Тема. Система одночасних регресій

Мета заняття: ознайомлення студентів з відповідними поняттями та алгоритмом побудови регресійної моделісистеми одночасних регресій; набуття практичних навичок побудови регресійної моделісистеми одночасних регресій з використанням комп’ютера.

Необхідні теоретичні положення для побудови регресійної моделісистеми одночасних регресій приведені у змісті звіту лабораторної роботи.

Завдання:

- на основі початкових даних, додаток Д₁, записати дану економетричну модель в загальному вигляді в структурній і прогнозній формах;

- перевірити ідентифікованість моделі;

- використовуючи непрямий метод найменших квадратів за заданою прогнозною формою, додаток Д₁,визначити структурну форму моделі;

- провести економетрічний аналіз моделі по одержаній структурній формі, з використанням коефіцієнтів еластичності, про вплив y₁ на y₂ і y₂ на y₁ при заданих , n_1, n₂.

Хід роботи

1. Завантажити програму EXCEL.

2. Лист1 перейменувати в Розрахунки з лабораторної роботи №4, додаток Д₂.

3. На листі Лаб.4 внести до комірок А3 і В3 передостанню n₁ і останню n₂ цифри номера залікової книжки відповідно.

4. У комірках А6 і В6 розрахувати середні значення для X₁ и X₂ за формулами:

Для цього у комірку А5 ввести формулу: =150+А3/2, а в комірку В5: =70+В3/5.

5. Розрахувати коефіцієнти прогнозної форми за наступними формулами:

Результати обчислень записати у блок комірок D6:I6 (комірки цього блоку винні містити наступні формули: D6=5,3+A3/2; E6=2+B3/5; F6=1+A3/10; G6=3,3+A3/5; H6=3+B3/10; I6=2+B3/2).

6. У блок комірок C2:J2, C3:J3 записати прогнозну форму системи.

7. Розрахувати коефіцієнти структурної форми за наступними формулами:

Результати обчислень записати у блоці комірок D9:I9 (комірки цього діапазону повинні містити наступні формули: D9=F6/J7; E9=H6/E6; F9=(E6*I6-F6*H6) /I6; G9=( E6*I6- F6*H6)/E6; H9=(D6*I6-F6*G6) /I6; I9=(E6*G6-D6*H6) /E6).

8. У блок комірок C11:J11, C12:J12 записати структурну форму системи.

9. У комірках А8 і В8 розрахувати середні значення для Y за формулами:

Для цього у комірку А8 увести формулу: =D6+E6*A5+F6*B5, а в комірку В8: =G6+H6*A5+I6*B5.

10. У комірках А11 і В11 розрахувати коефіцієнти еластичності за формулами:

Для цього у комірку А11 увести формулу: =(E9*A8)/B8, а в комірку В11: =(D9*B8)/A8).

11. За отриманими результатами заповнити звіт з лабораторної роботи і зробити економічні висновки.

12. Зберегти книгу у своїй робочій теці під ім'ям Лаб4.

ЗВІТИ З ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ

Парна регресія

1. За кореляційним полем вибираємо вигляди залежності.

За виглядом кореляційного поля (тому що з ростом x y, в основному, збільшується) припускаємо наявність залежності двох типів:

- прямолінійна

; (5.1 )

- експоненціальна

. (5.2 )

2. Використовуючи метод найменших квадратів (МНК), знайдемо оцінки параметрів моделей , , і .

Відомо, що для лінійної моделі оцінки параметрів рівняння визначаються за формулами 5.3 і 5.4:

(5.3 )

(5.4 )

де r_xy - вибірковий парний коефіцієнт кореляції поміж x і y;

(5.5 )

S_y, S_x - вибіркові середні квадратичні відхилення; визначаються як корінь квадратний із вибіркових дисперсій і :

; (5.6)

, - вибіркові середні

; . (5.7)

Таблиця з розрахованими значеннями наведена нижче:

0.934	4.89	14.03	9.89	3.14	151.12	12.29	3.654	-3.836

Тоді отримана лінійна модель набуває вигляду:

y =-3.836+3.654× X

Для визначення оцінок і приведемо рівняння експоненціальної залежності до лінійного вигляду, прологарифмувавши його. Одержуємо . Здійснивши відповідні заміни й , одержимо лінійну залежність вигляду .

Розрахунки оцінок параметрів і проміжних величин зробимо за формулами (5. 3-5. 7) для лінійної моделі.

0.998	4.89	2.24	9.89	3.14	0.91	0.95	0.302	0.764

Тоді оцінка параметра 2.147 і отримана експоненціальна модель приймає вигляд:

y = 2.147 × e ^{0.302 ×x}.

3. Виберемо з двох отриманих залежностей найкращу. Критерієм оптимальності можна прийняти величину дисперсії залишків:

(5.8)

де - розрахункове значення , отримане для по моделі з визначеними оцінками параметрів.

Тоді дисперсія залишків складе:

- для лінійної моделі 20,214;

- для експоненціальної моделі 0,071.

Тому що значення дисперсії залишків для лінійної моделі більше, ніж значення дисперсії залишків експоненціальної моделі, то перша модель гірше ніж друга наближає істинне значення y. Тому модель, що найбільше відбиває добре дану залежність, приймається отримана експоненціальна модель

y = 2,147× e ^{0,302 ×x} .

4. У даному випадку оцінки параметрів моделі можна перевірити на значущість відмінності від нуля за значущістю коефіцієнта кореляції r із використанням критерію Стьюдента.

Розрахункове значення критерію

(5.9)

2,2. t_роз= 68.814 .

Табличне значення знаходимо за таблицею t-розподілу для імовірності a= 0,05 і числа ступенів свободи k = n-2 = 20-2 = 18, 2,1.

Отже, коефіцієнт кореляції r, а значить і d, суттєво відрізняється від нуля з надійністю Р = 1-a = 1-0,05 = 0,95.

Тому що розрахункове значення критерію Стьюдента більше за табличний, то параметр d суттєво відрізняється від нуля.

5. Адекватність отриманої моделі експериментальним даним перевіримо за критерієм Фішера. Розрахункове значення критерію визначається як відношення дисперсій:

(5.10 )

F_роз = 2115,28.

Табличне значення знаходимо за таблицею F-розподілу для імовірності a = 0,05 і числа ступенів свободи k₁ = m = 19 і k₂ = n-m-1 = 20-2 = 18

Тому що розрахункове значення критерію Фішера більше табличного, обрану модель можна вважати адекватною.

6. Проведемо аналіз отриманої експоненціальної залежності.

Коефіцієнт еластичності для отриманої моделі буде дорівнювати:

. (5.11 )

Підставивши рівняння залежності в [5.11] одержимо:

.

Тоді при зміні x для вихідних даних в інтервалі 0,0 £ х £ 9,8 коефіцієнт еластичності буде змінюватися в межах 0,00 £ K_x £ 2,96. Таким чином, збільшення значення фактора на 1% викликає ріст значення показника в середньому на 1,48 %.

Значення коефіцієнта кореляції, наближене до 1, а також мале значення величини дисперсії залишків означають тісний взаємозв'язок між фактором і показником. Оцінка значущості відмінності від нуля параметра рівняння й адекватності моделі дозволяють зробити висновок, що модель можна використовувати з метою прогнозування величини показника.