Абсолютные и относительные статистические показатели. вычисление средних значений относительных показателей.

Под абсолютными показателями в статистике понимают исходные показатели статистического наблюдения (объем продукции, количество населения и т. д.). Они могут быть как моментными (на определенный момент времени), так и интервальными (за определенный период). Любая абсолютная величина (показатель) имеет присущую ей единицу измерения (штуки, килограммы, метры и т. д.). Часто в качестве абсолютных показателей используют стоимостные показатели (в рублях).

Под относительными показателями в статистике понимают показатели, характеризующие соотношение двух абсолютных показателей (ВНП на душу населения, производительность труда, себестоимость продукции и т. д.).

Различают относительные величины структуры, координации, динамики, сравнения и интенсивности.

Относительные величины структуры показывают долю каждой группы в общей численности совокупности. Их получают путем деления численности каждой группы на численность всей совокупности.

Относительные величины координации получают как соотношение между частями одной совокупности. Например, это может быть отношение числа мужчин к числу женщин.

Относительные величины динамики – это результат сопоставления уровней одного и того же показателя в разные моменты или периоды времени. Например, сопоставляя объем добычи нефти в России в 2002 г. и 2000 г., получим относительную величину динамики.

Относительные величины сравнения получают в результате сопоставления двух одноименных показателей, относящихся к разным совокупностям. Например, при сравнении величины основных фондов двух разных регионов.

Относительные величины интенсивности получают, сопоставляя разноименные признаки одной совокупности. Например, коэффициент рождаемости равен отношению числа родившихся детей к числу жителей, а себестоимость продукции равна отношению полных затрат к объему выпуска продукции.

Для расчета средних значений относительных величин используются формулы различных взвешенных средних в зависимости от экономического смысла показателей. В статистике используются различные виды средних величин.

Наиболее часто применяются следующие средние величины:

- средняя арифметическая;

- средняя гармоническая;

- средняя геометрическая;

- средняя квадратическая.

Все указанные средние величины можно рассчитать по общей формуле степенной средней

Если данные сгруппированы, то

Последние две формулы позволяют получить различные виды средних при разных значениях m (см. таблицу).

Вид степенной средней	m	Формула расчета простой средней	Формула расчета взвешенной средней
Гармоническая	-1
Геометрическая
Арифметическая
Квадратическая

Средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая и средняя квадратическая, рассчитанные для одних и тех же исходных данных, отличаются друг от друга. При этом всегда выполняется следующее соотношение:

Приведем несколько примеров использования средних взвешенных зависимостей.

Пример 1. Найдем средний коэффициент выполнения плана по предприятиям отрасли.

Пусть – план i-го предприятия;

– относительный показатель выполнения плана (в долях).

Тогда фактический объем выпуска продукции составит

Плановый объем выпуска продукции по отрасли

Средний показатель выполнения плана по отрасли

Этот показатель представляет собой средневзвешенное арифметическое показателей с весами, соответствующими плану производства - .

Пример 2. Найдем среднюю скорость движения автомобиля, если он проехал расстояние S₁ со скоростью v₁, а затем расстояние S₂ со скоростью v₂. Для нахождения средней скорости надо разделить суммарное расстояние S₁ + S₂ на суммарное время, затраченное на этот путь. Суммарное время в пути будет равно

Таким образом, средняя скорость составит

В общем случае при наличии n участков с различной скоростью

Нетрудно видеть, что средняя скорость представляет собой средневзвешенное гармоническое из скоростей на отдельных участках пути с весами, равными длине участков пути.

АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Ряд динамики (динамический ряд, временной ряд) представляет собой ряд числовых значений какого-либо показателя в последовательные моменты или периоды времени. Числовые значения, составляющие временной ряд, называются уровнями ряда.

По способу построения ряд может быть моментным, когда уровни ряда представлены на определенные моменты времени (конец квартала, начало года и т.д.) и интервальным, когда уровни ряда соответствуют определенным интервалам времени.

Изучение различных процессов на основе временных рядов включает следующие этапы:

- сбор исходной информации и построение временных рядов;

- визуальный анализ временного ряда и формирование набора возможных моделей прогнозирования;

- идентификация (подбор) модели;

- оценка параметров моделей;

- осуществление прогноза по математической модели.

В практике анализа временных рядов принято считать, что значения уровней временных рядов складываются из следующих компонент:

- тренд;

- сезонная составляющая;

- циклическая составляющая;

- случайная составляющая.

Под трендом (тенденцией) понимают изменения, определяющие общее направление развития изучаемого показателя. Это систематическая составляющая долговременного действия. Для описания тренда используют плавно меняющиеся, гладкие функции.

Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах часто имеют место более или менее регулярные колебания – периодические составляющие рядов динамики. Если период колебаний не превышает одного года, то их называют сезонными. Причины сезонных колебаний могут быть связаны с природно-климатическими условиями, могут носить социальный характер (например, увеличение покупок в предпраздничные дни, увеличение платежей в конце квартала и т. д.). Для описания сезонной компоненты используют периодические функции.

При большом периоде колебаний считают, что во временных рядах имеется циклическая составляющая. Примерами могут служить демографические, деловые, инвестиционные и другие циклы.

Если из временного ряда удалить тренд и периодические составляющие, то останется нерегулярная компонента. Часто причиной нерегулярных колебаний является действие большого числа различных факторов. Эта компонента рассматривается как случайная.

Для временных рядов, не имеющих тренда (стационарных), представляет интерес определение их среднего уровня.

Средний уровень интервального рядарассчитывается как простое среднее арифметическое

где - значение временного ряда в интервале t;

– число уровней временного ряда.

Моментные ряды отличаются от интервальных принципиальной неполнотой информации. Предположим, что уровни соответсвуют моментам наблюдения . Исследуемая величина изменяется в период между наблюдениями, поэтому средний уровень моментного ряда может быть оценен лишь приближенно. Для этой цели используется среднее хронологическое

Показатели динамики – это величины, характеризующие изменения уровней временного ряда. К ним относятся абсолютный прирост, коэффициент (темп) роста и коэффициент (темп) прироста.

Различают базисные и цепные показатели динамики. Базисные показатели – это результат сравнения текущего уровня ряда с одним фиксированным уровнем, принятым за базу (обычно это начальный уровень ряда). Цепные показатели – это результат сравнения текущего уровня ряда с предшествующим уровнем.

Формулы для расчета показателей представлены в табл.

Таблица

Показатели динамики

Базисные	Цепные
Абсолютный прирост
Ai=yi-y1	ai=yi-yi-1
Коэффициент (темп) роста
Ii=yi/y1 (*100 %)	ii=yi/yi-1 (*100 %)
Коэффициент (темп) прироста
Ki=(yi-y1)/y1=Ii-1 (*100 %)	ki=(yi-yi-1)/yi-1 =ii-1 (*100 %)

Рассмотрим определение среднего абсолютного прироста (цепного).

Предположим, что имеется временной ряд y₁,y₂,…,y_n.

Тогда , , , … (цепные приросты).

Средний абсолютный прирост равен

Рассмотрим определение среднего коэффициента роста (цепного)

Предположим, что имеется временной ряд y₁,y₂,…,y_n.

Тогда (i=2,…,n) – цепные коэффициенты роста.

Средний коэффициент роста равен

Временной ряд может быть представлен в виде

где f( ,t) – регулярная составляющая (тренд, основная тенденция);

e(t) – случайная составляющая;

– вектор параметров.

Одним из методов выделения тренда является сглаживание временного ряда с помощью скользящего среднего. Метод состоит в замене уровней ряда динамики средними арифметическими- за определенный интервал (окно сглаживания), длина которого определена заранее. При этом сам выбранный интервал времени «скользит» вдоль ряда.

Например, при к=2, 2к+1=5 и

Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, из-за усреднения отклонений ряда. Действительно, если индивидуальный разброс значений члена временного ряда около своего среднего значения m характеризуется дисперсией , то разброс средней из 2к+1 членов временного ряда около того же значения m будет характеризоваться существенно меньшей величиной дисперсии, равной /(2к+1).

В результате сглаживания получается ряд с меньшим количеством уровней, так как крайние значения теряются.

Пример. Провести сглаживание временного ряда по данным таблицы методом скользящего среднего с интервалом сглаживания 3 года.

t

Например, при t=2 по приведенной выше формуле получим

,

при t=3

и т.д.

В результате получим сглаженный ряд

t
	-	225,0	257,0	305,7	329,3	336,3	358,0	-

При аналитическом выравнивании подбирают математическую функцию, значения которой наиболее близки к уровням выравниваемого ряда. Выравнивание ряда сводится к определению параметров функции f( ,t). Для этого используется метод наименьших квадратов (МНК).