АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ и экономический анализ полученных результатов

Ленинградский областной институт экономики и финансов

Кафедра высшей математики

ОТЧЕТ

О лабораторной работе № 6

по дисциплине: «Экономико-математические

модели»

на тему: «Модель макроэкономической динамики Харрода-Домара»

(вариант №5)

Гатчина

Содержание

Введение…………………………………………………………………………….3

1. Постановка задачи………………………………………………………4

2. Алгоритм вычисления показателей и экономический анализ полученных результатов…………………………………….10

Заключение……………………………………………………………………...18

Список использованной литературы……………………………...19

Приложение 1……………………………………………………………………20

Приложение 2……………………………………………………………………21

Приложение 3……………………………………………………………………22

Приложение 4……………………………………………………………………23

Приложение 5……………………………………………………………………24

ВВЕДЕНИЕ

Модель макроэкономической динамики Харрода-Домара описывает динамику взаимосвязи основных макроэкономических показателей закрытой экономики.

Данная работа посвящена исследованию динамики дохода при различной динамике потребления в модели Харрода-Домара. В работе необходимо определить принципы формирования структуры выпуска (дохода), распределение его между составляющими, прежде всего – между потреблением и накоплением, а также выявить динамику дохода в зависимости от динамики потребления.

Представленная работа состоит из двух разделов.

В первом разделе делается постановка самой задачи.

Во втором разделе рассматривается алгоритм вычисления показателей и дается экономический анализ полученных результатов.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Модель макроэкономической динамики Харрода-Домара описывает динамику взаимосвязи основных макроэкономических показателей закрытой экономики. При этом доход равен сумме объема потребления и инвестиций :

. (1)

Так как экономика считается закрытой, поэтому чистый экспорт равен нулю и государственные расходы в модели не выделяются. Основное соотношение в модели Харрода-Домара - это взаимосвязь между инвестициями и скоростью роста дохода. Предполагается, что скорость роста дохода пропорциональна инвестициям:

,(2)

где – коэффициент приростной капиталоёмкости, или капиталоёмкости прироста дохода, а обратная величина: b= называется приростной капиталоотдачей.

При построении модели приняты следующие допущения:

1. Инвестиционный лаг равен нулю и, следовательно, инвестиции мгновенно переходят в прирост капитала:

(3)

где - непрерывная функция прироста капитала во времени.

2. Выбытие капитала отсутствует.

3. Производственная функция в модели линейна. Это вытекает из пропорциональности прироста дохода приросту капитала, так как

,(4)

и, следовательно: .(5)

Однако линейная производственная функция:

, (6)

где ,

обладает этим свойством, если либо , либо . Из данных положений вытекают следующие допущения модели:

1. Затраты труда постоянны во времени либо выпуск не зависит от затрат труда, поскольку труд не является дефицитным ресурсом;

2. Модель не учитывает влияния на объем выпуска продукции научно-технического прогресса.

В модели Харрода-Домара предполагается, что динамика объёма потребления задаётся экзогенно. Этот показатель может считаться постоянным во времени, расти с заданным постоянным темпом или иметь какую-либо другую динамику

1) Простейший вариант модели получается, если считать . В этом случае все ресурсы экономики направляются на инвестиции, в результате чего могут быть определены максимальные технически возможные темпы роста дохода и модель, учитывая (1), (2) принимает следующий вид:

(7)

Представив (7) в стандартном виде, получим:

. (8)

Выражение (8) – однородное линейное дифференциальное уравнение, решение которого имеет вид:

. (9)

Непрерывный темп прироста равен . Это максимально возможный (технологический) темп прироста дохода в рассматриваемой экономической системе.

2) Если , то получаем:

(10)

или, сделав перестановку членов уравнения, получим:

. (11)

Это - неоднородное линейное дифференциальное уравнение и его частное решение имеет вид:. Складывая частное решение уравнения (11) с общим решением однородного уравнения , получаем его общее решение:

. (12)

Подставив в (12) , получим , следовательно, общее решение уравнения (11) будет следующим:

. (13)

Непрерывный темп прироста дохода для уравнения (11) получим из следующего выражения:

. (14)

Следовательно, непрерывный темп прироста дохода равен:

. (15)

Он составляет: в начальный момент времени, при .С ростом времени растет доход Y(t), а потребление С(t) = const. В связи с этим v(t) возрастая, стремится к при , так как доход растёт, а постоянный объём потребления составляет всё меньшую его долю. Величина в скобках:

(16)

является нормой накопления в момент времени . Темп прироста дохода пропорционален этой величине, как и показателю приростной капиталоотдачи b.

При прочих равных условиях рост нормы накопления пропорционально увеличивает темпы прироста дохода. Необходимо также отметить, что при C(0) = Y(0) непрерывный темп прироста дохода равен нулю и, следовательно, роста дохода вообще не происходит.

3) При исследовании варианта модели с показателем потребления , растущим с постоянным темпом , т.е. дифференциальное уравнение модели принимает вид:

(17)

Приведём данное уравнение к стандартному виду:

. (18)

Это - неоднородное линейное дифференциальное уравнение. Решение этого уравнения имеет вид:

. (19)

Согласно экономическому смыслу ясно, что темп прироста потребления не должен быть больше максимально возможного общего темпа прироста . Иначе потребление будет занимать всё большую часть дохода, что сведёт к нулю сначала инвестиции, а затем и доход. Это также видно из формулы (19) решения модели. Действительно, если (например, ),то коэффициент отрицателен, а растёт быстрее, чем , следовательно, отрицательное второе слагаемое через некоторое время перевесит первое.

При , вид решения в рассматриваемой модели во многом зависит от соотношения между показателями и .Величина a - это норма накопления в начальный момент времени . Значение a определяется по формуле (16):

(20)

Если , то темп прироста дохода равен темпу прироста потребления. Норма накопления в этом случае постоянна во времени и равна , а темп прироста дохода пропорционален норме накопления и обратно пропорционален приростной капиталоёмкости. Именно эта модификация модели экономического роста, в которой постоянна норма накопления, называется моделью Харрода-Домара.

Если в рассматриваемой модели , то темп прироста потребления оказывается слишком высоким для экономики. В этом случае коэффициент в формуле (19) отрицателен, так как , и по той же причине первое отрицательное слагаемое с ростом времени превысит второе. Это приводит к тому, что темп прироста дохода падает и становится с некоторого момента отрицательным, а через некоторое время и сам доход становится равным нулю. После этого модель теряет экономический смысл.

3) случай, когда Y(0) = C(0).

При этом, согласно формуле (20), величина a₀ = 0. Следовательно, для модели Харрода-Домара r также будет равно нулю. В формуле (19) первое слагаемое станет равным нулю, а второе слагаемое будет равно Y(0) для всех значений t, т.е. Y(t) = Y(0) = const. Если же увеличивать величину темпа прироста потребления r, используя формулу:

, (21)

где k – увеличивающий коэффициент, то при сохранении условия:Y(0) = C(0) имеем тот же результат.

Таким образом, для получения самоподдерживающегося роста дохода в модели Харрода-Домара необходимо в первоначальный момент иметь превышение дохода над потреблением и чем выше это превышение, тем выше темп прироста дохода.

Исходные данные приведены в таблице 1.

Таблица 1

B	Y(0)	C(0) 1 случай	C(0) 2 случай	C(0) 3 случай

АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ и экономический анализ полученных результатов

1. В качестве изучаемой системы берется экономика условного объекта.

2. Используя табличный редактор Excel, рассчитываем по формуле (9) зависимость Y = f₁(t) при отсутствии потребления, т.е. C(t) = 0. Значения коэффициента приростной капиталоемкости В и Y(0) приведены в таблице исходных данных. Величину t задаём в пределах от 0 до 20 лет с интервалом Dt = 1 году. Полученные результаты записаны в таблице 2.

Таблица 2

Y(t) = f1(t)
359,5271
461,642
592,76
761,1189
977,296
1254,873
1611,289
2068,936
2656,566
3411,098
4379,937
5623,95
7221,295
9272,327
11905,9
15287,48
19629,52
25204,8
32363,6
41555,68

Затем, применив "Мастер диаграмм" табличного редактора Excel, строим график зависимости Y = f₁(t) (Приложение 1).

По графику Y = f₁(t) можно сделать вывод, что в этом случае все ресурсы направляются на инвестиции, в результате чего могут быть определены максимальные технически возможные темпы роста дохода. Непрерывный темп прироста равен (1/4). Это максимально возможный (технологический) темп прироста дохода в рассматриваемой экономической системе.

3. Аналогично производим расчеты значений трех функций Y = f(t) по формуле (13) для трех случаев C(0) при постоянной функции потребления, т.е. C(t) = C(0) = const. Численные значения C(0) для каждого случая берём из таблицы 1.

Полученные результаты записаны в таблице 3.

Таблица 3

Y(t) = f2(t)	Y(t) = f3(t)	Y(t) = f4(t)
331,1246	316,9233
396,7698	364,33377
481,06	425,21
589,2907	503,37664
728,2617	603,74458
906,704	732,61958
1135,828	898,09835
1430,03	1110,5773
1807,792	1383,4057
2292,849	1733,7242
2915,674	2183,5421
3715,397	2761,1198
4742,261	3502,7442
6060,781	4455,0088
7753,795	5677,7407
9927,667	7247,7595
12718,97	9263,7036
16303,08	11852,227
20905,17	15175,957
26814,37	19443,711

Применив "Мастер диаграмм" табличного редактора Excel, строим на одной диаграмме графики зависимостей: Y = f₂(t), Y = f₃(t), Y = f₄(t), С = f₅(t), С = f₆(t), С = f₇(t) (Приложение 2).

По графикам Y = f₂(t) и С = f₅(t), Y = f₃(t) и С = f₆(t) можно сделать вывод, что с ростом времени растет доход Y(t), а потребление C(t) = const. В связи с этим непрерывный темп прироста дохода v(t) возрастая, стремится к при , так как доход растёт, а постоянный объём потребления составляет всё меньшую его долю. Также можно отметить, что графики Y = f₂(t), Y = f₃(t), С = f₅(t), С = f₆(t) ниже Y = f₁(t) на величину потребления.

Необходимо также отметить, что при C(0) = Y(0) непрерывный темп прироста дохода равен нулю и, следовательно, роста дохода вообще не происходит.

4. Для функции потребления, растущей с постоянным темпом:

(22)

рассчитываем значения темпов роста r для трех различных значений C(0) по формуле:

(23)

Величины B, Y(0) и C(0) выбираются из таблицы исходных данных.

Получаем:

r1	r2	r3
0,16	0,12

5. Для каждого полученного значения r рассчитываем значения С = f₈(t), С = f₉(t), С = f₁₀(t), используя формулу (22), и значения Y = f₁₁(t), Y = f₁₂(t), Y = f₁₃(t), используя формулу (19). Значения t задаём в пределах от 0 до 30 лет с интервалом Dt = 1 году.

Получаем:

Таблица 4

C = f8(t)	C = f9(t)	C = f10(t)	Y = f11(t)	Y = f12(t)	Y = f13(t)
117,4349	168,4614		328,8178	314,4613
137,9096	189,195		386,147	353,164
161,9541	212,4804		453,4715	396,63
190,1907	238,6316		532,534	445,4457
223,3503	268,0015		625,381	500,2694
262,2913	300,986		734,4158	561,8406
308,0217	338,0302		862,4607	630,9897
361,7251	379,6337		1012,83	708,6495
424,7916	426,3575		1189,417	795,8673
498,8538	478,8319		1396,791	893,8195
585,8286	537,7646		1640,32	1003,827
687,9675	603,9506		1926,309	1127,374
807,9142	678,2825		2262,16	1266,127
948,7736	761,7629		2656,566	1421,957
1114,192	855,5176		3119,737	1596,966
1308,45	960,8114		3663,661	1793,515
1536,578	1079,064		4302,418	2014,253
1804,479	1211,871		5052,542	2262,16
2119,089	1361,024		5933,45	2540,578
2488,551	1528,533		6967,943	2853,262
2922,428	1716,659		8182,799	3204,43
3431,952	1927,939		9609,466	3598,819
4030,311	2165,222		11284,87	4041,748
4732,993	2431,709		13252,38	4539,19
5558,187	2730,994		15562,92	5097,856
6527,254	3067,114		18276,31	5725,28
7665,277	3444,603		21462,77	6429,925
9001,713	3868,551		25204,8	7221,295
10571,16	4344,677		29599,24	8110,064
12414,23	4879,403		34759,85	9108,219

С помощью "Мастера диаграмм" табличного редактора Excel, строим на одной диаграмме графики зависимостей: С = f₈(t), С = f₉(t), С = f₁₀(t), Y = f₁₁(t), Y = f₁₂(t), Y = f₁₃(t) (Приложение 3).

По графикам С = f₈(t) и Y = f₁₁(t) [С = f₉(t) и Y = f₁₂(t)], когда = 0,07 [=0,12], причем r < 1/B (0,16 < 0,25 [0,12 < 0,25]), можно сделать вывод, что темп прироста дохода равен темпу прироста потребления. Норма накопления в этом случае постоянна во времени и равна , а темп прироста дохода пропорционален норме накопления и обратно пропорционален приростной капиталоёмкости. Именно эта модификация модели экономического роста, в которой постоянна норма накопления, называется моделью Харрода-Домара.

Из графиков С = f₁₀(t) и Y = f₁₃(t) следует,что когда Y(0) = C(0), согласно формуле (20), величина a₀ = 0. Следовательно, для модели Харрода-Домара r также будет равно нулю. В формуле (19) первое слагаемое станет равным нулю, а второе слагаемое будет равно Y(0) для всех значений t, т.е. Y(t) = Y(0) = const.

6. Рассчитываем значения темпов роста функции C(t) для трех различных значений C(0) по формуле:

. (24)

Получаем:

r1	r2	r3
0,2	0,15

7. Используя формулы (22) и (19), для каждого значения найденного r, рассчитываем зависимости: С = f₁₄(t), С = f₁₅(t), С = f₁₆(t), Y = f₁₇(t), Y = f₁₈(t), Y = f₁₉(t) и строим на одной диаграмме графики этих функций (Приложение 4). Полученные результаты занесены в таблицу 5.

Таблица 5

C = f14(t)	C = f15(t)	C = f16(t)	Y = f17(t)	Y = f18(t)	Y = f19(t)
122,2494	173,4214		328,2019	313,8159
149,4491	200,4999		383,1248	350,0989
182,7006	231,8065		445,1267	388,4352
223,3503	268,0015		514,3227	428,1195
273,0444	309,848		590,4384	468,0452
333,7951	358,2285		672,6063	506,5583
408,0624	414,1633		759,0816	541,2667
498,8538	478,8319		846,8537	568,7874
609,8457	553,598		931,1148	584,4175
745,5325	640,0384		1004,54	581,7026
911,4089	739,9758		1056,315	551,8746
1114,192	855,5176		1070,835	483,1196
1362,092	989,1006		1025,956	359,6261
1665,149	1143,541		890,6757	160,349
2035,635	1322,097		622,0389	-142,592
2488,551	1528,533		161,0472	-585,99
3042,238	1767,203		-572,755	-1218,23
3719,117	2043,139		-1688,42	-2102,78
4546,598	2362,16		-3332,99	-3322,66
5558,187	2730,994		-5703,88	-4986,22
6794,85	3157,419		-9065,04	-7234,69
8306,661	3650,428		-13768,2	-10251,7
10154,84	4220,416		-20280,8	-14275,9
12414,23	4879,403		-29222,1	-19616,8
15176,32	5641,287		-41410,8	-26675,4
18552,96	6522,133		-57926,5	-35971
22680,87	7540,517		-80190,8	-48175,2
27727,23	8717,914		-110072	-64156,1
33896,36	10079,15		-150021	-85034,8
41438,09	11652,94		-203249	-112258

По графикам С = f₁₄(t) и Y = f₁₇(t) [С = f₁₅(t) и Y = f₁₈(t)], когда (0,25 > 0,2 > 0,16 [0,25 > 0,15 > 0,12]), можно сделать вывод, что темп прироста потребления в этом случае оказывается слишком высоким для экономики. В этом случае коэффициент в формуле (19) отрицателен, так как , и по той же причине первое отрицательное слагаемое с ростом времени превысит второе. Это приводит к тому, что темп прироста дохода падает и становится с некоторого момента отрицательным, а через некоторое время и сам доход становится равным нулю. После этого модель теряет экономический смысл.

Из графиков С = f₁₆(t) и Y = f₁₉(t) видно, когда Y(0) = C(0), если увеличивать величину темпа прироста потребления r, используя формулу (21), то согласно формуле (20), величина a₀ = 0. Следовательно, для модели Харрода-Домара r также будет равно нулю. В формуле (19) первое слагаемое станет равным нулю, а второе слагаемое будет равно Y(0) для всех значений t, т.е. Y(t) = Y(0) = const.

8. Для случая, когда , т.е. 0,5, рассчитываем по формуле (22) значения С = f₂₀(t), С = f₂₁(t), С = f₂₂(t) и по формуле (19) значения Y = f₂₃(t), Y = f₂₄(t), Y = f₂₅(t), t задаём в пределах от 0 до 30 лет с интервалом Dt = 1 году. В таблице 6 приведены полученные значения:

Таблица №6

C = f20(t)	C = f21(t)	C = f22(t)	Y = f23(t)	Y = f24(t)	Y = f25(t)
164,87213	247,30819	461,64196	323,057531	304,822739	257,412278
271,82818	407,74227	761,11891	354,6859	301,207872	162,165
448,16891	672,25336	1254,8729	356,291099	238,056647	-69,35293
738,90561	1108,3584	2068,9357	294,041485	60,5027714	-546,69788
1218,2494	1827,3741	3411,0983	108,080928	-326,52662	-1456,5063
2008,5537	3012,8305	5623,9503	-305,51185	-1085,7042	-3114,2045
3311,5452	4967,3178	9272,3265	-1124,7962	-2492,8386	-6049,749
5459,815	8189,7225	15287,482	-2651,9737	-5012,4284	-11149,611
9001,7131	13502,57	25204,797	-5396,3735	-9422,8433	-19891,665
14841,316	22261,974	41555,685	-10211,968	-17023,501	-34733,488
24469,193	36703,79	68513,741	-18524,993	-29977,458	-59753,867
40342,879	60514,319	112960,06	-32710,375	-51877,538	-101712,16
66514,163	99771,245	186239,66	-56713,834	-88681,399	-171797,07
109663,32	164494,97	307057,28	-97079,444	-150255,33	-288512,63
180804,24	271206,36	506251,88	-164646,23	-252922,3	-482440,07
298095,8	447143,7	834668,24	-277348,5	-423666,49	-804093,27
491476,88	737215,33	1376135,3	-464836,83	-707070	-1336876,2
810308,39	1215462,6	2268863,5	-776101,88	-1176755,2	-2218453,9
1335972,7		3740723,5	-1292050,7	-1954257,8	-3675996,3
2202646,6	3303969,9	6167410,4	-2146249,6	-3240152,2	-6084299,1
3631550,3	5447325,4		-3559135,1	-5365381,9	-10061624
5987414,2	8981121,3		-5894431,2	-8875903,7	-16627732
9871577,1			-9752184,7	-14672264	-27464469
			-16122176	-24239744	-45345421
			-26636884	-40027847	-74844353
			-43988585	-66075998	-123503270
			-72617095	-109045210	-203758311
			-119843708	-179919090	-336115085
			-197740847	-296808404	-554384055
			-326214681	-489575148	-914312361

Применив "Мастер диаграмм" табличного редактора Excel, строим на одной диаграмме графики этих зависимостей (Приложение 5).

По графикам С = f₂₀(t) и Y = f₂₃(t), С = f₂₁(t) и Y = f₂₄(t), С = f₂₂(t) и Y = f₂₅(t) видно, когда (в нашем случае ), то потребление будет занимать всё большую часть дохода, что сведёт к нулю сначала инвестиции, а затем и доход. Это также видно из формулы (19) решения модели. Действительно, если ,то коэффициент отрицателен, а растёт быстрее, чем , следовательно, отрицательное второе слагаемое через некоторое время перевесит первое.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Относительная простота модели позволяет более глубоко изучить взаимосвязь динамики инвестиций и роста выпуска, получить точные формулы траекторий рассматриваемых параметров при сделанных предпосылках.

Исследовав динамики дохода при различной динамике потребления для данной модели, стало ясно, что для получения самоподдерживающегося роста дохода необходимо в первоначальный момент иметь превышение дохода над потреблением и чем выше это превышение, тем выше темп прироста дохода.

Список использованной литературы

1. В.Ф.Пучков методическое пособие «Математические модели макроэкономики» - Гатчина :изд-во ЛОИЭФ, 2005.

2. Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе.

3. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1999. – XIV, 402 с.

4. Елисеева И.И. «Эконометрика»: Учебник – М.: Финансы и статистика, 2001. – 344 с.: ил.

5. Курицкий, Поиск оптимальных решений в EXCEL – М., 2000, 245 с.

6. Политова И.Д. Дисперсионный и корреляционный анализ в эконометрике. Учебное пособие для экономических факультетов. М.: Дело, 1998. – 248 с.

7. Пучков В.Ф. «Эконометрика»: Уч. пособие. Ч. 1. – Гатчина: Изд–во ЛОИЭФ, 2005. – 51 с.

8. Экономико-математические методы и прикладные модели: Уч. пособие / В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

ПРИЛОЖЕНИЕ 5