Построение математических моделей развития размещения производства и формирования годовой производственной программы

Цель работы: закрепление теоретических знаний и получение практических навыков по построению математических моделей развития размещения производства и формирования годовой производственной программы.

Теоретические сведения

Классификация моделей

Классификация моделей для решения задач перспективного планирования:

- по виду используемого критерия оптимизации;

- по способу учета фактора времени;

- по типу используемых переменных;

- по способам учета транспортных факторов;

- по качеству конечных продуктов производств, рассматриваемых в задаче;

- по степени учета этапов жизненного цикла конечных продуктов.

Рассмотрим эти модели подробнее.

1) Примем за критерий оптимальности минимум приведенных затрат и максимум получаемой прибыли. В целевой функции задачи минимизации отражают затраты на производство, транспортировку, переработку и использование продукции, а в системе ограничений учитывают следующие факты:

- выбор сырья, необходимого для производства продукции практически не зависит от его цены, а сырьё подлежит обязательному использованию;

- цены реализации продукции не могут быть установлены к моменту решения или не являются достаточно надежными;

- прогнозы лимитов на ресурсы считаются менее надежными, чем прогнозы спроса.

Целевая функция задачи максимизации представляет собой разность между доходом от реализации производственной продукции и затратами на её выпуск, транспортировку, переработку и использование. Особенность задачи – возможность сравнения вариантов развития производства, отличающихся как затратами, так и результатами, объемом, структурой и длительностью выпуска продукции. В системе ограничений учитывают следующие факты:

- величины спроса на продукцию в значительной степени определяется её ценами;

- общая потребность в продукции значительно больше производственных возможностей;

- структура выпуска продукции не может быть определена до решения задачи;

- прогнозы цен более надежны, чем прогнозы спроса.

2) При учете фактора времени различают статические и динамические модели.

Динамическая модель более адекватно отражает процессы в системе, но есть трудности её создания, заставляющие рассматривать упрощенную статическую постановку задачи. Для этой задачи постоянные отрасли берутся фиксированными на последний год периода планирования, и считается, что они не изменяется во времени.

3) При решении задач выделяют дискретные и непрерывные типы переменных.

В вариантных задачах с дискретными переменными предусматривается возможность предварительного определения конечного числа возможных вариантов функционирования. В объектах с фиксированием мощности, специализации и величины затрат переменные принимают как дискретные, так и булевы значения. В оптимальный план такие варианты либо входят целиком, либо вовсе из него исключаются. Безвариантные задачи с непрерывными переменными используют в тех случаях, когда технико-экономические характеристики деятельности объектов должны быть определены в ходе решения задач.

4) Различают производственные и производственно-транспортные задачи. По способу отражения транспортных условий в модели различают задачи матричной и сетевой формы. При постановке задач в матричной форме предварительно составляются рациональные матрицы по доставке продукции от поставщиков к потребителям, и исчисляются суммарные транспортные затраты на перевозки по этим матрицам. При постановке задач в сетевой форме рассматривается реальная транспортная сеть, для неё определены затраты по отпускным звеньям. Оптимальные маршруты движения грузов определяются в ходе решения сетевой задачи. Также различают одноступенчатые (одноэтапные) и многоступенчатые модели планирования. При решении любой задачи определяются основные параметры системы:

- пункты размещения, показатели концентрации и специализации;

- направления развития комплекса и отдельных его частей;

- технологические схемы производства;

- степень удовлетворения спроса продукции отдельных потребителей;

- система связей по доставке сырья, материалов, полуфабрикатов и готовой продукции;

- величины потребности в капитальных вложениях и других ресурсах общехозяйственного использования;

- оценка ресурсов, используемых исключительно в рамках данного комплекса;

- оценка качества произведённой продукции.

При рассмотрении одноэтапной модели развития и размещения принимается гипотеза о том, что при равенстве прочих условий увеличение масштабов производства ведет к снижению удельных текущих и капитальных затрат вследствие постоянства целого ряда элементов затрат или по крайней мере их непропорционального роста. Существует гиперболическая зависимость себестоимости от объема производства.

При этих условиях задача размещения имеет нелинейный функционал и условие: L(x_i,x_ij)= ,

где - функции, характеризующие зависимость себестоимости продукции от объема производства в i-ом пункте;

t_ij – транспортные расходы на доставку единицы груза из пункта i в пункт j.

Ограничения задачи такие же, как и для транспортной задачи линейного программирования. При такой постановке задачи предполагается возможность построения производственной функции, связывающей затраты на производство от его объема и факторов, его определяющих.

При рассмотрении вопроса о характере зависимости затрат на производство от его объема, до сих пор предполагалось, что функции, описывающие соответствующие связи, непрерывны. Для целого ряда производств, мощности которых могут изменяться произвольно без каких либо ограничений, такое предположение вполне допустимо. Однако часто встречаются случаи, когда мощность предприятия формируется за счет крупных неделимых агрегатов и изменяется дискретно, принимая только вполне определенные значения, кратные составляющим ее агрегатам. В этом случае функция, отражающая зависимость затрат от объема производства, будет представлять собой дискретный набор точек, соответствующих дискретно меняющимся значениям аргумента – производственной мощности. В этом случае задача развития и размещения называется задачей оптимального использования ресурсовиможет быть представлена в следующей вариантной постановке: «Пусть для выпуска n видов продукции на предприятии используют m видов сырья . Объем сырья i-го вида B_i единиц, нормы расхода сырья i-го на производство продукции j-го вида составляют A_ij единиц, и прибыль на единицу продукции при изготовлении продукта j-го вида составляет γ_j денежных единиц. Требуется определить план выпуска продукции, обеспечивающий наибольшую прибыль».

Составим математическую модель задачи. Пусть Х_j – количество продукции j-го вида, обеспечивающее наибольшую прибыль производства, тогда – количество ресурса i-го вида, необходимого для всего производства, ограниченное величиной B_i, значит, система ограничений примет вид:

Целевая функция, выражающая прибыль, полученную от производства, имеет вид: . Поставленная задача имеет вид задачи линейного программирования и решается симплекс-методом.

Пример. Пусть в общей задаче планирования производства n=4, m=3, известны конкретные значения B_i , A_ij , γ_j:

Вид сырья	Запасы сырья	Нормы затрат сырья на производство единицы продукции каждого вида
P1	P2	P3	P4
S1
S2
S3
прибыль от единицы продукции

В качестве неизвестных примем объем выпуска продукции -го вида

Модель задачи:

→max

, .

Сформулируем двойственную задачу. Пусть некая организация решила запустить все ресурсы предприятия. При этом необходимо установить оптимальную цену на приобретаемые ресурсы исходя из этого:

1) покупающая организация старается имитировать общую стоимость ресурсов;

2) за каждый вид ресурсов надо уплатить не менее той суммы, которую хозяйство может выручить при переработке сырья в готовую продукцию.

Согласно первому условию общая стоимость сырья выразиться:

→min.

Согласно второму требованию вводятся ограничения: на единицу первого вида продукции расходуется четыре единицы первого ресурса ценой , одна единица второго ресурса ценой и три единицы третьего ресурса ценой .

Стоимость всех ресурсов, расходуемых на производство единицы первого вида продукции, равна и должна составлять не менее 14 то есть . Аналогично для 2, 3, 4 вида продукции:

.

По экономическому смыслу, цены не отрицательны:

, .

Получим симметричную пару взаимно двойственных задач.

В результате решения рассмотренных задач симплекс-методом получим оптимальный план ; .

Задание

1) Получить у преподавателя численные значения исходных данных о деятельности производственной системы.

2) Решить исходную и двойственную задачу, отражающие деятельность системы, симплекс-методом.

Контрольные вопросы

1. Приведите математические постановки одноэтапных задач развития и размещения, поясните их основные особенности.

2. Сформулируйте варианты многоэтапной модели развития и размещения производства и покажите ее основные преимущества по сравнению с одноэтапными моделями.

3. Поясните роль и место задачи выбора оптимальной транспортной схемы в общей модели развития и размещения и приведите ее математическую постановку.

4. Сформулируйте математическую модель выбора оптимальной структуры системы распределенной обработки информации, покажите ее основные достоинства и недостатки.

5. Приведите математическую модель задачи формирования годовой производственной программы, покажите ее взаимосвязь с задачами развития и размещения и особенности применения в условиях рыночных отношений.

Список литературы

1. Акулич, И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах / И.Л. Акулич. – М.: Высш. шк., 1995.

2. Вагнер, Г. Основы исследования операций: в 3 т. / Г. Вагнер. – М.: Мир, 1973.

3. Грешилов, А.А. Как принять наилучшее решение в реальных условиях / А.А. Грешилов. – М.: Радио и связь, 1991.

4. Давыдов, Э.Г. Исследование операций / Э.Г. Давыдов. – М.: Высш. шк., 1990.

5. Денисов, А.А. Теория больших систем управления: учеб. пособие для вузов / А.А. Денисов, Д.Н. Колесников. – Л.: Энергоиздат, 1982.

6. Ехлаков, Ю.П. Теоретические основы автоматизированного управления / Ю.П. Ехлаков, Г.А. Ходжаев. – Ставрополь: Изд-во Ставропольского ун-та, 1992.

7. Замков, О.О. Математические методы в экономике / О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. – М.: ДИС, 1997.

Практическое занятие №8