Лекція №5

5.1 Методи обробки результатів вимірювань

Як правило, при виконанні вимірювань випадкові і систематичні похибки проявляються одночасно, тому похибка вимірювань є їх сумою.

D=D_о+D_с

де D_о-випадкова складова похибки, D_с - систематична складова похибки.

Випадкова складова D_о, як правило, характеризується середньоквадратичним відхиленням (СКВ), що характеризує випадкові відхилення похибок від їх середнього значення, які обумовлені дією на ЗВТ різних факторів. СКВ виражається в тих же одиницях, що і похибка.

Систематична складова похибки результатів вимірювання характеризується невиключеною систематичною похибкою (НСП), яка утворюється із складових, в якості яких можуть бути:

- НСП метода вимірювань;

- НСП ЗВТ;

- НСП, визвані іншими джерелами (температурою, атмосферним тиском, вібрацією, магнітними полями та ін.).

Для визначення похибок вимірювань, як правило, проводять множину прямих вимірювань і з допомогою методів математичної статистики їх обробляють.

Для обробки результатів множини прямих вимірювань. необхідно:

- виключити із результатів грубі похибки (промахи);

- виключити із результатів відомі систематичні похибки;

- вирахувати середнє арифметичне виправлених результатів, яке сприймається за результат вимірювання;

- вирахувати оцінку середньо-квадратичного відхилення (СКВ) результату вимірювань;

- вирахувати границі НСП результату вимірювань;

- вирахувати довірчі границі випадкової похибки результату вимірювань;

- вирахувати довірчі границі похибки результату вимірювань.

Як правило, для визначення довірчих інтервалів границь похибки результату вимірювань довірчу ймовірність приймають рівну Р=0.95.

В особливих випадках, наприклад, при вимірюваннях, зв'язаних з охороною здоров'я, допускається вказувати границю для довірчої ймовірності Р=0.99 і більше.

5.1.1 Виключення із результатів систематичних похибок

Систематичні похибки виключаються шляхом:

- ліквідації джерел похибок до початку вимірювань, що визвані зміщенням стрілки приладу, неправильною установкою приладу та ін.

- виключення похибок у процесі вимірювань способами заміщення, компенсації похибок по знаку, протиставлення, симетричних спостережень.

Поправкою називається значення величини, однойменної з вимірюваною, яке додають до отриманого при вимірюваннях значення величини з метою виключення систематичних похибок. Іншими словами, поправка - це систематична похибка, взята з протилежним знаком.

5.1.2 Обчислення середнього арифметичного виправлених результатів вимірювання

Виправлений результат - це результат, в який введено поправку з метою вилучення систематичних похибок.

Середнє арифметичне значення вимірювальної величини х визначається як:

де х_і-результат і-го вимірювання, n- кількість вимірювань.

5.1.3 Обчислення СКВ результатів вимірювань

Для обчислення СКВ необхідно:

- визначити залишкові похибки кожного із результатів вимірювань V:

V₁=x₁-x_c; V₂=x₂-x_c; V₃=x₃-x_c; … V_n=x_n-x_c.

Просумувавши ліву і праву сторону, отримаємо:

Поділимо ліву і праву частину наведеного рівняння на n – кількість вимірювань:

Так як

,

то

,

або

.

Рівність нулю суми залишкових похибок повинна бути мінімальною.

Оцінку СКВ результату вимірювань вираховують за формулою:

,

де Х_і – і-ий результат спостережень;

Х_с – результат вимірювань (середнє арифметичне виправлених результатів вимірювань);

n – кількість вимірювань.

5.1.4 Обчислення довірчих границь випадкової похибки результату вимірювань

Довірчі границі випадкової похибки результату вимірювань, які належать нормальному розподілу (є) без врахування знаку, знаходять за формулою:

e=t×s

де t - коефіцієнт Стьюдента, який в залежності від довірчої ймовірності Р і числа результатів спостережень (кількості вимірювань n), знаходять по спеціальних таблицях (приведені в ГОСТ 8.207-76).

Наприклад: при P=0.95 i n=10 t=2.263

Р=0.99 і n=30 t=2.750 іт.д.

5.1.5 Визначення довірчих границь НСП результату вимірювань

Якщо випадкові складові похибки знехтувально малі, то в якості границь НСП приймають границі допустимих основних і додаткових похибок ЗВТ, якими проводилися вимірювання (якщо вимірювання проводились декількома ЗВТ, то їх сумують).

У загальному випадку границі НСП результату вимірювань вираховують за формулою:

,

де ₁, ₂, ₃, … _і - границі НСП ЗВТ, методу, інших джерел.

К - коефіцієнт, який визначається з прийнятої довірчої ймовірності. При Р=0.95, К=1.1; при Р=0.99, К=1.4, якщо m³4, де m - число сумуючих похибок.

5.1. 6 Визначення границі похибки результату вимірювання

У випадку, якщо Q/s<0.8, то НСП в порівнянні з випадковою s нехтують і приймають, що границя похибки результату D=e.

Якщо Q/s>8, то випадковою похибкою, в порівнянні з систематичною нехтують і приймають, що границя результату D=Q.

В усіх інших випадках границі похибки результату вимірювань (без врахування знаку) вираховують по формулі:

,

де К - коефіцієнт, що залежить від відношення випадкової складової і НСП. Коефіцієнт К вираховують по емпіричній залежності:

,

- оцінка сумарного СКВ результату вимірювання, яку вираховують за формулою:

.

5.1.7 Форма запису результатів вимірювання

Якщо довірчі похибки симетричні, то результат вимірювань записують у формі:

х_с±D; Р,

де х_с - середнє арифметичне значення;

Р -довірча ймовірність.

Якщо функції розподілу похибок невідомі, і потрібний подальший аналіз похибок або обробка результатів, то результат записують у формі:

х_с; s, n; Q - (також вказують ймовірність Р, якщо вираховують границі НСП).