Методичні рекомендації до практичного заняття. Концепції майбутньої та теперішньої вартості грошей ґрунтуються на базі розрахунку вартості використання грошей протягом певного періоду часу

Концепції майбутньої та теперішньої вартості грошей ґрунтуються на базі розрахунку вартості використання грошей протягом певного періоду часу.

Існують два способи визначення і нарахування відсотків.

Декурсивний спосіб нарахування відсотків. Відсотки нараховуються в кінці кожного інтервалу нарахування, їх величина визначається, виходячи з величини капіталу, що надається. Відповідно декурсивна відсоткова ставка (позиковий відсоток) представляє собою виражене у відсотках відношення суми нарахованого за певний інтервал доходу до суми, що є на початок даного інтервалу.

(3.6)

У фінансових розрахунках перший показник ще називається "відсотковою ставкою", "відсотком", "ставкою відсотку", "нормою прибутку", "доходністю".

Антисипативний (попередній) спосіб нарахування відсотків. Відсотки нараховуються на початку кожного інтервалу нарахування. Сума процентних грошей визначається, виходячи з нарощеної суми. Відсотковою ставкою буде відношення суми доходу, що виплачується за певний інтервал, до величини нарощеної суми, одержаної по закінченні цього інтервалу (у відсотках).

(3.7)

Така відсоткова ставка називається обліковою ставкою, дисконтом або антисипативним відсотком. Очевидно, що обидві ставки взаємопов'язані, тобто, знаючи один показник, можна розрахувати інший:

(3.8)

Декурсивний спосіб нарахування відсотків є поширеним в світовій практиці; антисипативний метод нарахування відсотків застосовувався в країнах розвинутої ринкової економіки, як правило, в періоди високої інфляції. Але незалежно від способу нарахування відсотків відсоткові ставки можуть бути простими і складними.

Простий відсоток. Простий відсоток - це нарахування відсотку лише на початково інвестовану суму. Наприклад, на початку року інвестор розміщує на рахунку в банку суму Р під r відсотків. Через n років він одержить:

Р_n = Р * (1 + r * n) (3.9)

де: Р_n - майбутня вартість; Р - сьогоднішня вартість.

Нарахування за схемою простих відсотків застосовується, як правило, в короткострокових фінансових операціях, коли інтервал нарахування співпадає з періодом нарахування (і становить менше 1 року), або коли після кожного інтервалу нарахування кредитору виплачуються відсотки.

Якщо простий відсоток нараховується протягом періоду, який складає менше року, формула (3.9) набуває вигляду:

(3.10)

де: t - кількість днів нарахування відсотку протягом року;

Т - кількість днів в році;

Р_t- - сума, яка одержується при нарахуванні відсотку за t днів;

r - відсоток, що нараховується.

В залежності від способу визначення тривалості фінансової операції розраховується або точний (англійський метод), або приблизний (комерційний) відсоток (французький метод), або звичайні відсотки з наближеною кількістю днів позички (німецький метод).

Дата видачі і дата погашення позики завжди приймаються за один день.

Точний відсоток одержують, коли за часову базу беруть фактичну кількість днів в році (365 або 366) і точне число днів позики. На практиці вибір того чи іншого способу залежить від величини суми, яка використовується при здійсненні фінансової операції.

Якщо період нарахування відсотків вимірюється в місяцях, то сума, отримана інвестором, буде розраховуватись наступним чином:

(3.11)

де: t – кількість місяців, протягом яких нараховується відсоток;

Р_t – сума, яку інвестор отримає через t місяців.

Складний відсоток.

Нарахування відсотку один раз на рік. У довгострокових фінансово-кредитних угодах частіше використовують нарахування складних відсотків. При нарахуванні складних відсотків їх нараховують не тільки на основну суму, а й на суму, що включає як основну суму, так і нараховані раніше відсотки. У цьому випадку кажуть, що відбувається капіталізація відсотків в міру їх нарахування.

При нарахуванні складних відсотків за перший період базою для нарахування є основна сума:

Р_t = Р * (1 + r) (3.12)

Відмінність результатів при складному і простому відсотків виникає, починаючи з другого періоду нарахування, а через n років сума на рахунку зросте до величини:

Р_n = Р * (1 + r)ⁿ (3.13)

Нарахування відсотків декілька разів на рік. Складний відсоток може нараховуватися частіше, ніж один раз на рік, наприклад, раз в півроку, квартал, місяць тощо. Нарахування складних відсотків декілька разів на рік називаєтьсякомпаундингом. Відсотки, що нараховуються з певною періодичністю, називаються дискретними. Нарощена сума буде розраховуватись за наступною формулою:

(3.14)

де: m - періодичність нарахування відсотку протягом року.

Із зростанням кількості нарахувань відсотків протягом року абсолютний річний доход інвестора зростає.

Безперервне нарахування відсотку. Якщо тривалість інтервалу нарахування наближається до нуля, а періодичність нарахування відсотків - до нескінченності (m → ∞), ми одержимо безперервне нарахування відсотків, яке нерідко використовується в світовій практиці. Іншими словами, безперервне нарахування відсотків називається нескінченним компаундингом. Формула для нескінченно нараховуваного відсотку має наступний вигляд:

(3.15)

де: r_n - відсоток, що нараховується безперервно; n - період часу нарахування відсотку; е- 2,71828...

Еквівалентний і ефективний відсотки. В практиці фінансового ринку відсоток, що нараховується по активу, задають як простий відсоток з розрахунку на рік. Однак, якщо в рамках року по активу передбачено нарахування складного відсотку, то загальний результат, який одержить інвестор, буде вище декларованого. Щоб його визначити, необхідно розрахувати ефективний або реальний відсоток.

Ефективний (реальний) відсоток - це відсоток, який реально одержує інвестор за результатами року при нарахуванні складного відсотку. Ефективний відсоток можна визначити з наступного співвідношення:

→ (3.16)

де: r_еф - ефективний відсоток; r - простий відсоток з розрахунку на рік, який заданий за умовами фінансового інструменту.

Поєднання простого і складного відсотків. Досить часто фінансові контракти укладаються на період, що відрізняється від цілої кількості років. В даному випадку відсотки можуть нараховуватися або за схемою складних відсотків або за наступною схемою:

(3.17)

де: P_n+t – сума, яку одержить інвестор за n років і t днів;

Р – початково інвестована сума;

t – число днів, за які нараховується простий відсоток;

r – відсоток, що нараховується протягом року.

Необхідно враховувати, що даний метод дає менший, ніж потрібно результат. Отже, в ситуації, коли номінали грошових сум досить високі, цей метод не використовується. В цьому разі застосовують наступні формули (3.18) і (3.19) (капіталізація відсотків здійснюється щорічно):

(3.18)

(3.19)

Дисконтована вартість. У фінансових розрахунках виникає необхідність порівнювати між собою різні суми грошей в різні моменти часу. Дисконтування – це зведення економічних показників різних років до порівняного в часі вигляду. Дисконтування здійснюється за допомогою коефіцієнта дисконтування (дисконтую чого множника). Цю задачу вирішують за допомогою наступної формули:

(3.20)

де: Р_n – це майбутня вартість;

Р – дисконтована або приведена вартість (синонімами є сьогоднішня, дійсна, поточна вартість);

- це коефіцієнт дисконтування - його величина відповідає поточній вартості однієї грошової одиниці, яка буде одержана в кінці періоду n при складному відсотку r. Його величина залежить від тривалості свого періоду і необхідної ставки дисконту.

Формула використовується також при оцінці облігацій з нульовим купоном.

При нарахуванні складного відсотку m разів на рік формула (15) набуває вигляду:

(3.21)

Для відсотку, що нараховується безперервно:

(3.22)

Для розрахунку дисконтованої вартості для простого відсотку використовується формула:

(3.23)

Визначення періоду нарахування відсотків. На практиці виникають питання визначення періоду часу, який необхідний для збільшення суми Р до значення Р_n при нарахуванні відсотку r. Для простого відсотку:

(3.24)

Період t буде дорівнювати відповідно:

(3.25)

Період часу інвестування при складному відсотку дорівнює:

(3.26)