Аналітичне вирівнювання рядів динаміки

Аналітичне вирівнювання є більш досконалим способом дослідження часових рядів, який дає можливість не тільки гарантовано (хоча інколи й не дуже надійно) виявляти вид і характер тенденції, але й робити прогноз розвитку явища на наступні часові моменти або інтервали. Метод застосовний для рівномірних інтервальних рядів і для моментних рядів з довільними проміжками δі часу між моментами.

Суть методу полягає в тому, що кожний фактичний рівень уі ознаки Y розглядається як сума двох доданків: Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru , де Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru – систематична складова, яка відображає загальну тенденцію і виражається рівнянням Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru =f(t); Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru – випадкова складова, яка відображає флуктуації рівнів ряду і завуальовує загальну тенденцію.

Таким чином, аналітичне вирівнювання динамічного ряду означає побудову функції Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru =f(t), яка аналітично виражає залежність систематичної складової значень ознаки Y від часу t. При цьому для інтервальних часових рядів аргумент t звичайно являє собою порядковий номер інтервалу. Нумерацію будемо починати з нуля.

Такі функції і їх графіки називають трендовими кривими. За допомогою трендової кривої завжди можна встановити вид і характер тенденції розвитку явища, а також зробити прогноз на наступні часові інтервали або моменти.

Процедура побудови трендової кривої складається з двох етапів: 1) вибір виду функції f(t); 2) обчислення параметрів вибраної функції.

З формально-математичної точки зору побудова трендової кривої цілком аналогічна побудові рівняння регресії, що детально розглядалось у п. 2.4 л. р. № 3, за винятком двох моментів:

1. Якщо ряд є рівномірним і неперервним, то системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3.9), (3.10) можна суттєво спростити. Для цього необхідно: а) усі часові моменти ti моментного ряду пронумерувати, починаючи з нуля, і надалі моменти ti ототожнювати з їх номерами (як і часові інтервали для інтервального ряду): ti=і, і= Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru ; б) перейти до умовних номерів Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru , перенумерувавши часові інтервали або моменти так, щоб точка відліку опинилась у середині часового ряду. Схематично це може виглядати, наприклад, так:

– для непарного числа (п+1) рівнів ряду: Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru =ti – п/2 (n=2l, Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru ),

Фактичні номери ti
Умовні номери Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru –2 –1

– для парного числа (п+1) рівнів ряду: Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru =2ti – п (n=2l+1, Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru ),

Фактичні номери ti
Умовні номери Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru –5 –3 –1

Очевидно, що Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru , за рахунок чого і спрощуються системи рівнянь. Зокрема, система (3.9) для умовних параметрів а1і b1 набуває вигляду

Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru (4.19)

звідки

Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru , Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru . (4.20)

Система (3.10) для умовних параметрів p1, q1i r1 набуває вигляду

Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru (4.21)

звідки Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru , що збігається з відповідною формулою (4.20), а параметри p1 i r1 знаходяться як розв’язок системи двох лінійних рівнянь, що складається з першого і третього рівнянь системи (4.21).

Після розв’язання систем (4.19) і (4.21) одержуємо лінійну та квадратичну (або параболічну) моделі тренду відповідно

Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru та Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru , (4.22)

як функції умовного часу Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru .

Для переходу до фактичного часу t необхідно в рівняннях (4.22) замість Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru покласти: Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru =t–l для непарного числа рівнів ряду, де l=n/2; Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru =2t–п для парного числа рівнів ряду. В результаті одержимо лінійну та квадратичну моделі тренду відповідно

Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru та Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru , (4.23)

де a=a1– b1· l, b=b1, p=p1– q1· l+r1·l2, q=q1– 2r1· l, r=r1 для непарного числа (n+1); a=a1– b1· п, b=2b1, p=p1+ q1· п+r1· n2, q=2q1– 4r1· n, r=4r1 для парного числа (n+1).

2. Регресійна дисперсія обчислюється за формулою

Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru , (4.24)

де Аналітичне вирівнювання рядів динаміки - student2.ru – фактичні (вирівняні) значення рівнів ряду; (п+1) – число рівнів ряду; п – номер останнього рівня ряду, якщо нумерація починається з нуля; т – число параметрів трендової кривої.

Наши рекомендации