Аналитическое моделирование

Основные подходы к созданию моделей. Виды моделирования

Традиционно сложились два подхода в моделировании: физическое моделирование и математическое моделирование.

Физическое моделирование

При физическом моделировании исследование объектов производится на физических моделях. При этом изучаемый процесс (явление) воспроизводится с сохранением его физической природы или используется другое, но аналогичное физическое явление.

Необходимыми условиями при физическом моделировании являются: сохранение геометрического подобия оригинала и модели и соответствующих масштабов для параметров исследуемого процесса (явления). Для этого натурные значения соответствующих параметров умножают на постоянную величину, называемую масштабом моделирования, или коэффициентом подобия, который для основных параметров является независимым, а для производных параметров – зависит от основных. Условием осуществления подобия является равенство критериев подобия – безразмерных величин, содержащих комбинации значений физических параметров, характеризующих исследуемый процесс в натуре и на модели.

Физическое моделирование целесообразно применять при исследовании таких сложных систем, для которых либо невозможно, либо очень сложно дать достаточно точное математическое описание их функционирования, а экспериментальное получение необходимых для решения требуемых задач характеристик на реальных объектах в производственных условиях невозможно без нарушения эксплуатационных режимов технологических процессов и оборудования, которое в ряде случаев недопустимо (например, при работе на граничных режимах в условия больших возмущений, отработке схем аварийной защиты и т.д.).

Физическое моделирование должно обеспечивать возможность непосредственного подсоединения к физической модели реальной измерительной и регулирующей аппаратуры без специальных преобразующих устройств, вносящих дополнительные погрешности и искажения.

Физическое моделирование менее универсально, чем математическое, однако в ряде случаев оно является достаточно эффективным (например, при исследовании нестационарных режимов функционирования сложных систем, при исследовании систем в аэродинамике, архитектуре, авиа- и кораблестроительстве).

В данной дисциплине, учитывая особенности исследуемых объектов (экономических процессов), мы в основном будем изучать модели, базирующиеся на математическом подходе, который в свою очередь имеет два направления – аналитическое и имитационное.

3.2 Математическое (аналитическое и имитационное) моделирование.

Математическая модель – это модель объекта – оригинала (системы, процесса, явления), представленная в виде некоторых математических соотношений. Математическое моделирование – это процесс, включающий три важнейших этапа:

- этап построения модели;

- этап проверки модели;

- этап исследования системы (объекта, процесса, явления) на модели.

Этап построения модели, как правило, реализуется посредством применения общих законов естествознания и конкретных наук. Остальные этапы зависят от того, какая разновидность математического моделирования используется – аналитическое или имитационное моделирование.

Аналитическое моделирование

Исторически первым сложился аналитический подход к исследованию систем. При использовании аналитического подхода ряд свойств одномерной или многомерной, односвязной или многосвязной системы (или какой-либо ее части) отображается в одномерном или n-мерном пространстве одной единственной точкой, совершающей какое-либо движение. Это отображение осуществляется либо с помощью функции f(s), либо посредством оператора (функционала) F(S).

Например, в простейшем случае процесс, протекающий в системе, описывается квадратичной функцией (рис.1).

	Модель системы y = x2

X Y

Рисунок 1.1 -. Обобщенный вид аналитической модели системы

Для любой аналитической модели характерна сложность ее получения. Вместе с тем, после получения она позволяет вычислять полный набор искомых значений выходной величины при полном наборе изменений входной величины.

Так, для системы, изображенной на рисунке1.1 при изменении Х от 0 до 10 с шагом единица достаточно просто и однозначно получаются значения выходной величины, соответственно 0, 1, 4, 9, ..., 100.

При использовании данного подхода можно также две или более систем отобразить точками и рассматривать взаимодействие этих точек, каждая из которых совершает какое-либо движение, имеет свое поведение. Поведение точек и их взаимодействие описываются аналитическими законами или закономерностями.

Основу понятийного (терминологического) аппарата составляют понятия классической математики и некоторых новых ее разделов (величина, функция, уравнение, система уравнений и т.п.).

Аналитические методы применяются в тех случаях, когда свойства системы можно отобразить с помощью детерминированных величин или зависимостей, т.е., когда знания о процессах и событиях в некотором интервале времени позволяют полностью определить поведение их вне этого интервала. Аналитическое моделирование широко используется при решении задач движения и устойчивости, оптимального размещения, распределения работ и ресурсов, выбора наилучшего (наикратчайшего) пути, оптимальной стратегии поведения в конфликтных ситуациях и т.п.

При практическом применении аналитических представлений для отображения сложных систем следует иметь в виду, что они требуют установки всех детерминированных взаимосвязей между учитываемыми компонентами и целями системы в виде аналитических зависимостей. Для сложных многокомпонентных, многокритериальных систем получить такие зависимости чрезвычайно сложно, а иногда и невозможно. Более того, если даже это и удается при введении значительных ограничений и допущений, то практически невозможно доказать правомерность применения этих аналитических выражений, т.е. адекватность модели исследуемой системе.

Примером аналитической модели является модель вычисления суммы налоговых поступлений в бюджет за моделируемый период, описываемая математической зависимостью:

BD_t = , (1.3)

где BD_t – сумма поступивших в бюджет средств от начала моделирования к концу года t, руб;

t – время, год;

t_f – финальный год моделирования;

t_b – начальный год моделирования;

PRF_t – доналоговая прибыль, полученная предприятием за год t, руб/год;

TXRT – ставка налога на прибыль.

Моделирование такого процесса не представляет сложностей и может быть реализовано в табличном процессе Excel.

Рассмотренная задача является детерминированной, т.к. все данные, входящие в формулу (1.3) есть известный результат прошедшего этапа. Значительно сложнее выглядят задачи оценки будущих экономических процессов (задачи планирования, прогнозирования), протекающих в условиях рыночной конкуренции, а, следовательно, описываемых случайными функциями.

3.2.2 Имитационное математическое моделирование экономических процессов

Учитывая это, в настоящее время, наряду с построением аналитичес­ких моделей все больше внимания уделяется задачам оценки харак­теристик сложных и больших систем на основе имитационных моделей. Имитационная модель (от латинского imitatio- копирование, подражание) воспроизводит в подробностях тот или иной процесс, в частности поведение какой-либо системы во времени), декомпозируя его на элементарные составляющие, выявляя скрытые особенности, анализируя возможные последствия.

Согласно Р. Шеннону имитационное моделирование есть «процесс конструирования модели реальной системы и постановки экспериментов на ней с целью понимания поведения системы либо оценки (в рамках ограничений, накладываемых некоторым критерием или совокупностью критериев) различных стратегий, обеспечивающих функционирование данной системы» [Шеннон Р. Имитационное моделирование систем. - Искусство и наука. Пер.с англ. М.:Мир, 1978].

Хотя имитационное моделирование было известно до создания первых ЭВМ, своему сегодняшнему развитию оно обязано именно средствам ВТ, способным провести численный эксперимент, накопить статистические данные, оперативно оценить ситуацию. Это приводит и к существенному изменению процесса моделирования. Теперь после построения математической модели ее методами вычислительной математики преобразуют в соответствующий алгоритм, выбирают ту или иную систему моделирования (например, систему программирования), и разрабатывают программу для его реализации на ЭВМ. После проведения ряда расчетов на ЭВМ их результаты сравнивают с результатами измерений исследуемого процесса (явления, объекта, системы), которые удалось получить на реальном объекте. Результаты сравнения обрабатывают, рассчитывают и вносят поправки в модель с целью получения более точной модели. Этот замкнутый процесс повторяется до тех пор, пока не достигается требуемая точность совпадения реальных и имитационных данных. Уточнение параметров каждой ступени может осуществляться и внутри общего цикла. Описанный процесс схематически представлен на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 - Схема математического имитационного моделирования

Перспективность имитационного моделирования, как метода исследования характеристик процесса функционирования сложных систем, возрастает с повышением быстродействия и оперативной памяти ЭВМ, с раз­витием математического обеспечения, совершенствованием банков данных и периферийных устройств для организации диалоговых систем моделирования.

Это, в свою очередь, способствует появле­нию новых «чисто машинных» методов решения задач исследова­ния сложных и больших систем на основе организации имитационных экс­периментов с их моделями. Причем ориентация на автоматизиро­ванные рабочие места на базе персональных ЭВМ для реализации экспериментов с имитационными моделями сложных и больших систем позво­ляет проводить не только анализ их характеристик, но и решать задачи структурного, алгоритмического и параметрического син­теза таких систем при заданных критериях оценки эффективности и ограничениях.

Вместе с тем, при решении задач анализа и синтеза сложных и больших систем исследователи все чаще сталкиваются с проблемами необходимости получения результатов в условиях риска, частичной или даже полной неопределенности. Основу моделирования в таких условиях составляет отображение процессов и явлений с помощью случайных (стохастических) событий и их поведений, которые описываются соответствующими вероятностными (статистическими) характеристиками и статистическими закономерностями (стохастические процессы – такие случайные процессы, которые жестко связаны с заранее заданными, определенными причинами).

Так в модели (1.3) параметр PRF_t при прогнозировании налоговых поступлений может быть задан не числом, а некоторым интервалом (колебаниями прибыли в разные ранее реализованные годы), внутри которого параметр может принимать любое значение с вероятностью, распределенной по тому или иному закону.

В связи с этим в классе имитационных моделей выделился подкласс имитационных статистических моделей. Статистические отображения системы в общем случае можно представить как бы в виде «размытой» точки в n-мерном пространстве, в которую переводит систему (ее учитываемые свойства) оператор F(S). «Размытую» точку следует понимать, как некоторую область, характеризующую движение системы (ее поведение). При этом границы области заданы с некоторой вероятностью («размыты») и движение точки определяется некоторой случайной функцией. Фиксируя все параметры, кроме одного, можно получит срез по линии, физический смысл которого – результат воздействия данного параметра на поведение системы, что можно описать статистическим распределением по данному параметру. Аналогично можно получить двумерную, трехмерную и т.д. картины статистического распределения.

На статистических отображениях базируются: теория математической статистики, теория статистических испытаний или статистического имитационного моделирования, частным случаем которой является метод Монте-Карло, теория выдвижения и проверки статистических гипотез, частным случаем которой является байесовский подход к исследованию процессов передачи информации при общении, обучении и других ситуациях, характерных для сложных развивающихся систем.

Статистические отображения позволили расширить области применения ряда дисциплин, возникших на базе аналитических представлений. Так возникли статистическая теория распознавания образов, стохастическое программирование, новые разделы теории игр и др. На базе статистических представлений возникли и развиваются такие прикладные направления, как теория массового обслуживания, теория статистического анализа и т.д.

Расширение возможностей отображения сложных систем и процессов по сравнению с аналитическими методами можно объяснить тем, что при применении статистических представлений процесс постановки задачи как бы частично заменяется статистическими исследованиями, позволяющими, не выявляя все детерминированные связи между изучаемыми событиями или учитываемыми компонентами сложной системы, на основе выборочного исследования (исследования представительной выборки) получить статистические закономерности и распространить их на поведение системы в целом.

Важным достоинством имитационного моделирования является также возможность изменения (уменьшения или увеличения) масштаба времени проведения экспериментов для тех реальных процессов, у которых он измеряется годами или наоборот нанасекундами.

Достигнутые успехи в использовании средств вычислительной техники для целей моделирования часто создают иллюзию, что применение современной ЭВМ гарантирует возможность исследо­вания системы любой сложности. При этом игнорируется тот факт, что в основу любой модели положено трудоемкое по затратам времени и материальных ресурсов предварительное изучение явле­ний, имеющих место в объекте-оригинале. И от того, насколько детально изучены реальные явления, насколько правильно проведе­на их формализация и алгоритмизация, зависит в конечном итоге успех моделирования конкретного объекта.

В связи с этим у имитационного моделирования, несмотря на все его явные преимущества, имеется целый ряд проблем и недостатков.

1. Поскольку имитационное моделирование представляет собой эксперимент, важное значение здесь имеет применение методов планирования экспериментов. Основные проблемы, возникающие при этом сводятся к следующим:

а) обеспечение стохастической сходимости, т.е. поиск методов ускорения сходимости выборочных средних, не связанных с увеличением объема выборки;

б)стремление уменьшить количество различных комбинаций, влияющих на систему факторов их уровней, а следовательно, и уменьшить объем экспериментов без уменьшения количества получаемой информации;

в) выбор плана эксперимента, наилучшим образом соответствующего его целям, формулировка которых в решающей степени зависит от искусства экспериментатора, глубины понимания им существа процессов, происходящих в системе;

г)преодоление феномена «многокомпонентности реакции», поскольку для сложной системы трудно, а иногда и невозможно выявить единственную главную выходную переменную, что фактически сводит на нет достоинства методов планирования экспериментов, в основном разработанных для случая однокомпонентных реакций.

2. Не всегда возможно получение статистических закономерностей и далеко не всегда может быть определена представительная (репрезентативная) выборка, доказана правомерность применения статистических закономерностей.

3. В ряде случаев для получения статистических закономерностей требуются недопустимо большие затраты времени, что также ограничивает возможности применения имитационного моделирования.

4. Ограниченная точность моделирования и невозможность ее априорной оценки (косвенную оценку точности может дать только анализ чувствительности модели к изменениям отдельных параметров исследуемых систем или явлений).

5. Отсутствие общности результатов, предоставляемых в распоряжение исследователя или разработчика (каждый цикл расчетов позволяет определить реакцию модели на конкретное «возмущение», и для полноты картины необходимы многократные обращения к модели с соответствующими затратами физических ресурсов и времени.

6. Высокая сложность разработки алгоритма и программы моделирования и соответственно высокая требуемая квалификация исследовательского состава.

7. Чрезвычайно высокая стоимость одной инсталляции разработанных пакетов прикладных программ для проведения имитационного моделирования.

Указанные достоинства и перечисленные недостатки аналитического и имитационного моделирования привели к тому, что значительная часть современных моделей сложных и больших систем строится на основе комбинирования методов аналитического и имитационного моделирования.

* * *

1. Особенности экономических моделей

Математические модели экономики — описания мате­матическими методами процессов, протекающих в экономических сиcтемах для установления количественных и логических зави­симостей между различными элементами эко­номических систем.

Первая количественная оценка национальной экономики дана лейб-медиком короля Людовика XV Франсуа Кенэ. В 1758 г. он опубликовал работу «Экономическая таблица».

Впервые четко и последовательно применение ММЭ для исследования конкуренции на рынке товаров изложил в изданной в 1838 г. книге О. Курно «Исследование математических принципов теории богатства» (модель доуполии, модель равновесия Курно).

За послед­ние 20—30 лет методы моделирования эконо­мики разрабатывались очень интенсивно. МЭ строятся для теоретических целей экономического анализа и для практических целей планирования, управ­ления и прогноза. В соответствии с этим их классифицируют по следующим типам:

- моде­ли планирования (в частности, оптимального);

- модели управления;

- модели прог­ноза;

- модели роста;

- модели равновесия.

Содержательная модель экономики объединяет такие основные экономические процессы как: производство, потребление, плани­рование, управление, финансы и т. д. Однако в существующих моделях почти всегда упор делается на какой-нибудь один процесс (например, процесс планирования), тогда как все остальные представляются в упрощенном виде. В за­висимости от того, какому экономическому процессу уделяют внимание при построении и анализе экономической модели, используют и соответствующий математический аппарат.

Модели планирова­ния опираются на системы алгебраических (как правило, линейных) уравнений и неравенств, ибо основная задача планирования представляет собой балансовую увязку производства и потребления (производственного и непроизводствен­ного), различных составных частей, что ма­тематически выражается в виде уравнений или неравенств.

Среди моделей планирования выделяют модели оптимального планирования ма­тематически представляют собой экстремальные за­дачи с ограничениями. Как правило, это за­дачи линейного и нелинейного программирования, их расши­рения или обобщения.

Модели управления базируются на различ­ного рода экстремальных задачах, в частности, задачах оптимального управления в смысле Понтрягина.

Модели роста порождают особого рода экстремальные задачи. Идея построения групп моделей экономики, которые основываются на экстремальных задачах, вытекает из тезиса о конструктивном харак­тере экономики, об управляемости экономических процессов.

В моделях прогноза используют аппа­рат корреляционного и регрессионного ана­лиза, вероятностные процессы и другие методы, применяемые при прогнозировании.

Модели равновесия базируются на теории игр.

Общей модели экономики, которая охватывала бы как частные случаи большинство рассматривавшихся мо­делей, не существует. Проблемы и задачи, ко­торые ставятся и решаются на моделях экономики, удобно иллюстрировать на какой-нибудь конкретной модели, например, на динамической модели Леон­тьева, приспособленной для теоретического и практического использования.

Данная модель при определенных условиях может рассматриваться и как модель роста и как модель равновесия. В настоящее время свойства оптимальных и равновесных планов изучены достаточно подробно. Важное свойство оптимальных и равновесных планов заключается в том, что оптимальному (равновесному) пути развития и только ему соответствует определенная система чисел, которые интерпрети­руются как цены. По этой системе цен можно проверить, является ли произвольно вычис­ленный план оптимальным или нет, легко узнать, можно ли с помощью какого-нибудь вновь изобретенного производственного способа улучшить оптимальный план или нет. В рамках теории математических моделей экономики возникла и развивается теория оптимальных цен.

Современные экономические системы, как правило, относятся к классу сложных и больших систем, этапы проектирования, внедрения, эксплуатации и эволюции которых в настоящее время невозможны без использования различных видов моделирования. На всех перечисленных этапах для сложных видов различных уровней необходимо учитывать следующие особенности: сложность структуры и стохастичность связей между элементами, неоднозначность алгоритмов поведения при различных условиях, большое количество параметров и переменных, неполноту и недетерминированность исходной информации, разнообразие и вероят­ностный характер воздействий внешней среды и т. д.

Ограниченность возможностей экспериментального исследования сложных и больших экономических си­стем делает актуальной разработку методики их моделирования, которая позволила бы в соответствующей форме представить про­цессы функционирования систем, описание протекания этих процес­сов с помощью математических моделей, получение результатов экспериментов с моделями по оценке характеристики исследуемых объектов. Причем на разных этапах создания и использования перечисленных систем для всего многообразия входящих в них подсистем применение метода моделирования преследует конкретные цели, а эффективность метода зависит от того, насколько грамотно используются возможности моделирования

Независимо от разбиения конкретной сложной системы на подсистемы при проектировании каждой из них необходимо выпол­нить внешнее проектирование (макропроектирование) и внутреннее проектирование (микропроектирование). Так как на этих стадиях разработчик преследует различные цели, то и используемые при этом методы и средства моделирования могут существенно отличаться.

На стадии макропроектирования должна быть разработана обобщенная модель процесса функционирования сложной системы, позволяющая разработчику получить ответы на вопросы об эффек­тивности различных стратегий управления объектом при его вза­имодействии с внешней средой. Стадию внешнего проектирования можно разбить на анализ и синтез. При анализе изучают объект управления, строят модель воздействий внешней среды, определяют критерии оценки эффективности, имеющиеся ресурсы, необходимые ограничения. Конечная цель стадии анализа — построение модели объекта управления для оценки его характеристик. При синтезе на этапе внешнего проектирования решаются задачи выбора стратегии управления на основе модели объекта моделирования, т. е. сложной системы.

На стадии микропроектирования разрабатывают модели с це­лью создания эффективных подсистем. Причем используемые мето­ды и средства моделирования зависят от того, какие конкретно обеспечивающие подсистемы разрабатываются: информационные, математические, технические, программные и т. д.

1.3.2 Особенности использования моделей. Выбор метода моделирования и необходимая детализация моделей существенно зависят от этапа разработки сложной системы. На этапах обследо­вания объекта управления, например промышленного предприятия, и разработки технического задания на проектирование автоматизи­рованной системы управления модели в основном носят описатель­ный характер и преследуют цель наиболее полно представить в ком­пактной форме информацию об объекте, необходимую разработ­чику системы.

На этапах разработки технического и рабочего проектов систем, модели отдельных подсистем детализируются, и моделирование служит для решения конкретных задач проектирования, т. е. выбора оптимального по определенному критерию при заданных ограниче­ниях варианта из множества допустимых. Поэтому в основном на этих этапах проектирования сложных систем используются модели для целей синтеза .

Целевое назначение моделирования на этапе внедрения и эксплу­атации сложных систем — это проигрывание возможных ситуаций для принятия обоснованных и перспективных решений по управле­нию объектом. Моделирование (имитацию) также широко применя­ют при обучении и тренировке персонала автоматизированных систем управления, вычислительных комплексов и сетей, инфор­мационных систем в различных сферах. В этом случае моделирова­ние носит характер деловых игр. Модель, реализуемая обычно на ЭВМ, воспроизводит поведение управляемого объекта и внешней среды, а люди в определенные моменты времени принимают реше­ния по управлению объектом.

Экономические сиcтемы являются системами, которые развиваются по мере эволюции объекта управления, появления новых средств управле­ния и т. д. Поэтому при прогнозировании развития сложных систем роль моделирования очень высока, так как это единственная воз­можность ответить на многочисленные вопросы о путях дальнейше­го эффективного развития системы и выбора из них оптимального.

3.2.3 Средства математического моделирования экономических процессов

Для реализации имитационного моделирования в настоящее время разработаны и широко используются алгоритмические языки SIMULATE, GPSS, СИМСКРИПТ, СИМУЛА, НЕДИС, АЛСИМ и др., а также языки и системы программирования, специализированные для имитационного моделирования и проектирования цифровых и аналоговых устройств программируемой логики: язык проектирования цифровых устройств и ПЛИС фирмы Altera – AHDL, язык VHDL, система проектирования MAX+plusII, специальные инструментальные наборы Toolbox и Blockset, пакеты расширения Fixed-Point, Digital Signal Processing (DSP), Simulink, Communication Toolbox и ряд других, включенных в состав ППП математической лаборатории MATLAB+Simulink. Для моделирования электронных устройств на уровне принципиальных, функциональных и структурных схем используются ППП Testsum, Electronics Workbench, LabVIEW, SysCalc, SystemVIEW, HyperSignal Block diagram, Dynamo, Pspice, OrCAD, TangoPro, Circuit Macer, Aplac и др.

Имитационные модели систем, исполняемые для учебных целей, чаще всего в качестве системы программирования используют современные объектно-ориентированные системы визуального проектирования - СИ⁺⁺ Builder и Delphi.

Для облегчения и ускорения труда разработчиков электротехнических устройств используется технология EDA (Electrical Design Automatization), включающая компьютерное моделирование (САЕ*) и компьютерное проектирование (CAD). Среди средств ВТ технология EDA широко используется при проектировании принтеров.

Проектирование сложных и больших систем, как правило, осуществляется с использованием систем автоматизированного проектирования (САПР), таких как AutoCAD, разработанная фирмой Autodesk.

Интенсивное развитие наукоемкой промышленности индустриально развитых стран мира в последние годы обеспечивается разработкой и внедрением высоких технологий. Особый приоритет в этой области отдан CASE- технологиям (в 80-х годах Computer Aided Logistic Support – компьютеризированная поддержка логистическим системам, а с 1993г. Continuos Acquisition and Life Cycle Support – непрерывная поддержка поставок и жизненного цикла). Широкое внедрение CALS-технологий с CIM системами (Computer Integrated Manufacturing – системы компьютеризированных интегрированных производств) или системами ERP (Enterprise Resource Planing – планирование ресурсов предприятия) позволяет осуществить действительно интегрированные единые системы создания современных процессов в макроэкономике.