Приклад виконання лабораторної роботи
Задача. Будівельна дільниця має в наявності три групи взаємопов'язаних механізмів (М1, М2, М3). Фонд робочого часу відповідно становить 800, 900 і 600 машино-змін за місяць. Дільниці встановлено план виконання п'яти видів робіт (Р1, Р1, Р3, Р4, Р5) в такому обсязі 450,320,640,520 і 280 м3. Норми витрат часу за видами робіт і групами механізмів наведено в табл. 11.4.
Таблиця 11.4
Норми витрат часу на одиницю виконаної роботи
Група механізмів | Норми витрат часу на одиницю виконаної роботи відповідним механізмом, машино-змін | ||||
Р1 | Р2 | Р3 | Р4 | Р5 | |
М1 | 0,2 | 0,3 | 0,5 | 0,25 | 0,4 |
М2 | 0,4 | 0,45 | 0,56 | 0,6 | 0,5 |
М3 | 0,41 | 0,65 | 0,56 | 0,45 | 0,3 |
Собівартість одиниці роботи, виконаної відповідною групою механізмів наведено в табл. 11.5.
Таблиця 11.5
Собівартість одиниці виконаної роботи
Група механізмів | Собівартість одиниці виконаної роботи відповідним механізмом, грн. | ||||
Р1 | Р2 | Р3 | Р4 | Р5 | |
М1 | |||||
М2 | |||||
М3 |
Знайти оптимальний план завантаження будівельних механізмів, який забезпечить мінімальні витрати.
Розв'язок
Для побудови моделі введемо невідому величину хij– обсяг і-го виду роботи (j = 1, 2, ..., 5), яка виконується і-им механізмом (i = 1, 2, 3).
Цільова функція мінімуму витрат набуде вигляду:
F(х) = 20х11 + 30x12 + 40x13 + 35x14 + 45x15 + 30x21 + ... + 55х35 ® min.
За такими обмеженнями:
1) по використанню наявного фонду робочого часу механізмів:
М1: 0,2х11 + 0,3х12 + 0,5х13 + 0,25х14 + 0,4х15 ≤ 800;
М2: 0,4х21 + 0,45х22 + 0,56х23 + 0,6х24+ 0,5х25 ≤ 900;
М3: 0,41х31 + 0,65х32 + 0,56хЗЗ + 0,45х34 + 0,Зх35 ≤ 600;
2) по виконанню гарантованого плану відповідних механізованих робіт:
Р1: х11 + х21 + х31 ≥ 450;
Р2: х12 + х22 + х32 ≥ 320;
Р3: х13 + х23 + хЗЗ ≥ 640;
Р4: х14 + х24 + х34 ≥ 520;
Р5: х15 + х25 + х35 ≥ 280;
3) умова невід'ємності змінних:
хij ≥ 0, і=1,2,3; j=1,2,3,4,5.
Розв'язавши дану задачу, бачимо, що всі будівельні роботи будуть виконані в запланованих обсягах.
Висновок. Оптимальний план завантаження механізмів буде такий:
Це свідчить про те, що для того щоб загальна собівартість робіт була мінімальною потрібно:
на першому механізмі виконувати роботу Р1 в обсязі 450 одиниць і роботу Р5 в обсязі 280 одиниць;
на другому механізмі – роботу Р2 – 308,3 одиниць;
на третьому механізмі – роботу Р2 – 11,7; Р3 – 640 і Р4 – 520 одиниць продукції.
Лабораторна робота № 12. «Транспортна задача»
На практиці при перевезенні вантажів може виникнути одна з трьох ситуацій.
І.
Метою транспортної задачіє таке планування перевезень вантажу від постачальників до споживачів, щоб забезпечити мінімальні транспортні витрати.
Введемо позначення:
хij – змінні, які підлягають розшуку та виражають кількість вантажу, який перевозиться від і-гопостачальника до j-го споживача (і=1...m, j=1...n);
сij– вартість перевезення одиниці вантажу від i-го постачальника до
j-го споживача;
аi – кількість одиниць вантажу у і-гопостачальника;
bj – кількість одиниць вантажу, яка потрібна j-му споживачу.
Транспортна задача може бути сформульована як частковий випадок задачі лінійного програмування і вирішена симплекс-методом.
Кількість одиниць вантажу у постачальників відповідає попиту збоку споживачів, що відображається в умові балансу
. (12.1)
Така економіко-математична модель транспортної задачі називається закритоюта зурахуванням умови (8.1) вона має вид:
; (12.2)
(12.3)
. (12.4)
Дана транспортна задача є збалансованою.
У наведених виразах формула (12.2) відповідає цільовій функції з мінімізації транспортних витрат. Формули (12.3) є обмеженнями задачі:
перша формула характеризує те, що весь вантаж від постачальників має бути вивезеним;
друга формула відтворює той факт, що попит споживачів задоволений.
Формула (12.4) є умовою невід'ємності змінних.
ІІ.
Кількість вантажу у постачальників більше попиту у ньому з боку споживачів:
(12.5)
Це означатиме, що частина вантажу у постачальників залишиться, а споживачі отримають весь потрібний їм вантаж. Тому знак у першому обмеженню (12.3) зміниться з "=" на "≥". Інші формули розглянутої моделі (12.2)–(12.4) залишаться такими ж.
ІІІ.
Кількість вантажу у постачальників менше попиту в ньому у споживачів:
(12.6)
Це означатиме, що кожен постачальник увесь свій вантаж вивезе, а частина споживачів отримає вантажу менше відповідної кількості. Тому друге обмеження у формулах (12.3) буде мати знак "≤". Інші формули моделі (12.2)–(12.4) залишаться без зміни.
Економіко-математичні моделі у ситуаціях II і III називаються відкритими,а самі задачі – незбалансованими.
У всіх трьох розглянутих моделях кількість основних зміннихскладає m´n,
а кількість обмежень – (m+n).
Найбільш простою та часто використовуємою є закрита модель (12.2)–(12.4). З особливостями реалізації відкритих моделей можна познайомитися у спеціальній літературі.