Свойства основных кривых распределения

В характере и типе закономерностей распределения отражаются общие условия вариации признака – сущность явления и те его свойства и условия, которые определяют изменчивость изучаемого признака.

Схематически (графически) любые реальные распределения можно изобразить в виде некоторой кривой, воспроизводящей основные особенности данного распределения.

В настоящее время изучено сравнительно большое число различных теоретических кривых распределения, из которых в практике статистических исследований производства часто используются следующие: нормальное распределение, распределение Пуассона, биномиальное распределение и некоторые другие.

Подробно основные типы теоретических кривых распределения рассматриваются в дисциплине «Теория вероятности и математическая статистика». В данном вопросе нам нужно получить общее представление об основных свойствах широко применяемых типов распределения.

Типы распределения имеют аналитическое выражение в виде закона распределения. Используя свойства того или иного закона распределения можно глубже проанализировать изучаемое явление, прогнозировать распределение и т.д.

Закон нормального распределения. Наиболее глубоко изучен в теории вероятностей и достаточно полно раскрыты условия, при которых он возникает. При разработке многих примеров математической статистики исходят из предположения о наличии в изучаемой совокупности нормативного распределения.

Основными параметрами, характеризующими нормальное распределение, являются средняя арифметическая ( ) и среднее квадратическое отклонение ( ).

Кривая нормального распределения является одновершинной (при Xmax= ), обладает симметричностью (кривая равномерно убывает в обе стороны от середины ( Xmax= ), образуя две равные и подобные ветви). Она имеет две точки перегиба, т.е. точки, в которых кривая из вогнутой становится выгнутой и наоборот. Точки перегиба кривой нормального распределения находятся вправо и влево от центра ( ) по оси общие на расстоянии, равном и 2 . Обе ветви кривой нормального распределения асимптотически приближаются к оси абсцисс.

Рис. 6.5. Кривые нормального распределения

При сохранении общей своей формы кривая нормального распределения в зависимости от величины рассеивания признака ( ) может иметь различную крутизну.

Теоретические ординаты (частоты) нормального распределения рассчитываются на основе уравнения

,

где e=2,7182;

π=3,14152

Теоретические величины определяются по специальной таблице.

Площадь внутри кривой также может быть вычислена. Например, в пределах, ограниченных точками ( ± ) размещается 68.3% всех единиц распределения. В пределах, ограниченных точками ( ±2 ), находятся 95.4% от всех членов распределения и 99,73 % всех членов – в пределах ( ±3 ) . Эта информация исключительно полезна для практических целей.

Например, по эмпирическим данным для 500 студентов по росту имеем

=172,85см и =7,35см

Следовательно, не менее 68 % студентов имеют рост от 165, 5 см до 180,2см.

И что почти все студенты будут размещены по росту в диапазоне от 150,8см до 194,9 см.

Распределение Пуассона (закон редких событий). Например, выполняется проверка на качество партий одинаковых изделий. Интуитивно можно ожидать, что большинство партий не будет содержать бракованных изделий (количество браков = 0), следующее по количеству партий будут иметь одно бракованное изделие и т.д.

Аналогично к маловероятным событиям можно отнести число землетрясений для Республики Беларусь.

Закон Пуассона можно применять для совокупностей, достаточно больших по объему (n ≥ 100) и имеющих достаточно малую долю единиц, обладающих данным признаком (p ≤ 0,1).

Биноминальное распределениеприменяется к специфическим событиям, которые могут или случиться или не случиться. Если вероятность того, что событие случится, равно Р , то вероятность того, что оно не случится равна
1-р= g. Общая вероятность события равна 1 (p+g=1).

Контрольные вопросы по теме 6

1. Что такое статистические ряды распределения?

2. В чем состоят различия в построении рядов распределения с дискретным и непрерывным характером вариации признака?

3. Какие статистические показатели используются для характеристики особенностей рядов распределения?

4. В чем состоят особенности построения графика ряда распределения?

5. В чем состоят особенности построения графика интервального ряда распределения?

6. В каких случаях используется плотность распределения при построении графика интервального ряда распределения?

6. Как можно перейти от гистограммы к полигону?

7. В чем состоят особенности построения графика накопленных частот (кумуляты)?

8. Что такое закономерность ряда распределения?

9. Как обосновывается наиболее вероятный тип теоретического распределения?

10. Что такое ассиметрия и эксцесс в графике распределения частот в зависимости от значений признака.

11. Изобразите график нормального распределения и опишите основные его свойства.

ТЕМА 7. АБСОЛЮТНЫЕ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

7.1. Значение и виды статистических показателей. Проблема совершенствования системы статистических показателей.

7.2. Абсолютные статистические величины.

7.3. Относительные величины.

7.4. Отношения между разноимёнными показателями.

Контрольные вопросы по теме 7

7.1. Значение и виды статистических показателей.
Проблема совершенствования системы статистических показателей

Система относительных статистических показателей.

Статистика, изучая те или иные массовые явления, выявляет внутренние присущие им закономерности изменения их характеристик, происходящие в них процессы, соотношения и взаимосвязи между явлениями и т.д. многообразие и сложность массовых явлений обуславливают необходимость разработки и применения для этих целей в конкретных условиях места и времени соответствующих статистических показателей.

Статистический показатель представляет собой обобщенную количественную характеристику определенных свойств, совокупности частей в целом и ее единства с ее качественными особенностями.

В систематическом показателе различают его содержание и размер.

Содержание показателя раскрывает его качественную определенность, т.е. сущность той или иной стороны, процесса, соотношения и т.д. Например, эффективность или продуктивность, плодотворность использования трудовых резервов в производстве, т.е. производительность труда отличается от эффективности использования основных фондов, т.е. фондоотдачи.

Размер, или количественная мера показателя – это цифровые (числовые) значения показателя в соответствующих единицах измерения. Так, производительность труда может быть оценена количеством продукции, созданной в единицу времени или затратами времени на производство одной единицы продукции: показатели выработки и трудоемкости.

Статистические показатели всегда конкретны, они количественно выражают меру массовых процессов, применительно к конкретным условиям места и времени. Важнейшие их свойства заключаются в способности в цифрах измерить походящие в изучаемом явлении изменения, закономерности, тенденции и т.д.

Как мы видели, при самостоятельном наблюдении регистрируются факты, индивидуальные значения варьирующихся признаков по отдельным значениям совокупности. Эти данные могли иметь место и не иметь, быть такими или иными. Факты по отдельным единицам совокупности содержат в себе элемент случайного.

При создании большого числа однородных единиц в общих характеристиках всей их массы случайность исчезает в той большей мере, чем больше соседних фактов единиц совокупности (в соответствии с законом больших чисел) Таким образом, любой статистический показатель является обобщающим показателем.

Как видели выше, индивидуальные значения изучаемых признаков в результате группировки и сводки путем суммирования объединяются в групповые итоги и итог в целом по совокупностям. Тем самым изучаются статистические показатели.

Многие другие статистические показатели получаются как результаты дальнейшей обработки данных статистической сводки, дальнейших вычислений над ними.

Отсюда можно сделать вывод: статистический показатель в конечном счете является функцией индивидуальных значений признаков.

В некоторых случаях статистический показатель может быть получен не путем вычислительных операций над индивидуальными значениями, а путем их сравнения. Например, максимальное индивидуальное значение, минимальное индивидуальное значение.(мода, медиана).

Статистический показатель, полученный как сума значений признака у единиц совокупности обычно носит то же наименование, что и сам признак. Например, продукция по отрасли промышленности есть сумма продукции по промышленным предприятиям. И в том, и в другом случае, использованы показатель «продукция». Однако для единиц совокупности(отрасль промышленности- совокупность, промышленное предприятие - единица совокупности) этот показатель является признаком единицы. И только после обобщения по совокупности он становится в точном смысле слова статистическим показателем.

Следовательно, наименование статистического показателя придает ему качественную принадлежность, отражая его статистическое содержание и структуру, а так же указывает время, явление или группу явлений, к которым он относится, единицу измерения и другие его особенности. К последнему можно отнести правило (способ) получения данного статистического показателя или действия над полученными статистическими показателями.

Массовое явление может быть охарактеризовано многими статистическими показателями, каждый из которых отражает его определенное свойство.

Все множество статистических показателей, используемых в статистике исследования массовых явлений должно составлять систему взаимосвязанных статистических показателей. Только при этом условии они могут отражать объективно существующие, присущие данному массовому явлению или группе их определенных свойств закономерности взаимосвязи. Другими словами, они должны друг друга дополнять, позволять уточнять и в определенном смысле обеспечить комплексное описание явления.

Статистические показатели, входящие в систему, можно условно разделить на группы с использованием различных признаков:

А) по методу исчисления – на абсолютные (или объемные), относительные, средние, простые, индексные.

Б) по форме выражения – натуральные, условно–натуральные, стоимостные

В) по месту в системе оценки результатов развития явления – на обобщающие (систематические) и частные.

Перед статистикой стоит задача постоянного совершенствования системы статистических показателей и приведения их в соответствие с требованиями времени этапа развития массовых явлений. Например, в области производства, система статистических показателей базировалась на системе плановых показателей. Неизбежно, изменяется статистическая структура показателей, изменяется и система статистических показателей.

Указанное выше предполагает непрерывное совершенствование системы статистических показателей.