Приклади побудови фазового портрету лінійної і нелінійної системи

Для побудови фазового портрету лінійної динамічної системи:

необхідно виконати наступні дії:

1. Обчислити detM, де , знайти власні значення матриці М та обчислити trM . Визначити тип особливої точки згідно викладеного у попередньому параграфі матеріалу.

2. Знайти рівняння особливих напрямків (dx/dt)=0 та (dy/dt)=0

y=(-a/b)x, y=(-c/d)x.

3. Якщо особлива точка є сідлом або вузлом, то знайти асимптоти, використовуючи підстановку y=kx.

4. Визначити напрямки фазових траєкторій.

Приклад 1: дослідити характер особливої точки (0,0):

(1.13)

1. Обчислюємо визначник і слід матриці М: .

Особлива точка (0,0) – сідло. Про цей факт свідчать і корені характеристичного рівняння : .

2. Рівняння особливих напрямків: y=(4/5)x; y=2x. Першу пряму фазові траекторії перетинають у вертикальному напрямку, а другу – горизонтальному.

3. Знаходимо рівняння асимптот. Нехай y=kx. Розв'язуючи рівняння відносно k: k=(–2+k)/(4–5k), знаходимо кутові коефіцієнтиасимптот: у=(-2/5)x; y=x.

4. Визначаємо напрямки фазових траєкторій, враховуючи знак похідних і в точках фазових траєкторій.

Рис. 1.9. Поле напрямків системи (1.13) Рис. 1.10. Фазові траєкторії системи (1.13)

Приклад 2:знайти всі нерухомі точки нелінійної системи і дослідити їх

на стійкість

. (1.14)

Особливі точки системи знайдемо, розв'язуючи систему рівнянь:

Особливі точки: =(1;-1); =(1;1); =(2;-2); =(2;2).

Запишемо вирази частинних похідних функцій і :

Визначимо тип кожної особливої точки.

I. =(1;-1) – стійкий вузол. Дійсно, лінеаризуючи систему у околі цієї точки, приходимо до системи лінійних диференціальних рівнянь відносно збурень фазових координат:

. (1.15)

На рис. 1.11 наведені фазові траєкторії і поле напрямів цієї системи.

Рис. 1.11. Фазові траєкторії і поле напрямків системи (1.15)

II. =(1;1) – сідло. Лінійна система відносно лінеарізованих фазових змінних в точці (1,1) має вигляд:

(1.16)

На рис. 1.12 наведені фазові траєкторії і поле напрямів цієї системи.

Рис. 1.12. Фазові траєкторії і поле напрямків системи (1.16)

III. =(2;–2) – також є сідлом. Лінійна система диференціальних рівнянь відносно збурень фазових координат в точці має вигляд:

Фазові траєкторії і поле напрямів в цій точці наведені на рис. 1.13.

Рис. 1.13. Фазові траєкторії і поле напрямків системи (1.14) у околі точки (2;–2)

IV. =(2;2) – нестійкий фокус, тому що в лінійній системі диференціальних рівнянь відносно збурень

; ; (корені характеристичного рівняння: ). Фазові траєкторії і поле напрямів наведені на рис. 14.

Рис. 1.14. Фазові траєкторії і поле напрямків в точці системи (1.14) у околі точки (2;–2)

Фазовий портрет динамічної системи (1.10) представлений на рис. 1.15.

Рис. 1.15. Фазовий портрет системи (1.14)