Средняя арифметическая и ее свойства
Статистические показатели
4.1 Понятие, формы выражения и виды статистических показателей.
4.2 Абсолютные показатели.
4.3 Относительные показатели.
4.4 Средние величины.
Понятие, формы выражения и виды статистических показателей
Статистический показательпредставляет собой количественную характеристику социально-экономических явлений и процессов в условиях качественной определенности. Качественная определенность показателя заключается в том, что он непосредственно связан с внутренним содержанием изучаемого явления или процесса, его сущностью.
Все статистические показатели разделяются:
1) по охвату единиц совокупности на:
- индивидуальные,
- сводные,
2) по форме выражения на:
- абсолютные,
- относительные,
- средние,
3) в зависимости от временного фактора на:
- моментные,
- интервальные.
Индивидуальные показатели характеризуют отдельный объект или отдельную совокупность – предприятие, банк и т.д. Примером индивидуального абсолютного показателяявляется оборот торговой фирмы, совокупный доход домохозяйства и т.д.
На основе соотнесения 2-х индивидуальных абсолютных показателей, характеризующих один и тот же объект или единицу, получают индивидуальный относительный показатель.
Сводные показатели характеризуют группу единиц, представляющую собой часть статистической совокупности или всю совокупность в целом. Сводные показатели подразделяются на: объемные и расчетные.
Объемные показатели получают путем сложения значений признака отдельных единиц совокупности. Различают абсолютные (стоимость основных фондов предприятий отрасли), относительные (фондовооруженность) и средние (средняя стоимость основных фондов) объемные показатели.
Расчетные показателивычисляются по различным формулам и служат для решения отдельных статистических задач анализа – измерения вариации, характеристики структурных сдвигов и т.д. Расчетные показателитакже подразделяются на: абсолютные, относительные и средние.
В зависимости от временного фактора различают моментные и интервальные показатели.
Статистические показатели, характеризующие социально-экономические явления и процессы по состоянию на определенный момент времени (на определенную дату, начало и конец месяца, года) называются моментными.Например, численность населения на 1.01.2009 г., дебиторская задолженность на 15.07.2010 г.
Статистические показатели, характеризующие социально-экономические явления и процессы за определенный период – день, неделю, месяц, квартал, год называются интервальными. Например, производство продукции, сумма страховых выплат и т.д.
Абсолютные показатели
Исходной, первичной формой выражения статистических показателей являются абсолютные величины. Статистические показатели в форме абсолютных величин характеризуют абсолютные размеры изучаемых процессов и явлений: их массу, площадь, объем и т.д.
Абсолютные статистические показатели всегда являются именованными числами, имеющими определенную размерность, единицы измерения. Они выражаются в натуральных, стоимостных и трудовых единицах измерения.
В международной практике используются следующие натуральные единицы измерения: тонны, килограммы, метры, (кв.м, куб.м), км, шт., литры и т.д.
Условно-натуральныепоказатели используются, когда какой-либо продукт имеет несколько разновидностей, и общий объем можно определить исходя из общего для всех разновидностей потребительского свойства. Например, различные виды органического топлива переводят в условное топливо с теплотой сгорания 29,3 МДж/г, (7000 Ккал/кг).
В отдельных случаях для измерения используется произведение двух единиц. Например, производство электроэнергии, измеряемое в киловатт-часах и т.д.
В условиях рыночной экономики наибольшее применение имеют стоимостные единицы измерения, дающие денежную оценку социально-экономическим явлениям и процессам (ВВП).
К трудовым единицам измерения, позволяющим учитывать как общие затраты труда на предприятии, так и трудоемкость отдельных операций технологического процесса, относятся человеко-дни и человеко-часы.
Относительные показатели
Относительный показатель представляет собой результат деления одного абсолютного показателя на другой и выражает соотношение между количественными характеристиками социально-экономических процессов и явлений.
При расчете относительного показателя абсолютный показатель, находящийся в числителе, называется текущим (сравниваемым), а показатель, который находится в знаменателе – основаниемили базой.
Относительные показатели могут выражаться в коэффициентах, процентах или быть именованными.
Относительные показатели можно разделить на следующие виды:
- динамики,
- плана,
- структуры,
- координации,
- интенсивности развития,
- сравнения.
1) Относительный показатель динамики (ОПД) - это отношение уровня исследуемого процесса или явления за данный период времени (по состоянию на данный момент времени) к уровню этого же процесса или явления в прошлом.
. (4.1)
ОПД показывает во сколько раз текущий уровень превышает предшествующий или какую долю от последнего составляет. Если данный показатель выражен кратным отношением, он называется коэффициентом роста, при домножении этого коэффициента на 100% получают темп роста.
2) Относительный показатель плана (ОПП)используется предприятиями с целью перспективного планирования своей деятельности.
. (4.2)
3) Относительный показатель реализации плана (ОПРП)
. (4.3)
Между рассмотренными выше показателями существует следующая взаимосвязь:
. (4.4)
4) Относительный показатель структуры (ОПС)представляет собой соотношение структурных частей изучаемого объекта и их целого.
. (4.5)
ОПС выражается в долях единицы или в %-х. Структура внешнеторгового оборота в 2010г. представлена в таблице 4.1.
Таблица 4.1 - Структура внешнеторгового оборота в 2010г.
| Трлн. руб. | % к итогу | |
| А | ||
| Внешнеторговый оборот – всего в том числе: экспорт импорт | 896,7 505,6 391,1 | 56,4 43,6 |
Рассчитанные в графе 2 проценты представляют собой относительные показатели структуры. Сумма всех удельных весов всегда должна быть строго равна 100%.
5) Относительный показатель координации (ОПК) – характеризует соотношение отдельных частей целого между собой.
. (4.6)
При этом в качестве базы сравнения выбирается та часть, которая имеет наибольший удельный вес или является приоритетной. В результате получают, сколько единиц каждой структурной части приходится на 1 единицу (иногда на 100, 1000 и т.д. единиц) базисной структурной части. Из таблицы 4.1 видно, что на каждый триллион рублей импорта приходилось 1,29 трлн. руб. экспорта (505,6 / 391,1).
6) Относительный показатель интенсивности (ОПИ) – всегда является именованной величиной, характеризующей результат сопоставления разноименных показателей. Например:
. (4.7)
7) Относительный показатель сравнения (ОПСр) – представляет собой соотношение одноименных абсолютных показателей, характеризующих разные объекты (предприятия, фирмы, районы, области и т.п.), но относящихся к одному и тому же периоду.
. (4.8)
Средние величины
Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в социально-экономических исследованиях, является средняя величина.
Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Сущность средней состоит в том, что она отражает типичный уровень признака и абстрагируется от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам. Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности.
Определить среднюю во многих случаях можно через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу:
. (4.9)
В каждом конкретном случае для реализации исходного соотношения требуется одна из форм средней величины. Все виды средних объединяются в общей формуле средней степенной (при различной величине 
):
1) простая:
, (4.10)
2) взвешенная:
, (4.11)
где 
- показатель степени, определяющий вид средней величины;
- средняя величина исследуемого явления;
– 
-ый вариант осредняемого признака 
;
– вес -го варианта.
В зависимости от различают следующие виды средних величин:
– средняя гармоническая;
– средняя геометрическая;
- средняя арифметическая;
– средняя квадратическая.
Средняя арифметическая и ее свойства
Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.
Средняя арифметическая простая применяется, когда значение вариантов встречается по одному числу раз.
. (4.12)
Средняя арифметическая взвешенная применяется, когда отдельное значение признака повторяется неодинаковое количество раз, т.е. она используется в расчетах средней по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными и интервальными.
. (4.13)
При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений переходят от интервалов к их серединам.
Например, по данным таблицы 4.2 определим величину среднедушевого дохода по городу.
Таблица 4.2 - Распределение населения города в 1-м квартале 2010г. по уровню среднедушевых денежных доходов
| Среднедушевой денежный доход в среднем за месяц, тыс. руб. | Численность населения, % к итогу |
| До 5000 | 10,5 |
| 5000-10000 | 30,2 |
| 10000 – 15000 | 24,3 |
| 15000 – 20000 | 16,7 |
| 20000 – 25000 | 13,2 |
| Свыше 25000 | 5,1 |
| Итого |
. (4.14)
Так как мы имеем интервальный ряд, то определяем середины интервалов. При этом величину первого интервала условно приравниваем к величине второго, а величину последнего интервала приравниваем к величине предпоследнего. В результате получаем следующие середины интервалов:
Роль численности населения выполняет его доля в общем итоге, выраженная в процентах. Для расчета воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной:
Средняя арифметическая обладает следующими свойствами:
1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты:
. (4.15)
2. Свойство для отклонений: сумма отклонений вариант от средней арифметической равно нулю:
. (4.16)
3. Свойство для вариант: если все осредняемые уменьшить или увеличить на постоянное число 
, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину:
. (4.17)
4. Если варианту увеличить или уменьшить в какое-то число раз, то в то же число раз увеличится или уменьшится среднее арифметическое:
. (4.18)
5. Свойство для частот:если частоты (веса) ряда увеличить или уменьшить на произвольное число, то средняя арифметическая от этого не изменится:
. (4.19)
6. Если веса или частоты всех вариант равны между собой, то средняя арифметическая взвешенная будет равна средней арифметической простой:
, если 
. (4.20)
Знание основных свойств средней арифметической позволяет упростить ее вычисление, особенно для вариационного ряда с равными интервалами, т.е. способом моментов:
, (4.21)
где – интервал;
– серединное значение интервала;
– условная величина;
- частота признака.
За условную величину ( ) принимают варианту, занимающую серединное положение в данном ряду и имеющую наибольшую частоту.
Доминирующее серединное положение в ряду:
, (4.22)
.
Серединное 
из значений 
называется моментом первого порядка.
Другие виды средних
1. Средняя гармоническая– это величина, обратная средней арифметической, когда . Когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение, применяется формула средней гармонической взвешенной:
, где 
. (4.23)
Когда объемы явлений, т.е. произведения ( 
), по каждому признаку равны, применяется средняя гармоническая простая:
, (4.24)
где 
– сумма обратных значений вариант;
– число вариант.
Например, по данным таблицы 4.3 рассчитаем среднюю заработную плату в целом по трем предприятиям.
Таблица 4.3 - Заработная плата на предприятиях АО в 2010 г.
| Предприятие | Численность промышленно-производственного персонала, чел. | Средняя заработная плата, руб. |
| Итого | ? |
Определим исходное соотношение средней для показателя «Средняя заработная плата»:
. (4.25)
Нам известен знаменатель исходного соотношения, но не известен числитель. Однако фонд заработной платы можно получить умножением средней заработной платы на численность ППП. Поэтому общая средняя может быть рассчитана по формуле средней арифметической взвешенной:
Допустим, что нам известны только данные о фонде заработной платы и средней заработной плате персонала (таблица 4.4), т.е. известен числитель исходного соотношения, но не известен его знаменатель.
Таблица 4.4 - Месячный фонд заработной платы и средняя заработная плата на предприятиях АО в 2010 г.
| Предприятие | Месячный фонд заработной платы, тыс. руб. | Средняя заработная плата, руб. |
| 4590,0 | ||
| 3465,0 | ||
| 6915,8 | ||
| Итого | 14970,8 | ? |
Численность работников по каждому предприятию можно получить делением фонда заработной платы на среднюю заработную плату. Тогда для расчета средней заработной платы мы будем использовать формулу средней гармонической взвешенной:
2. Средняя геометрическая – это величина, используемая как средняя из отношений или в рядах распределения, представленных в виде геометрической прогрессии, когда , 
. Средняя геометрическая используется в расчетах среднегодовых темпов роста и для определения равноудаленной величины от минимального и максимального значений признака.
1) средняя геометрическая простая:
, (4.26)
2) средняя геометрическая взвешенная:
. (4.27)
В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратических и кубических единицах измерения (например, для вычисления средней величины квадратных участков; средних диаметров труб и т.п.) средняя кубическая (при определении средней длины кубов).
3. Средняя квадратическая:
- простаяявляется квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:
, (4.28)
- взвешенная:
. (4.29)
4. Средняя кубическая:
- простая:
, (4.30)
-взвешенная:
. (4.31)
Заметим, что средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики.