Производственная функция и техническая результативность производства

Производство есть процесс преобразования одних благ в другие: факторов производства в готовую продукцию. Технологическая зависимость между структурой затрат ресурсов и максимально возможным выпуском продукции выражается с помощью производственной функции , где Q — выпуск продукции, а L, K, З, — применяемые факторы производства, соответственно труд, капитал, земля. Конкретная форма этой зависимости характеризует технологию производства. В целях упрощения будем предполагать, что уровень научно-технических знаний не оказывает влияния на техническую результативность производства (соотношение между количеством продукции, выпускаемой за определенное время, и количеством факторов производства, используемых для ее изготовления) [3].

Возможности изменить используемые в производстве факторы — объемы труда, капитала и земли — неодинаковы. Если спрос на продукцию фирмы возрастает, то на первых порах увеличение производства достигается за счет дополнительного привлечения труда на те же производственные мощности, поскольку для расширения последних, как правило, требуется больше времени. В связи с этим вводятся понятия короткого и длинного периодов. Время, в течение которого нельзя изменить объем одного из используемых факторов, называется коротким периодом. В свою очередь, фактор, объем которого нельзя изменить в коротком периоде, называют постоянным, а фактор, объем использования которого меняется по мере изменения выпуска, — переменным. Время, достаточное для изменения объемов обоих факторов производства, — это длинный период, и поэтому в нем все факторы являются переменными.

Предположим, что фирма производит один товар и использует один переменный ресурс — труд L при неизменности всех остальных факторов в краткосрочном периоде. Тогда производственная функция выразится формулой . Зависимость объема выпуска от количества примененных единиц труда (при K — const) представим в табличной форме (табл. 4.1).

Таблица 4.1 — Зависимость объема выпуска от количества

Используемых единиц труда

Количество единиц труда	Общий продукт ТР	Средний продукт АР	Предельный продукт МР
		–	–
		8,0
		9,0
		8,7
		8,25
		7,8
		7,0

Данные таблицы показывают следующее:

общий продукт труда ТР — общее количество продукции, произведенное за данное количество времени. Величина его возрастает с увеличением количества применяемого трудового ресурса;

средний продукт АР — количество продукции в расчете на единицу переменного фактора. Величина среднего продукта имеет аналогичную тенденцию, но точка максимума достигается при меньшем количестве применяемого ресурса;

предельный продукт МР — изменение величины общего продукта за счет ввода в производство одной дополнительной единицы любого переменного фактора. Величина предельного продукта также вначале возрастает, затем снижается, причем когда величина общего продукта достигает максимума, предельный продукт равен нулю. Алгебраически предельная производительность труда представляется как производная функции общего продукта по труду . Графически при использовании определенного количества соответствует тангенсу наклона касательной, проведенной к кривой общего продукта труда.

На основании данных таблицы построим графики, отражающие взаимосвязь среднего и предельного продукта труда с ростом выпуска продукции (рис. 4.1).

Рис. 4.1 — Взаимосвязь среднего и предельного продуктов

с ростом выпуска продукции

График роста общего продукта показывает, что использование дополнительных единиц труда приводит к росту общего продукта, но этот рост происходит неравномерно: в начале кривой приращение общего продукта возрастает, потом убывает. Подобная зависимость объемов выпуска от увеличения применяемых единиц труда отражает действие закона уменьшающейся отдачи ресурса: если в процессе производства все факторы производства остаются неизменными, а количество переменного фактора растет, то неизбежно наступит ситуация, когда каждая дополнительная единица переменного фактора будет добавлять к общему продукту все меньшую и меньшую величину [13].

Анализ взаимодействия кривых предельного и среднего продукта показывает, что когда величина предельного продукта превосходит средний продукт, то кривая предельного продукта располагается выше кривой среднего продукта и кривая среднего продукта устремляется вверх. В точке пересечения кривых предельного и среднего продукта величина среднего продукта достигает максимума. Здесь достигается наивысшая производительность принятых работников. Другой характеристикой технической результативности производства в коротком периоде, кроме средней и предельной производительности ресурса, служит коэффициент эластичности выпуска по переменному фактору F, показывающий величину изменения выпуска (в процентах) при изменении объема переменного фактора на 1 %:

Соотношение между тремя показателями технической результативности переменного фактора выражается следующим равенством:

При увеличении количества используемого труда от нуля до двух единиц (до точки пересечения кривых предельного и среднего продукта) эластичность всегда больше единицы; при (в точке пересечения кривых МР и АР) коэффициент эластичности равен единице; при дальнейшем увеличении труда эластичность выпуска по переменному фактору будет уменьшаться, но оставаться положительной величиной (рис. 4.1).

Техническая результативность производства в длинном периоде описывается с помощью использования двух ресурсов: труда (L) и капитала (K). Производственная функция в этом случае выразится формулой . Она описывает множество технически эффективных способов производства, представленных в табл. 4.2 [14]. Например, выпуск продукции в объеме 57 единиц может быть достигнут при использовании трех технологий:

1)

2)

3)

Таблица 4.2 —Табличная форма производственной функции длинного периода

Количество труда L	Величина Q при следующих значениях К
					57
			57
		57

Данные, приведенные в табл. 4.2, отражают закон снижающейся предельной производительности и труда, и капитала. Это выражается в том, что значения величин выпуска продукции растут медленнее, чем значения, отражающие увеличение соответственно количества применяемого труда и объема капитала.

Графически каждый способ производства (выпуск, равный 57 единицам в табл. 4.2) может быть представлен точками А, В или С, координаты которых характеризуют минимально необходимое для производства данного выпуска количество ресурсов L и K, а производственная функция может быть представлена линией равного выпуска, или изоквантой (рис. 4.2).

Рис. 4.2 — Карта изоквант

Если на этом графике расположить другую изокванту , то она будет представлять больший объем выпуска в каждой точке кривой, причем величина выпуска является неизменной. Изокванты обладают теми же свойствами, что и кривые безразличия: имеют отрицательный наклон, выпуклы относительно координат и не пересекаются друг с другом.

Алгебраически производственная функция в длинном периоде имеет вид степенной функции где A, , — положительные постоянные числа, характеризующие технологию производства (по значению не превосходят единицу).

Широкое применение в экономическом анализе получила функция Кобба—Дугласа Данные, представленные в табл. 4.2, рассчитаны с использованием данной функции. Данные, округленные до целых чисел, соответствуют формуле . Показатели степеней и производственной функции равны коэффициентам эластичности выпуска по факторам [14]:

;

.

Для данной цели не подходит, например, функция вида , где a и b — константы, так как в этом случае предельные производительности факторов производства неизменны.

Мерой взаимозаменяемости факторов производства служит предельная норма технического замещения MRTS:

.

Она показывает пропорцию, по которой фирма может замещать один ресурс другим, покупая их на рынке и сохраняя выпуск неизменным. При графическом построении MRTS соответствует тангенсу угла наклона касательной к изокванте в точке, указывающей необходимые объемы труда и капитала для производства заданного объема продукции.

Изокванты могут иметь различную конфигурацию. Если ресурсы, используемые для выпуска продукции, совершенно заменяемы, то изокванта имеет вид прямой линии; в случае жесткой дополняемости ресурсов она изображается в виде угла; если известны лишь несколько способов выпуска продукции, то изокванта имеет вид ломаной линии.

При анализе производственной функции важную роль играет отношение затрат капитала к затратам труда, которое называют капиталовооруженностью Этот показатель характеризует интенсивность применения ресурсов в конкретном производстве. Он отображается углом наклона прямой, проходящей через начало координат и точку изокванты.

Взаимосвязь капиталовооруженности и предельной нормы технического замещения отражается в показателе эластичности замещения показывающем увеличение капиталовооруженности труда (в процентах) при увеличении предельной нормы технологического замещения на 1 % по модулю [14]:

.

При использовании технологий, характеризующихся абсолютной замещаемостью и абсолютной незамещаемостью труда и капитала, эластичность замещения равна бесконечности.

Максимизировать выпуск продукции при данных затратах на ресурсы позволяет кривая равных издержек, или изокоста(изображение множества наборов ресурсов, имеющих равную стоимость). При цене труда и цене капитала , располагая определенным бюджетом, предприниматель может купить определенное количество L и K. Общие расходы составляют где L и K — соответственно количество применяемого труда и капитала. После некоторых преобразований уравнение изокосты примет следующий вид: , где характеризует наклон изокосты.

В точке касания изокосты C и изокванты Q (рис. 4.3) фирма несет наименьшие расходы на данный выпуск продукции. Равновесие производителя, или оптимум предприятия, определяется равенством предельной нормы технического замещения ресурсов K и L соотношению их цен:

.

Рис. 4.3 — Равновесие производителя

Неравновесные состояния производителя наблюдаются тогда, когда предельная норма технического замещения больше или меньше отношения цен ресурсов. Для приближения к равновесию в первом случае необходимо увеличить расход труда и сократить расход капитала, во втором случае — наоборот, уменьшить расход труда и увеличить расход капитала.

Соединив точки касания изоквант с изокостами, получим линию «путь развития» OS (рис. 4.4). Она показывает деятельность предприятия в долгосрочном периоде. Если расстояние между изоквантами уменьшается, то это свидетельствует о том, что существует возрастающая экономия от масштаба производства, т. е. увеличение выпуска достигается при относительной экономии ресурсов (рис. 4.4, а) [3].

а б в

Рис. 4.4 — Экономия от масштаба: возрастающая (а),

постоянная (б), убывающая (в)

В случае, когда увеличение производства требует пропорционального увеличения ресурсов, говорят о постоянной экономии от масштаба (рис. 4.4, б). Если расстояние между изоквантами увеличивается, то наблюдается убывающая экономия от масштаба (рис. 4.4, в).

Технологическая результативность производства в длинном периоде с учетом изменения степенных показателей производственной функции представлена в табл. 4.3 [14].

Таблица 4.3 — Технологическая результативность производства в длинном периоде

Технология производства	Объем выпуска при следующих значениях труда и капитала	Эффект масштаба
;	;	;
	29,9 (1)	44,9 (1,5)	59,8 (2)	Постоянный
	94,6 (1)	157,0 (1,7)	224,9 (2,4)	Растущий
	14,1 (1)	19,2 (1,4)	23,8 (1,7)	Снижающийся

Примечание. В скобках указано, во сколько раз увеличен выпуск по сравнению с исходным.

Из данных таблицы видно, что сумма показателей степеней в производственной функции показывает, на сколько процентов возрастет выпуск при увеличении соответствующего фактора производства на 1 %:

– при наблюдается постоянный эффект от масштаба;

– при имеет место возрастающий эффект от масштаба;

– при выпуск продукции растет в меньшей степени, чем прирастают ресурсы.

В действительности предприятия обычно производят не один продукт, а несколько продуктов одновременно, используя при этом различные ресурсы. Рассмотрим случай производства двух продуктов х и у при двух видах используемых ресурсов М и N [15]. Введем следующие обозначения:

— расход ресурса М при производстве единицы продукта х;

— расход ресурса М при производстве единицы продукта у;

— расход ресурса N при производстве единицы продукта х;

— расход ресурса N при производстве единицы продукта у;

m — имеющийся в наличии объем ресурса М (его запас);

n — имеющийся в наличии объем ресурса N (его запас);

— цена продукта х;

— цена продукта у.

В данном случае технологию производства трудно описать производственной функцией, поэтому будем считать производственной функцией функцию общего дохода складывающуюся из выручки от продажи товара х и продажи товара у:

.

В качестве бюджетного ограничения, характерного для выпуска одного товара, в нашем примере будет выступать имеющийся в наличии запас каждого ресурса:

; .

Планом производства называют пару выпусков продуктов , которая удовлетворяет обоим ограничениям по запасу ресурсов.

Равновесный (оптимальный) план производства есть такой план, который максимизирует функцию выручки при заданных двух ограничениях ресурсов.

Пример 4.1

Экономисту предприятия представлены сведения о запасах ресурсов, технологических коэффициентах и рыночных ценах двух продуктов.

Показатели	Продукт х	Продукт у	Запас ресурсов
Ресурс М
Ресурс N
Цены продуктов

Определить оптимальный план производства и максимальный объем продаж.

Решение.

1. Запишем функцию выручки, используя формулу

.

.

2. Представим в алгебраической форме ограничения для двух ресурсов, используя следующие формулы:

;

;

3. Представим на рисунке геометрический способ решения задачи.

Найдем координаты точек D и С для первого бюджетного ограничения ресурсов (бюджетной линии DС). Значение точки D на оси ординат определим, используя уравнение бюджетной линии:

; = 30.

Значение точки С на оси абсцисс найдем, используя уравнение бюджетной линии:

; = 15.

Аналогично найдем координаты точек А и К для второго бюджетного ограничения ресурсов (бюджетной линии АК):

= 20; = 20.

4. Множество планов производства представлено на рисунке многоугольником ОАВС, так как сторона АВ многоугольника отражает минимальные расходы ресурса n, а сторона ВС — минимальные расходы ресурса m.

5. Для определения равновесного (оптимального) плана производства найдем координаты вершины В многоугольника ОАВС посредством решения системы двух уравнений, отвечающих бюджетным ограничениям ресурсов: Координаты точки В будут равны: .

Если провести через точку В изокванту , представленную на рисунке прямой пунктирной линией, то она коснется многоугольника в одной точке и будет представлять оптимальный план производства. Любая другая линия , имеющая такой же угловой коэффициент наклона (параллельная первой изокванте, например, проходящая через точку А или С) будет характеризовать неоптимальный план.

6. Определим максимальный объем продаж при оптимальном плане производства, используя уравнение выручки:

денежных единиц.

Следовательно, оптимальный план производства в точке В включает 10 единиц продукта x и 10 единиц продукта y и обеспечивает максимальную выручку.

Тестовый самоконтроль

1. Какие признаки из перечисленных (1 — неограниченная ответственность; 2 — ограниченная ответственность; 3 — максимальная гибкость; 4 — длительность функционирования; 5 — ограниченные возможности) присущи частнопредпринимательской фирме:

а) 1, 2, 4, 5;

б) 1, 2, 5;

в) 1, 3, 5;

г) 1, 3.

2. Производственная функция в краткосрочном периоде показывает зависимость выпуска от следующих факторов:

а) произведенных затрат;

б) использования одного ресурса при неизменности всех остальных факторов производства;

в) использования двух каких-либо ресурсов в различной комбинации;

г) использования трех каких-либо ресурсов в различной комбинации.

3. Если выпуск продукции увеличивается с 265 шт. до 298 шт. при увеличении применяемого удобрения с 2,6 кг до 2,8 кг, то происходит следующее:

а) предельный и средний продукты равны;

б) предельный продукт больше среднего продукта;

в) средний продукт меньше предельного продукта;

г) предельный продукт меньше среднего продукта.

4. Любая точка, находящаяся на изокванте, означает:

а) комбинацию физических объемов используемых продуктов;

б) одинаковую сумму издержек;

в) одинаковый выпуск продукции;

г) одинаковую полезность.

5. Какое свойство не характерно для предельной нормы технологического замещения капитала трудом:

а) предельная норма замещения уменьшается с увеличением расхода труда;

б) предельная норма замещения увеличивается с увеличением расхода труда;

в) предельная норма замещения равна отношению предельных продуктов труда и капитала;

г) предельная норма замещения характеризует относительную роль труда и капитала в конкретном производстве.