События А1, А2, ..., An (n > 2) называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или нет любые события из числа остальных.
Распространим теоремы умножения на случаи n независимых и зависимых в совокупности событий.
Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.
P(A1 ×A2×A3×…×An) = P(A1)×P(A2) × P(A3) ×…× P(An) (2.9)
Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:
| Р(АВ) = P(B) × Р(А/В) | (2.10) | |||
Р(А  В) = P(B) × Р(А/В) | ||||
| или Р(АВ) = P(A)×Р(В/А) | ||||
| Р(А В) = Р(A)×(В/А) | ||||
| Вероятность события В при условии появления события А: | ||||
P(B/A) =  или P(B/A) =  | (2.11) | |||
 . | ||||
Вероятность совместного наступления конечного числа n зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили, т.е.
| P(A1 × A2 × A3 ×... ×Аn) = Р(A1) × P(A2 / A1) ×P(A3 / A1 × A2).× . . . ×P(An / A1 × A2 × A3 ×…× An-1) ( 2.12) |
Если события А1, А2, ... An - зависимые в совокупности, то вероятность наступления хотя бы одного из них соответственно равна:
(2.13)
Вероятность появления хотя бы одного события из n независимых в совокупности, равна разности между 1 и произведением вероятностей событий, противоположных данным, то есть:
(2.14)
Пример 2.6. Консультационная фирма претендует на два заказа от двух крупных корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения консультационной работы в корпорации А равна 0,45. Эксперты также полагают, что если фирма получит заказ у корпорации А, то вероятность того, что и корпорация В обратится к ним, равна 0,9. Какова вероятность того, что консультационная фирма получит оба заказа?
Решение. Обозначим события:
А - “получение консультационной работы в корпорации А”,
В - “получение консультационной работы в корпорации В”.
События А и В - зависимые, т.к. событие В зависит от того, произойдет или нет событие А.
По условию мы имеем: Р(А) = 0,45, а также знаем, что Р(В/А) = 0,9.
Необходимо найти вероятность того, что оба события (и событие А, и событие В) произойдут, т.е. Р(АВ). Для этого используем правило умножения вероятностей (формула 2.10).
Отсюда получим:
Р(А В) = Р(А) Р(В/А) = 0,45 0,9 = 0,405.
Ответ. Вероятность того, что фирма получит оба заказа 0,405.
Пример 2.7.В большой рекламной фирме 21% работников получают высокую заработную плату. Известно также, что 40% работников фирмы - женщины, а 6,4% работников - женщины, получающие высокую заработную плату. Можем ли мы утверждать, что на фирме существует дискриминация женщин в оплате труда?
Решение.Сформулируем условие этой задачи в терминах теории вероятностей. Для ее решения необходимо ответить на вопрос: “Чему равняется вероятность того, что случайно выбранный работник будет женщиной, имеющей высокую заработную плату?” и сравнить ее с вероятностью того, что наудачу выбранный работник любого пола имеет высокую зарплату.
Обозначим события:
А - “случайно выбранный работник имеет высокую зарплату”;
В - “случайно выбранный работник - женщина”.
События А и В - зависимые.
По условию: Р(АB) = 0,064; Р(В) = 0,4; Р(А) = 0,21.
Нас интересует вероятность того, что наудачу выбранный работник имеет высокую зарплату при условии, что это женщина, т.е. - условная вероятность события А.
Тогда, используя теорему умножения вероятностей, получим:
.
Поскольку Р(А/В)=0,16 меньше, чем Р(А)=0,21, то мы можем заключить, что женщины, работающие в рекламной фирме, имеют меньше шансов получить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами.
Ответ. На фирме существует дискриминация женщин в оплате труда.
Пример 2.8. Студент пришел на экзамен, изучив только 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту три вопроса. Вычислить вероятность того, что студент ответит:
1. на все три вопроса;
2. хотя бы на один вопрос.
Решение.Обозначим события:
А -“студент знает все три вопроса”;
А1 - “студент знает первый вопрос”;
А2 - “студент знает второй вопрос”;
А3 - “студент знает третий вопрос”.
По условию: P(A1) = 20/25; P(A2/A1) = 19/24; P(A3/A2 ×A1) = 18/23.
1. Искомое событие А состоит в совместном наступлении событий А1, А2, А3.
События А1, А2, А3 - зависимые.
Для решения задачи используем правило умножения вероятностей конечного числа n зависимых событий.
Вероятность того, что студент ответит на все три вопроса, равна 0,496.
2. Обозначим событие:
В -“студент ответит хотя бы на один вопрос”;
Событие В состоит в том, что произойдет или событие А1, а события А2 и А3 - не произойдут, или произойдет событие А2, а события А1 и А3 - не произойдут, или произойдет событие А3, а события А1 и А2 - не произойдут, или произойдут события А1 и А2, а событие А3 - не произойдет, или произойдут события А1 и А3, а событие А2 - не произойдет, или произойдут события А2 и А3, а событие А1 - не произойдет, или произойдут все три события А1, А2, А3.
Для решения этой задачи можно было бы использовать правила сложения и умножения вероятностей. Однако здесь проще применить правило для вероятности наступления хотя бы одного из n зависимых событий:
Учитывая, что:
;
,
получим:
.
Вероятность того, что студент ответит хотя бы на один вопрос, равна 0,9957.
Ответ. Вероятность того, что студент ответит на все три вопроса равна 0,496.
Вероятность того, что студент ответит хотя бы на один вопрос, равна 0,9957.
Пример 2.9. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,06. Предполагается, что оба события - независимы. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит: 1. обе рекламы; 2. хотя бы одну рекламу?
Решение.Обозначим события:
А -“ потребитель увидит рекламу по телевидению”;
В - “потребитель увидит рекламу на стенде”.
С - “потребитель увидит хотя бы одну рекламу”. Это значит, что потребитель увидит рекламу по телевидению, или на стенде, или по телевидению и на стенде.
По условию: P(A) = 0,04; P(В) = 0,06.
События А и В - совместные и независимые.
1. Поскольку вероятность искомого события есть вероятность совместного наступления независимых событий A и B (потребитель увидит рекламу и по телевидению и на стенде), т.е. их пересечения, для решения задачи используем правило умножения вероятностей для независимых событий.
Отсюда:
Р(АВ) = Р(А) × Р(В) = 0,04 × 0,06 = 0,0024.
Вероятность того, что потребитель увидит обе рекламы, равна 0,0024.
2.Так как событие С состоит в совместном наступлении событий А и В, искомая вероятность может быть найдена с помощью правила сложения вероятностей.
Р(С) = Р(А + В)= Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,04 + 0,06 - 0,0024 = 0,0976.
Вместе с тем, при решении этой задачи может быть использовано правило о вероятности наступления хотя бы одного из n независимых событий:
Учитывая, что
и
,
получим: 
Вычисление вероятностей событий такого типа характеризует эффективность рекламы, поскольку эта вероятность может означать долю (процент) населения, охватываемого, и отсюда следует оценка рекламных усилий.
Ответ. Вероятность того, что потребитель увидит обе рекламы равна 0,024.
Вероятность того, что потребитель увидит хотя бы одну рекламу равна 0,0976.
Задачи к теме 2
1. Из колоды в 36 карт наудачу одна за другой извлекают две карты. Найти вероятность того, что ими окажутся: а) две дамы; б) туз и дама; в) две карты трефовой масти?
2. Вероятность того, что покупатель, собирающийся приобрести компьютер и пакет прикладных программ, приобретет только компьютер, равна 0,65. Вероятность того, что покупатель купит только пакет программ, равна 0,15. Вероятность того, что будет куплен и компьютер, и пакет программ, равна 0,35. Чему равна вероятность того, что будет куплен или компьютер, или пакет программ, или компьютер и пакет программ вместе?
3. Аудиторская фирма размещает рекламу в журнале “Коммерсант”. По оценкам фирмы 55% людей, читающих журнал, являются потенциальными клиентами фирмы. Выборочный опрос читателей журнала показал также, что 70% людей, которые читают журнал, помнят о рекламе фирмы, помещенной в конце журнала. Оцените, чему равна доля людей, которые являются потенциальными клиентами фирмы и могут вспомнить ее рекламу?
4. О двух акциях А и В известно, что они эмитированы предприятиями одной и той же отрасли. Вероятность того, что акция А поднимется завтра в цене, равна 0,25. Вероятность того, что обе акции А и В поднимутся завтра в цене, равна 0,14. Предположим, что Вы знаете, что акция А поднимется в цене завтра. Чему равна вероятность того, что и акция В завтра поднимется в цене?
5. Инвестор предполагает, что в следующем периоде вероятность роста цены акций компании N будет составлять 0,8, а компанииМ - 0,5. Вероятность того, что цены поднимутся на те и другие акции равна 0,4. Вычислите вероятность роста цен на акции или компании N или компании М, или обеих компаний вместе.
6. В фирме 600 работников, 420 из них имеют высшее образование, а 340 - среднее специальное образование, 286 сотрудников имеют и высшее и среднее специальное образование. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный работник имеет или среднее специальное, или высшее образование, или и то и другое?
7. Финансовый аналитик предполагает, что, если норма (ставка) процента упадет за определенный период, то вероятность того, что рынок акций будет расти в это же время, равна 0,60. Аналитик также считает, что норма процента может упасть за этот же период с вероятностью 0,50. Используя полученную информацию, определите вероятность того, что в течение обсуждаемого периода рынок акций будет расти, а норма процента падать?
8. Для компании, занимающейся строительством терминалов для аэропортов, вероятность получить контракт в стране А, равна 0,8, вероятность выиграть его в стране В, равна 0,3. Вероятность того, что контракты будут заключены и в стране А, и в стране В, равна 0,24. Чему равна вероятность того, что компания получит контракт хотя бы в одной стране?
9. Готовясь к зачету, студент выучил 20 из 30 вопросов программы. а) Какова вероятность того, что студент сдаст зачет, если для этого необходимо ответить на 2 случайно выбранных вопроса? Какова вероятность, что он не сдаст зачет?
10.Вероятность того, что любой из четырех паевых инвестиционных фондов покажет положительную доходность в определенном временном промежутке, оценивается равной 0,6. Чему равна вероятность того, что инвестор, имеющий паи в четырех различных фондах получит доход хотя бы по одному паю?
11. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по любому из трех центральных телевизионных каналов, равна 0,15. Предполагается, что эти события - независимы в совокупности. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит рекламу:
а) по всем трем каналам? б) хотя бы по одному из этих каналов? в) только по одному каналу?
12. Два студента при подготовке к зачету выучили соответственно: первый – 20 из 30 вопросов программы, второй – 25 из 30 вопросов программы. Для сдачи зачета необходимо ответить на 2 случайно выбранных вопроса. Имея эту информацию определить вероятности следующих событий: а) оба студента сдадут зачет; б) или первый или второй студенты сдадут зачет; в) только один студент сдаст зачет; г) ни один студент не сдаст зачет.
13. Покупатель может приобрести акции трех компаний А, В и С. Надежность первой оценивается экспертами на уровне 90%, а второй - 80%, третьей – 70%. Чему равна вероятность того, что: а) три компании в течение года не станут банкротами? б) наступит хотя бы одно банкротство? в) только одна компания обанкротится?
14. В магазин бытовой техники поступила партия телевизоров: 20 телевизоров «Sony», 10 телевизоров «Panasonic» и 30 телевизоров «Samsung». Из партии случайным образом выбраны два телевизора для специального тестирования. Какова вероятность того, что а) один из них – телевизор «Samsung»? б) оба телевизора изготовлены одной фирмой?
15. В городе три коммерческих банка, оценка надежности, которых - 0,9, 0,7 и 0,6 соответственно. В связи с определением хозяйственных перспектив развития города администрацию интересуют ответы на следующие вопросы: а) какова вероятность того, что в течение года обанкротятся все три банка? б) не обанкротится хотя бы один банк? в) обанкротится только один банк? г) обанкротятся только два банка?
16. При покупке товаров на сумму, превышающую 500 рублей, покупателю предлагают билет беспроигрышной лотереи. В лотерее разыгрываются призы двух видов: 70 призов первого вида и 30 призов второго вида. Какова вероятность того, что первый покупатель, сделавший соответствующую покупку и получивший 3 лотерейных билета, станет обладателем: а) одинаковых призов? б) хотя бы двух призов первого вида? в) трех призов второго вида?
17. В командном зачете автогонок лидируют три команды. В случае если гоночный болид сойдет с трассы команда не получит зачетных очков. Эксперты оценивают вероятность схода болида первой команды как 0,1, второй – 0,15, третьей – 0,2. Определите вероятность того, что а) к финишу придут все болиды? б) хотя бы один болид? в) два болида сойдут с трассы?
18. В урне 12 белых, 5 красных и 3 черных шара. Наудачу вынимается три шара. Найдите вероятность того, что а) все шары будут красными? б) хотя бы один шар будет черным? в) два шара будут белыми?
19. Игральная кость бросается трижды. Определить вероятность того, что: а) хотя бы один раз выпадет 5 очков; б) три раза выпадет 6 очков; в) два раза выпадет 3 очка.
20. Строительная фирма ищет краску определенного цвета. Курьер звонит в 4 строительных магазина. Вероятность наличия необходимой краски в первом магазине равна 0,9, во втором – 0,92, в третьем – 0,8, в четвертом – 0,7. Какова вероятность того, что а) хотя бы в одном магазине окажется краска нужного цвета? б) во всех магазинах окажется краска нужного цвета? в) ни в одном магазине не окажется краски нужного цвета?