Вариационного ряда распределения

Вопросы:

1.Мода

2. Медиана

3.Понятие квартили, децили и перцентили

4. Децильные коэффициенты

5. Квартильные коэффициенты

Особым видом средних величин являются структурные средние. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения признака. К таким показателям относится мода и медиана.

1. Мода- это значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности.

Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующихся наибольшим спросом у покупателей, наиболее распространенной цены на тот или иной товар на рынке и т.д.

В дискретном ряду модой является вариант с наибольшей частотой (частостью).

Например:

Распределение рабочих по выработке деталей

Выработка деталей за смену одним рабочим, шт.	Число рабочих ( веса)
Итого

Наибольшей частотой является число 5. Этой частоте соответствует модальное значение признака, т.е. выработка деталей за смену. Мода свидетельствует, что в данном примере чаще всего встречаются рабочие, изготавливающие за смену 20 деталей.

При расчете моды для интервального вариационного ряда необходимо вначале определить модальный интервал, в пределах которого находится мода, а затем значение модальной величины признака.

Модальный интервал- это интервал, имеющий наибольшую частоту (частость).

В интервальном вариационном ряду мода рассчитывается по формуле:

Мо= +h

где -нижняя граница модального интервала;

h- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Например: имеются следующие данные обобщения итогов выборочного бюджетного обследования населения города Новосибирска:

Среднедушевой денежный доход в среднем за месяц, тыс. руб.	Число жителей	Накопленные частости (S)	Середина интервала (х)
чел. (f)	в % к итогу
До 0,5		0,9	0,9	0,25
0,5-1,0		16,5	17,4	0,75
1,0-1,5		24,6	42,0	1,25
1,5-2,0		18,8	60,8	1,75
2,0-2,5		15,4	76,2	2,25
2,5-3,0		12,5	88,7	2,75
3,0 и более		11,3	100,0	3,25
Итого		100,0	-	-

Модальное значение признака, используя в качестве весов частости распределения получим:

Мо= 1,0+0,5 тыс. руб.

Таким образом, наиболее часто встречающаяся величина среднедушевого дохода составляет 1290 руб.

Расчет моды с использованием в качестве весов частот распределения дает аналогичный результат:

Мо=1,0+0,5 тыс. руб.

Вычисление моды в интервальном ряду является весьма условным.

Мода и средняя величина по – разному характеризуют совокупность. Мода определяет непосредственно размер признака, свойственный хотя и значительной части, но все же не всей совокупности.

Мода по своему обобщающему значению менее точна по сравнению со средней арифметической, характеризующей совокупность в целом с учетом всех без исключения элементов совокупности.

2. Медиана- это вариант, который находится в середине вариационного ряда.

Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы.

Чтобы найти медиану, необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда.

В ряду, состоящем из 15 чисел, медианой будет 8-е число, от которого как вниз ,так и вверх будет расположено по 7 чисел.

Например:

А: Дан нечетный вариационный ряд роста студенток:

156 158 160 161 166 168 172

Таким образом, центральным числом (медианой) данного ряда является рост студентки -161 см.

В случае четного вариационного ряда медиана определяется следующим образом: серединные два члена вариационного ряда складываются и делятся пополам.

В: Дан четный вариационный ряд роста студенток:

155 156 158 160 161 166 168 172

Ме= .

Если варианты в ряду распределения заданы в виде интервалов, то первоначально находят медиальный интервал, который содержит единицу, находящуюся в середине ранжированного ряда.

Медиальный интервал- это интервал, в котором находится порядковый номер медианы.

Медиана интервального ряда определяется по формуле:

Ме= ,

где - нижняя граница медиального интервала;

i- величина медиального интервала;

- сумма накопленных частот в интервалах предшествующих медиальному;

- частота медиального интервала.

Например: В интервальном ряду даны группы семей по среднемесячному доходу на 1 человека. Требуется определить для этого ряда серединное значение, т.е. медиану.

Группы семей по среднемесячному доходу на 1 человека, руб.	Число семей
До 900
900-1200
1200-1500
1500-1800
Свыше 1800
Итого

Ме=1200+300 руб.

Следовательно, 50% семей имеют доход на одного человека 1360 руб., а 50% имеют доход на одного человека > 1350 руб.

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.

3.Более общая постановка вариант, занимающих определенное порядковое место в ранжированном ряду, называется порядковой статистикой.

К порядковым статистикам принадлежат и экстремальные значения признака, т.е. минимальные и максимальные в данном ряду. Различают порядковые статистики, отсекающие четверти совокупности, которые называются квартили;в первую или нижнюю (отсекающие четверть совокупности снизу), третью или верхнюю (отсекающие четверть сверху). Второй квартилью можно назвать медиану. Далее можно говорить об отсекающих десятые части – децилях и т.д.

Определение этих порядковых статистик в вариационном ряду, так же как и определение медианы, начинается с расчета порядкового номера соответствующего варианта, а затем по накопленным частотам определяется интервал, в котором находится соответствующий вариант. Определение величины накопленного варианта внутри интервала тоже абсолютно аналогично нахождению медианы.

Таким образом, к структурным характеристикам относятся и другие порядковые статистики: квартили – делящие ряд на 4 равные части, децили- делящие ряд на 10 частей, перцинтили- на 100 частей и т.д.

4.Общая схема расчета децилей следующая:

1) поскольку децили отсекают десятые части совокупности, по накопленным частостям определим интервалы, куда попадают порядковые номера децилей: для первой децили- интервал, где находится вариант, отсекающий 10% совокупности с наименьшими значениями признака; для второй- 20% и т.д. ; для девятой децили – интервал, содержащий вариант, отсекающий 90% с наименьшими значениями , или, что то же самое, 10% с наибольшими значениями признака;

2) Рассчитаем величину децилей по формулам.

Например, первая и девятая децили находятся по формулам:

;

= .

Где- , -начала интервалов, где находятся первая и девятая децили;

, - величина интервалов, где находятся первая и девятая децили;

- общая сумма частот ( частостей);

, - суммы (частот ( частостей), накопленных в интервалах, предшествующих интервалам, в которых находятся первая и девятая децили;

, -частоты (частости) интервалов, содержащих первую и девятую децили.

Например: согласно имеющихся данных об итогах выборочного бюджетного обследования населения города Новосибирска (см. пример выше) первая дециль попадает в интервал от 0,5 до 1,0 тыс. руб. (сумма накопленных в этом интервале частостей составляет 17,4%, что превышает 10%), девятая дециль – в интервал от 3,0 тыс. руб. и более (в этом интервале находится 10 % населения с наибольшими доходами). Найдем величину соответствующих децилей.

тыс. руб.

Следовательно, максимальная величина месячного среднедушевого дохода у 10% наименее обеспеченных жителей составила 776 руб.

тыс. руб.

Минимальная величина месячного среднедушевого дохода у 10% наиболее обеспеченного населения города составляла 3058 руб.

Соотношение децильных коэффициентов в социальной статистике получило названиекоэффициента децильной дифференциации доходов населения ( ):

= .

В рассматриваемом примере:

3,9.

Это означает, что минимальный месячный среднедушевой доход 10% наиболее обеспеченного населения превышал максимальный доход 10% наименее обеспеченного населения в 3,9 раза.

5.Наряду с децилями применяются квартили.

Квартили- это значения признака в ранжированном ряду распределения , выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q1 ; 25% единиц будут заключены между Q1 и Q2; 25% между Q2 и Q3 и остальные 25% превосходят Q3.

В интервальном вариационном ряду квартили внутри определенного по накопленным частотам интервалам рассчитывается по следующим формулам:

Нижний квартиль :

Q1= +i .

Верхний квартиль:

Q3= +i ,

Где х0 – нижняя граница квартильных интервалов;

i –величина интервала;

- сумма частот,

Sx1 – накопленная частота интервала, предшествующего нижнему квартилю;

Sx3 – накопленная частота интервала, предшествующего верхнему квартилю

- частота квартильного интервала .

Если в качестве показателя центра распределения используется медиана, то Q2=Ме.

Например: В интервальном ряду распределения 50 учащихся по росту, определить верхний и нижний квартиль.

Распределение 50 учащихся по росту в интервальном ряду

Рост, см х	Число учащихся	Накопленные частоты
160-165
165-170
170-175
175-180
180-185
185-190
190-195
Всего		-

.

Следовательно, в ряду распределения по данным о распределении учащихся по росту первый квартиль составляет 170,8 см., а третий-180,8см, т.е. 25% учащихся имеют рост, не превышающий 170,8см., а у 75% учащихся рост не превышает 180,8 см.

Контрольные вопросы:

1. В чем сущность моды и как она рассчитывается для вариационного и интервального ряда?

2. Что такое медиана и как она рассчитывается для интервального ряда?

3. Что такое квартили, децили ?

4. Как рассчитываются квартили?

5. Каков порядок расчета децили?