Метод анализа иерархий

Метод анализа иерархий является замкнутой логической конструкцией, которая обеспечивает с помощью простых и хорошо обоснованных правил, решение многокритериальных задач, включающих как качественные, так и количественные факторы, причем количественные факторы могут иметь разную размерность. Метод основан на декомпозиции задачи и представлении ее в виде иерархической структуры, что позволяет включить в иерархию все имеющиеся у лица, принимающего решение знания по решаемой проблеме и последующей обработке суждений лиц, принимающих решения. В результате может быть выявлена относительная степень взаимодействия элементов в иерархии, которые затем выражаются численно. Метод анализа иерархий включает процедуры синтеза множественных суждений, получения приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений.

Весь процесс решения подвергается проверке и переосмыслению на каждом этапе, что позволяет проводить оценку качества полученного решения.

Результаты решения могут быть представлены как графически, так и в табличном виде.

Метод анализа иерархий [5] представляет собой систематическую процедуру для иерархического представления элементов, которые определяют суть задачи принятия решений, и состоит из следующих этапов:

Первый этап -предусматривает представление проблемы в виде иерархии или сети. В простейшем случае иерархия строится начиная с цели, которая помещается в вершину иерархии. Через промежуточные уровни, на которых располагаются критерии и от которых зависят последующие уровни, к самому низкому уровню, который содержит перечень альтернатив.

Существует несколько видов иерархий. Самые простые это:

- доминантные иерархии, которые похожи на перевернутое дерево с целью, расположенной в вершине;

- холлархии - это доминантные иерархии с обратной связью.

Иерархия считается полной, если каждый элемент заданного уровня является критерием для всех элементов нижнего уровня (см. рис.4.2). В противном случае - иерархия неполная (см. рис. 4.3).

Необходимо отметить, что метод анализа иерархий требует структурирования проблемы участниками решения задачи принятия решений, т.е. необходимо составить иерархию в соответствии с целью задачи, пониманием критериев (или факторов) и существующими вариантами выбора.

Уровни иерархии Структурная сеть решаемой задачи

	Цель

Уровень 1

Цель

К3

К2

К11

Уровень 2

Критерии

	А1		А2		А3

Уровень 3

Альтернативы

Рис. 4.2 Полная доминантная иерархия

Уровни иерархии

Первый

Второй

Третий

Четвертый

Рис 4.3 Неполная доминантная иерархия

Этот этап требует обсуждения, чтобы быть уверенными, что критерии (факторы) отражают весь диапазон предпочтений и восприятия участников решения проблемы. Необязательно, чтобы все участники в процессе планирования пришли к согласию по всем компонентам проблемы. Например, не все критерии могут быть включены в иерархию. Участники решения задачи могут выразить свои предпочтения относительно критериев и альтернатив. Другими словами, при начальном иерархическом описании задачи нет необходимости чувствовать ограничения. Самое важное, чтобы знания и суждения отдельного лица или группы лиц имели возможность быть адекватно и точно выражены. Это задача не для нетерпеливого и вспыльчивого руководителя. Первостепенное значение здесь приобретает дипломатичность и умение прислушаться к чужому мнению.

Второй этап. После иерархического представления задачи необходимо установить приоритеты критериев и оценить каждую из альтернатив по критериям, определив наиболее важную их них.

В методе анализа иерархий элементы сравниваются попарно по отношению к их влиянию на общую для них характеристику.

Парные сравнения приводят к записи характеристик сравнений в виде квадратной таблицы чисел, которая называется матрицей.

Сравнивая набор критериев друг с другом, получим следующую матрицу:

а₁₁ а₁₂ а₁₃ ….…. a_1n

a₂₁ a₂₂ a₂₃ …..…. a_2n

a₃₁ a₃₂ a₃₃ ..……. a_3n

……………………..

a_n1 a_n2 a_n3 …….. a_nn

Эта матрица обратно симметричная, т.е. имеет место свойство

a_ij=1/a_ji,

где индексы i и j - номер строки и номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.

При сравнении элемента с самим собой имеем равную значимость, так что на пересечение строки и столбца с одинаковыми номерами заносим единицу. Поэтому главная диагональ должна состоять из единиц.

Таким образом, матрица парных суждений имеет вид

Когда задача представлена в виде иерархической структуры, матрица составляется для попарного сравнения критериев на втором уровне по отношению к общей цели, расположенной на первом уровне. Такие же матрицы должны быть построены для парных сравнений каждой альтернативы на третьем уровне по отношению к критериям второго уровня и т.д., если количество уровней больше трех.

Матрица составляется следующим образом (см. тблицу 4.1):

В правом верхнем углу записывается цель (или критерий), по отношению к которой будет проводиться сравнение, и необходимо перечислить слева и вверху сравниваемые элементы. Для иерархии, приведенной на рис. 4.2, потребуется построить 4 матрицы - одна для второго уровня и три для третьего. Эти матрицы представлены на таблицах 4.1 и 4.2.

Таблица 4.1

Цель	К1	К2	К3
К1
К2
К3

Таблица 4.2

К1	А1	А2	А2
А1
А2
А3

К2	А1	А2	А2
А1
А2
А3

К3	А1	А2	А2
А1
А2
А3

Клетки матриц оставлены незаполненными, так как в них будут помещены оценки или суждения об относительной важности сравниваемых элементов по отношению к цели или критерию, расположенному в верхнем левом углу таблиц. Если существует шкала сравнений, то есть имеется способ измерения относительной важности сравниваемых элементов, то данные, полученные после его (способа) применения, помещаются в таблицу, иначе клетки заполняются оценками, полученными в результате субъективных, но продуманных суждений ЛПР или группы ЛПР, решающих задачу.

Для проведения субъективных парных сравнений в методе анализа иерархий разработана шкала, представленная в таблице 4.3.

При проведении попарных сравнений задаются следующие вопросы. Так при сравнении элементов Аi и Аj:

- Какой из них важнее или имеет большее воздействие на цель?

- Какой из них более вероятен?

- Какой из них предпочтительнее?

При сравнении критериев обычно – какой из критериев более важен?

При сравнении альтернатив по отношению к критерию, - какая из альтернатив более желательна?

При сравнении сценариев, получаемых из критериев, - какой из сценариев более вероятен?

Напомним, что клетки матрицы заполняются в соответствии с субъективными суждениями ЛПР или группы ЛПР.

Например, при заполнении таблицы 4.1 на вопрос: какой критерий более важен К1 или К2, члены группы ЛПР пришли к соглашению, что К1 умеренно превосходит К2 и в соответствии со шкалой, приведенной в таблице 4.4, они внесли в клетку матрицы, стоящую на пересечении первой строки и второго столбца 3, т.е. а₁₂=3.

Таблице 4.3