом моментов

Интервалы	Среднее значение интервала		Число заводов, f	Произведение
До 2	1,5	(1,5 – 3,5) : 1 = –2		–20
2–3	2,5	(2,5 – 3,5) : 1 = –1		–20
3–4	3,5	(3,5 – 3,5) : 1 = 0
4–5	4,5	(4,5 – 3,5) : 1 = 1
5–6	5,5	(5,5 – 3,5) : 1 = 2
Свыше 6	6,5	(6,5 – 3,5) : 1 = 3
Итого:	3,7	–

; ; ;

Способ моментов, условного нуля или условной средней заключается в том, что при сокращенном способе расчета средней арифметической мы выбираем такой момент, чтобы в новом ряду одной из значений признака , т. е. приравниваем и отсюда выбираем величину А и К.

Надо иметь в виду, что если (Х – А) : К, где К – равная величина интервала, то полученные новые варианты образуют в равноинтервальном ряду ряды натуральных чисел (1, 2, 3 и т. д.) положительных вниз и отрицательных вверх от нуля. Среднюю арифметическую из этих новых вариант называют моментом первого порядка и выражают формулой

.

Чтобы определить величину средней арифметической, нужно величину момента первого порядка умножить на величину того интервала (К), на который делим все варианты, и прибавить к полученному произведению величину варианты (А), которую вычитали.

;

Таким образом, способом моментов или условного нуля рассчитать среднюю арифметическую из вариационного ряда, если ряд равноинтервальный, значительно легче.

Мода

Мода – есть величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности.

Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианты с наибольшей частотой.

Пример. При определении плана по производству мужских туфлей фабрикой было произведено изучение покупательского спроса по результатам продажи. Распределение проданной обуви характеризовалось следующими показателями:

Размер обуви										45 и выше
Число пар в % к итогу	–

Наибольшим спросом пользовалась обувь 41 размера и составила 30% от проданного количества. В этом ряду распределения М₀ = 41.

Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле

.

Прежде всего, необходимо найти интервал, в котором находится мода, т. е. модальный интервал.

В вариационном ряду с равными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей частоте, в рядах с неравными интервалами – по наибольшей плотности распределения, где: – величина нижней границы интервала, содержащего моду; – частота модального интервала; – частота интервала, предшествующего модальному, т. е. предмодального; – частота интервала, следующего за модальным, т. е. послемодального.

Пример расчета моды в интервальном ряду

Группы предпри­я­тий по чис­лу работающих, чел.	100–200	200–300	300–400	400–500	500–600	600–700	700–800	Итого
Число предприятий

Дана группировка предприятий по численности промышленно-про­из­вод­ственного персонала. Найти моду. В нашей задаче наибольшее число предприятий (30) имеет группировка с численностью работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распространения с равными интервалами. Введем следующие обозначения:

; ; ; ; .

Подставим эти значения в формулу вычисления моды и произведем расчет:

Таким образом, мы определили значение модальной величины признака, заключенного в этом интервале (400–500), т. е. М₀ = 467 чел.

Во многих случаях при характеристике совокупности в качестве обобщающего показателя отдается предпочтение моде, а не средней арифметической. Так, при изучении цен на рынке фиксируется и изучается в динамике не средняя цена на определенную продукцию, а модальная. При изучении спроса населения на определенный размер обуви или одежды представляет интерес определение модального номера, а не средний размер, который вообще не имеет значения. Если средняя арифметическая близка по значению к моде, значит она типична.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

На сортосеменной станции при определении качества семян пшеницы было получено следующее определение семян по проценту всхожести:

Процент всхожести									Свыше 93
Число проб в % к итогу	0,5	0,5	6,0

Определить моду.

Задача 2

При регистрации цен в часы наиболее оживленной торговли у отдельных продавцов были зарегистрированы следующие цены фактической продажи (дол. за кг):

Картофель: 0,2; 0,12; 0,12; 0,15; 0,2; 0,2; 0,2; 0,15; 0,15; 0,15; 0,15; 0,12; 0,12; 0,12; 0,15.

Говядина: 2; 2,5; 2; 2; 1,8; 1,8; 2; 2,2; 2,5; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 2,2; 2; 2; 2; 2.

Какие цены на картофель и говядину являются модальными?

Задача 3

Имеются данные о заработной плате 16 слесарей цеха. Найти модальную величину заработной платы.

В долларах: 118; 120; 124; 126; 130; 130; 130; 130; 132; 135; 138; 140; 140; 140; 142; 142.

Расчет медианы

Медианой в статистике называется варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Если дискретный ряд распределения имеет нечетное число членов ряда, то медианой будет варианта, находящаяся в середине ранжированного ряда, т. е. к сумме частот прибавить 1 и все разделить на 2 – результат и даст порядковый номер медианы.

Если в вариационном ряду четное число вариант, тогда медианой будет половина суммы двух серединных вариант.

Для нахождения медианы в интервальном вариационном ряду определяем сначала медианный интервал по накопленным частотам. Таким интервалом будет такой, кумулятивная (накопленная) частота которого равна или превышает половину суммы частот. Накопленные частоты образуются путем постепенного суммирования частот, начиная от интервала с наименьшим значением признака.

Расчет медианы в интервальном вариационном ряду

Интервалы	Частоты (f)	Кумулятивные (накопленные) частоты
60–70		10 (10)
70–80		40 (10+30)
80–90		90 (40+50)
90–100		15 (90+60)
100–110		295 (150+145)
110–120		405 (295+110)
120–130		485 (405+80)
130–140		500 (485+15)
Сумма:	∑f = 500

Половина суммы накопленных частот в примере равна 250 (500 : 2). Следовательно, медианным интервалом будет интервал со значением признака 100–110.

До этого интервала сумма накопленных частот составила 150. Следовательно, чтобы получить значение медианы, необходимо прибавить еще 100 единиц (250 – 150). При определении значения медианы предполагается, что значение признака в границах интервала распределяется равномерно. Следовательно, если 145 единиц, находящихся в этом интервале, распределить равномерно в интервале, равно 10, то 100 единицам будет соответствовать величина:

10 : 145 ´ 100 = 6,9.

Прибавив полученную величину к минимальной границе медианного интервала, получим искомое значение медианы:

.

Или медиану в вариационном интервальном ряду можно исчислить по формуле:

,

где – величина нижней границы медианного интервала ( ); – величина медианного интервала ( =10); – сумма частот ряда (численность ряда 500); – сумма накопленных частот в интервале, предшествующем медианному ( = 150); – частота медианного интервала ( = 145).

Подставим в формулу значения и получим:

.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

Определить медиану по следующим данным:

Произведено продукции, шт.								Всего
Число рабочих, чел.

Задача 2

Себестоимость одного центнера зерна по хозяйствам района характеризуется следующими показателями:

Себестоимость 1 ц зерна, дол.

Всего

Число хозяйств в % к итогу

Определить медиану себестоимости 1 ц зерна.

Задача 3

Имеются данные о работе прядильщиц комбината:

Количество веретен, обслуживаемых одной прядильщицей, шт.							Всего
Число прядильщиц, чел.

Определить медиану количества веретен, обслуживаемых одной прядиль­щицей.

ТЕСТЫ

1. Средняя арифметическая взвешенная равна:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2. В статистике модой называют:

а) кумулятивную частоту, которая равна или превышает половину суммы частот;

б) варианту, которая находится в середине вариационного ряда;

в) сумму накопленных частот;

г) величину признака, которая чаще встречается в данной совокупности.

3. Средняя гармоническая величина:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

4. Средняя квадратическая величина:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

5. Медиана – это:

а) вариант, который находится в середине вариационного ряда;

б) величина, которая делит ряда на две неравные части по числу единиц;

в) наиболее часто встречающаяся величина;

г) средняя величина из двух вариантов.

Тема 6