Сущность и значение средней величины. Область применения средних величин в статистическом исследовании

Средние величины используются на этапе обработки и обобщения полученных первичных статистических данных. Потребность определения средних величин связана с тем, что у различных единиц исследуемых совокупностей индивидуальные значения одного и того же признака, как правило, неодинаковы.

Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщённое значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.

Если исследуется совокупность с качественно однородными признаками, то средняя величина выступает здесь как типическая средняя. Например, для групп работников определённой отрасли с фиксированным уровнем дохода определяется типическая средняя расходов на предметы первой необходимости, т.е. типическая средняя обобщает качественно однородные значения признака в данной совокупности, каковым является доля расходов у работников данной группы на товары первой необходимости.

При исследовании совокупности с качественно разнородными признаками на первый план может выступить нетипичность средних показателей. Такими, к примеру, являются средние показатели произведённого национального дохода на душу населения (разные возрастные группы), средние показатели урожайности зерновых культур по всей территории России (районы разных климатических зон и разных зерновых культур), средние показатели рождаемости населения по всем регионам страны, средние температуры за определенный период и т.д. Здесь средние величины обобщают качественно разнородные значения признаков или системных пространственных совокупностей (международное сообщество, континент, государство, регион, район и т.д.) или динамических совокупностей, протяженных во времени (век, десятилетие, год, сезон и т.д.). Такие средние величины называют системными средними.

Таким образом, значение средних величин состоит в их обобщающей функции. Средняя величина заменяет большое число индивидуальных значений признака, обнаруживая общие свойства, присущие всем единицам совокупности. Это, в свою очередь, позволяет избежать случайных причин и выявить общие закономерности, обусловленные общими причинами.

2. Виды средних величин и методы их расчёта

На этапе статистической обработки могут быть поставлены самые различные задачи исследования, для решения которых нужно выбрать соответствующую среднюю. При этом необходимо руководствоваться следующим правилом: величины, которые представляют собой числитель и знаменатель средней, должны быть логически связаны между собой.

Используются две категории средних величин (рис. 2.14):

* степенные средние;

* структурные средние.

Первая категория степенных средних включает: среднюю арифметическую, среднюю гармоническую, среднюю квадратическую, среднюю геометрическую и средняя кубическая.

Рис. 2.14. Виды средних в статистике

Вторая категория (структурные средние) - это мода и медиана. Эти виды средних будут рассмотрены в теме: «Структурные характеристики вариационного ряда распределения».

Введём следующие условные обозначения:

- средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений;

- варианты (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется вариант;

n – число вариант;

- частота (повторяемость индивидуальных значений признака).

k - показатель степени.

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными.

Простая средняясчитается по не сгруппированным данным и имеет следующий вид:

, (2.15)

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид:

. (2.16)

В зависимости от того, какое значение принимает показатель степени, различают следующие виды степенных средних:

- средняя арифметическая, если k = 1;

- средняя гармоническая, если k = -1;

- средняя геометрическая, если k = 0;

- средняя квадратическая, если k = 2;

- средняя кубическая, если k = 3.

Формулы степенных средних приведены в табл. 2.9.

Таблица 2.9

Виды степенных средних

Вид степенной средней	Показатель степени ( )	Формула расчета
простая	взвешенная
гармоническая	- 1
геометрическая
арифметическая
квадратическая
кубическая

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени k увеличивается и соответствующая средняя величина:

, (2.17)

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используется средняя арифметическая и средняя гармоническая взвешенные. Выбор вида степенной средней определяется экономическим содержанием задачи и наличием данных.

Рассмотрим среднюю арифметическую простую и взвешенную.

Пример: Студент Петров по результатам учебного семестра имеет следую­щие оценки: теория бухгалтерского учета - 4, экономическая ста­тистика - 5, финансы, денежное обращение и кредит - 3, эконо­мика фирмы - 2. Какова его средняя оценка по результатам семестра?

Поскольку каждая оценка встречается один раз, для расчета средней применяем формулу арифметической простой:

Перечисленные дисциплины студент Петров сдал в среднем на 3,5 балла.

Пример: Имеются следующие данные о распределении бригад по уровню выработки продукции (табл. 2.10).

Таблица 2.10