Тема 4. ПРОГНОЗУВАННЯ ЧАСОВИХ РЯДІВ

1.Методи згладжування часових рядів.

2.Методи фільтрації сезонної компоненти.

3.Методи прогнозування випадкових компонент.

4.Інструменти аналізу ARІMA-моделей.

1. Методи згладжування часових рядів виокремлюються у дві основні групи:

1) механічне згладжування окремих рівнів часового ряду, яке не потребує знань про аналітичний вид згладженої функції;

2) аналітичне згладжування з використанням кривої, проведеної між певними рівнями ряду так, щоб вона відбивала тенденцію, притаманну ряду, і одночасно позбавляла його незначних коливань.

Механічні методи згладжування часових рядів використовують фактичні значення сусідніх рівнів ряду і не досліджують аналітичний вид згладженої функції. До механічних методів належать: згладжування по двох точках, метод простої ковзкої середньої, метод зваженої ковзкої середньої, метод експоненційного згладжування.

Аналітичні методи згладжування часових рядів ґрунтуються на припущенні, що відомий загальний вигляд невипадкової складової часового ряду. Вони реалізуються за допомогою регресійних та адаптивних методів.

Регресійні методи є основою побудови кривих зростання. Щоб правильно підібрати найкращу криву для моделювання і прогнозування економічного явища, необхідно знати особливості кожного виду кривих. Універсальним методом попереднього вибору кривих зростання, який дає можливість вибрати криву із широкого класу, є метод характеристик приросту. Він заснований на використанні окремих характерних властивостей кривих. При цьому методі вхідний часовий ряд поперед­ньо згладжується методом простої ковзкої середньої.

Адаптивні методи прогнозування застосовуються в ситуації зміни зовнішніх умов, коли найбільш важливими стають останні реалізації досліджуваного процесу. Загальна схема побудови адаптивних методів може бути подана так:

1) за кількома першими рівнями ряду будується модель і оцінюються її параметри;

2) на основі побудованої моделі розраховується прогноз на один крок вперед, причому його відхилення від фактичного рівня ряду розцінюється як помилка прогнозування, яка враховується відповідно до прийнятої схеми коригування моделі;

3) за моделлю з відкоригованими параметрами розраховується прогнозна оцінка на наступний момент часу тощо.

Таким чином, модель постійно вбирає в себе нову інформацію і до кінця періоду навчання відбиває тенденцію розвитку процесу, що існує на даний момент. Прогноз отримується як екстраполяція останньої тенденції. Численні адаптивні методи відрізняються один від одного лише способами числової оцінки параметрів моделі і визначення параметрів адаптації. Базовими адаптивними методами вважаються методи Хольта, Брауна і Хольта-Уїнтерса.

2. Методи фільтрації сезонної компоненти s_t . Проблема аналізу сезонності (та/або циклічності) полягає у дослідженні сезонних коливань і у вивченні зовнішнього циклічного механізму, що їх породжує. Для дослідження суто сезонних коливань необхідно виокремити з часового ряду у_t сезонну компоненту s_t і потім аналізувати її динаміку. Більшість методів фільтрації побудовано таким чином, що попередньо виокремлюється тренд, а потім сезонна компонента. Тренд у чистому вигляді необхідний і для аналізу динаміки сезонної хвилі. Оскільки індекси сезонності сезонної хвилі величини безрозмірні і не змінюються з року в рік, то їх можна використовувати для визначення рівня сезонності у часовому ряду. У разі використання квартальних даних їх буде чотири, а місячних спостережень - 12.

Для повного дослідження тренд-сезонного часового ряду потрібно розв’язати сукупність завдань у такій послідовності:

1) визначення наявності тренду і визначення ступеня його гладкості;

2) виявлення наявності у часовому ряду сезонних коливань;

3) здійснення фільтрації сезонної компоненти у разі підтвердження сезонного процесу;

4) проведення аналізу динаміки (еволюції) сезонної хвилі;

5) дослідження чинників, які визначають сезонні коливання;

6) розроблення прогнозу тренд-сезонного процесу.

Найбільш поширеними методами фільтрації є ітераційні та гар­монічного аналізу.

3. Методи прогнозування випадкових компонент. На відміну від прогнозів, які, наприклад, послуговуються класичною регресійною моделлю, у прогнозі часових рядів суттєво використовуються взаємозалежність і прогноз самих випадкових залишків. Отже, мова йде про моделювання не самих часових рядів, а лише їх випадкових залишків. Для описання поведінки випадкових залишків ε_t і прогнозування їх значень використовується клас стаціонарних часових рядів, для яких розроблені спеціальні лінійні параметричні моделі, такі як авторегресійні (AR), ковзної середньої (MA) та ARMA. Однак реальні часові ряди, що зустрічаються в макроекономіці, є у багатьох випадках нестаціонарними. Їх нестаціонарність частіше за все виявляється в наявності невипадкової складової f_t . У таких випадках йдеться про нестаціонарні однорідні часові ряди. Отже, нестаціонарний однорідний часовий ряд y_t може бути перетворений у стаціонарний часовий ряд процедурою віднімання від ряду y_t його невипадкової складової f_t . Для моделювання нестаціонарних часових рядів з означеними властивостями використовується ARIMA-модель (авторегресійна інтегрована модель ковзної середньої), або модель Бокса-Дженкінса. При цьому AR, MA та ARMA моделі являють собою окремі випадки ARIMA-моделі.

4. Інструменти аналізу ARІMA-моделей. Щоб визначити струк­туру динамічного процесу, дуже важливо поділити часовий ряд на розглянуті три складові і встановити рівень автокореляції, інтегрованості та порядку ковзної середньої.

Перевірка автокореляції. Для визначення міри автокореляції часових рядів треба визначити силу зв’язку між поточними та минулими значеннями змінної, що аналізується. Способами цього виміру є коефіцієнти автокореляції та Q-критерій Бокса-Пірса. Порядок авторегресії визначається за допомогою розрахунку взаємної кореляційної (автокореляційної) функції між вихідним рядом у_t і цим самим рядом, зрушеним у часі на величину τ (лаг), та часткової автокореляційної функції.

Перевірка процесу ковзної середньої. Якщо знати поведінку коефіцієнта автокореляції та часткового коефіцієнта автокореляції, то можна спробувати визначити, чи містить ряд елемент ковз­ної середньої. Якщо значення часткових коефіцієнтів автокореляції спадає за експонентою, а не різко падає до нуля, то можна припустити, що ряд характеризує процес ковзної середньої, а не AR. Якщо ряд скоріше MA ніж AR, то автокореляція не буде показувати порядок МА-процесу. Для перевірки автокореляції в рядах, де є елементи і авторегресії, і ковзної середньої, використовується критерій Люнга-Бокса (LB).

Перевірка ступеня інтеграції та стаціонарності. Інтеграція показує, до якого ступеня ряд повинен бути перетворений за допомогою різниць будь-якого порядку, щоб стати стаціонарним, що дуже важливо, оскільки багато методів аналізу часових рядів працюють тільки зі стаціонарними рядами.

Простішим способом визначення найбільш відповідного різницевого ряду є розрахунок для кожного ряду його дисперсії, тобто усередненої суми квадратів розходжень його рівнів із се­реднім значенням Δy_сер. Для подальшого оброблення обирається ряд, в якому величина цього показника є мінімальною.

Перевірка стаціонарності виконується також за допомогою аналізу коренів характеристичного рівняння. Проблеми перевірки на стаціонарність при існуванні автокореляції залишків вирішується завдяки застосуванню розширеного критерію Дікі-Фуллера.

Термінологічний словник

Авторегресійний процес - процес, у якому значення ряду знаходиться в лінійній залежності від попередніх значень.

Адаптивні методи прогнозування - методи, які застосовуються в ситуації зміни зовнішніх умов, коли найбільш важливими стають останні реалізації досліджуваного процесу.

Індекси сезонності v_j - ступінь відхилення рівня сезонного часового ряду від ряду середніх y_i (тренду), або ступінь коливань відносно 100 %.

Інтегрування - різниці Δy_t = y_t – y_{t – 1}, які треба розрахувати для того, щоб отримати стаціонарний часовий ряд.

Ітераційні методи фільтрації - багаторазове застосування ковзної середньої і одночасне оцінювання сезонної компоненти в кожному циклі.

Метод гармонічного аналізу - перевірка наявності сезонних коливань та оцінювання значущості гармонік ряду Фурьє, які відображують ці коливання.

Процес ковзної середньої - процес, де змінна є функцією від по-
передніх помилок, тобто різниць між попередніми розрахованими значеннями та відповідними фактичними спостереженнями.

Регресійні методи - методи підбирання найкращої кривої для моделювання і прогнозування економічного явища.

Сезонна хвиля - відношення середнього значення показника в кож­ному сезонному періоді до середньосезонного значення.

Ступінь гладкості тренду - мінімальний ступінь поліному функції f_t .