Тема 5.2. Средние величины в статистике. - значение средних величин;
Студент должен:
знать:
- значение средних величин;
- виды степенных средних величин;
- свойства средней арифметической;
- методы средних показателей;
уметь:
- определять средний уровень изучаемого явления.
Степенные средние величины в статистике: средняя арифметическая, средняя квадратичная, средняя гармоническая. Правило мажорантности степенных средних в статистике. Расчет среднего показателя способом моментов. Взвешенные и невзвешенные (простые) средние степенные величины в статистике.
Методические рекомендации
Кроме абсолютных и относительных величин в статистике вычисляются средние величины. С помощью средней можно охарактеризовать совокупность по количественно варьирующему признаку, а также сравнить между собой различные совокупности по варьирующим признакам.
Средней величиной в статистике называется обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по какому-либо количественно варьирующему признаку.
Средняя арифметическая бывает простой и взвешенной.
Среднюю арифметическую простую вычисляют по формуле:
,
где 
– сумма значений вариант ряда;
n – количество вариант.
Данная формула используется для нахождения среднего уровня в дискретных рядах динамики.
Пример 1. Определить среднегодовой объем производства мяса по предприятию:
(тыс. тонн)
| 1997 год | 1998 год | 1999 год | 2000 год |
Решение:
тыс.тонн
Таким образом, среднегодовой выпуск мяса по предприятию составил 235 тыс.тонн.
Среднюю арифметическую взвешенную вычисляют по формуле:
Данный вид средней используется в том случае, когда варианты (X) ряда имеют различную частоту (f).
Пример 2.Определить средний балл студентов по итогам зимней сессии:
| Баллы | ||||
| Число оценок |
Решение:
Воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной:
Таким образом, средний балл составил 4,03, т.е. большую долю составляют студенты, получившие 4.
Средняя гармоническая – это величина обратная средней арифметической из обратных значений признака и вычисляется она по формуле:
Среднюю гармоническую используют в тех случаях, когда в качестве весов применяются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. 
).
Пример 3. Вычислим среднюю месячную зарплату рабочих предприятия по следующим данным:
| Группа рабочих | Средняя месячная оплата труда рабочего (руб.) | Фонд оплаты труда за месяц (руб.) |
Решение:
Используем формулу средней гармонической.
руб.
Таким образом, среднемесячная заработная плата рабочих по предприятию составила 1456 руб.
Если в условиях задачи содержится интервальный ряд, то прежде чем воспользоваться одной из формул, необходимо определить середину интервала. Если ряд имеет открытые интервалы, то для определения середины интервала используют значения интервала остальных групп.
Пример 4. Определить средний стаж работы на предприятии (табл. 8)
Таблица 8
| Группа рабочих, лет | Число рабочих | Середина интервала |
| до 5 лет | 2,5 | |
| 5 – 10 | 7,5 | |
| 10 – 15 | 12,5 | |
| 15 – 20 | 17,5 | |
| 20 – 25 | 22,5 | |
| 25 и более | 27,5 |
Решение. Воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной, где за вес (f) будем принимать число рабочих: .
Для начала надо определить середину интервалов: так как 
, то в группе до 5 лет серединой будет являться: 
года, в группе от 5 до 10 лет: 
лет и т.д.
Затем подставляем X в формулу:
лет
Таким образом, средний стаж рабочих по предприятию составляет 9,5 лет.
[3, 6, 7, 8, 9]
Вопросы для самоконтроля
- Что называется средней величиной?
- Какие виды средних величин вы знаете?
- В каких случаях вычисляется средняя арифметическая?
- На чем основывается средняя гармоническая?
- На чем основывается выбор средней величины?