Задача о раскрое материалов

На раскрой (распил, обработку) поступает материал одного образца в количестве A единиц. Требуется изготовить из него m разных комплектующих изделий в количествах, пропорциональных числам b_i (i = 1,…, m) – условие комплектности.

Каждая единица материала может быть раскроена n различными способами, причем использование j-го способа (j = 1,…, n) дает a_ij единиц i-го изделия (i = 1,…, m).

Необходимо найти план раскроя, обеспечивающее максимальное количество комплектов.

Обозначим x_j – число единиц материала, раскраиваемых j-ым способом,

x – число изготавливаемых комплектов изделий.

Так как общее количество материала равно сумме его единиц, раскраиваемых различными способами, то x_j = A.

Требование комплектности выразится уравнениями

x_jּa_ij = b_iּx (i = 1,…, m)

Кроме того x_j ≥ 0 (j = 1,…, n).

Практический блок

Пример

Составить математическую модель задачи линейного программирования и найти решение геометрическим способом.

1. По данным, приведенным в таблице 2.2.3 составить систему математических зависимостей (неравенств) и целевую функцию.

2. Изобразить геометрическую интерпретацию задачи и найти оптимальное решение.

3. Провести аналитическую проверку и определить значение целевой функции.

4. Определить избытки ресурсов.

5. Вычислить объективно обусловленные оценки.

6. Исследовать устойчивость решения.

Таблица 2.2.3 – Матрица удельных нормативов.

Продукция	Сырье	Прибыль на одно изделие
Рес. 1	Рес. 2	Рес. 3
I. Изделие 1	2.4	8.0	6.2	50 ( )
II. Изделие 2	12.2	5.4	2.2	40 ( )
Наличие ресурсов				–

Решение:

1. Обозначим:

– объем изделия 1;

– объем изделия 2.

Опишем модель с помощью системы неравенств линейных уравнений:

;

;

;

;

– целевая функция (критерий оптимальности).