Решение задачи с помощью MS Excel. 1. Отвести ячейки A3 и ВЗ под значения переменных х1 и х2 (рис

1. Отвести ячейки A3 и ВЗ под значения переменных х₁ и х₂ (рис. 2.1).

2. В ячейку С4 ввести функцию цели: =6×АЗ+8×ВЗ, в ячейки А7:А9 ввести левые части ограничений:

=0,2×А3+0,1×ВЗ

=0,1×А3+0,3×ВЗ

=1,2×АЗ+1,5×ВЗ,

а в ячейки В7:В9 - правые части ограничений (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Диапазоны, отведенные под переменные, целевую функцию и ограничения

3. Выбрать команду Сервис/Поиск решения(Tools/Solver) и заполнить открывшееся диалоговое окно Поиск решения(Solver) так, как показано на рис. 2.2. Средство поиска решений является одной из надстроек Excel. Если в меню Сервис(Тоо1s) отсутствует команда Поиск решения(Solver), то для ее установки необходимо выполнить команду Сервис/ Надстройки/ Поиск решения(Tools/Add-ins/Solver). Для ввода ограничений нажмите кнопку Добавить.

Рис. 2.2. Диалоговое окно Поиск решениязадачи о максимизации прибыли на фабрике

Внимание!В диалоговом окне Параметры поиска решения(Solver Options) необходимо установить флажок Линейная модель(Assume Linear Model) (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Диалоговое окно Параметры поиска решения

4. После нажатия кнопки Выполнить(Solve) открывается окно Результаты поиска решения(Solver Results), которое сообщает, что решение найдено (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Диалоговое окно Результаты поиска решения

5. Результаты расчета задачи представлены на рис. 2.5, из которого видно, что оптимальным является производство 102 столов и 166 шкафов. Этот объем производства принесет фабрике 1940 грн. прибыли.

Рис. 2.5. Результаты расчета с помощью средства поиска решений для задачи максимизации выпуска столов и шкафов

Индивидуальное задание

1. Построить математическую модель задачи согласно вашему варианту.

2. Решить задачу с помощью средства MS Excel Поиск решения.

3. Сделать соответствующие выводы.

Вариант 1

Для производства двух видов изделий А и В используется токарное, фрезерное и шлифовальное оборудование. Нормы затрат времени для каждого из типов оборудования на одно изделие данного вида приведены в табл. 2.2. В ней же указан общий фонд рабочего времени каждого из типов оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия.

Таблица 2.2

Тип оборудования	Затраты времени (станко-часов) на обработку одного изделия	Общий фонд полезного рабочего времени
А	В
Фрезерное Токарное Шлифовальное
Прибыль от реализации одного изделия (тыс. грн.)

Определить план выпуска изделий вида А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.

Вариант 2

На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в табл. 2.3. В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.

Найти оптимальное соотношение количества кормов и численности поголовья лис и песцов.

Таблица 2.3

Вид корма	Количество единиц корма, которое ежедневно должны получать	Общее количество корма
А	В
Вид 1 Вид 2 Вид 3
Прибыль от реализации одной шкурки (тыс. грн.)

Вариант 3

Для изготовления различных изделий А, В и С предприятие использует три разных вида сырья. Нормы расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена одного изделия А, В и С, а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в табл. 2.4.

Таблица 2.4

Вид сырья	Норма затрат сырья (кг) на одно изделие	Общее количество сырья (кг)
А	В	С
Вид 1 Вид 2 Вид 3
Цена одного изделия (тыс.грн.)

Изделия А, В и С могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), но производство ограничено выделенным предприятию сырьем каждого вида.

Составить план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной предприятием продукции является максимальной.

Вариант 4

На швейной фабрике для изготовления четырех видов изделий может быть использована ткань трех артикулов. Нормы расхода тканей всех артикулов на пошив одного изделия приведены в табл. 2.5. В ней же указаны имеющиеся в распоряжении фабрики общее количество тканей каждого артикула и цена одного изделия данного вида.

Таблица 2.5

Артикул ткани	Норма расхода ткани (м) на одно изделие вида	Общее количество ткани (м)
Вид 1	Вид 2	Вид 3	Вид 4
Артикул 1 Артикул 2 Артикул 3	-	-	-
Цена одного изделия (тыс. грн.)

Определить, сколько изделий каждого вида должна произвести фаб­рика, чтобы стоимость изготовленной продукции была максимальной.

Вариант 5

Фабрика «GRM pie» выпускает два вида каш для завтрака – «Crunchy» и «Chewy». Используемые для производства обоих продуктов ингредиенты в основном одинаковы и, как правило, не являются дефицитными.

Основным ограничением, накладываемым на объем выпуска, является наличие фонда рабочего времени в каждом из трех цехов фабрики.

Управляющему производством Джою Дисону необходимо разработать план производства на месяц. В табл. 2.6 указаны общий фонд рабочего времени и число человеко-часов, требуемое для производства 1 т продукта.

Таблица 2.6

Цех	Необходимый фонд рабочего времени, чел.-ч./г	Общий фонд рабочего времени, чел.-ч. в месяц
«Crunchy»	«Chewy»
A. Производство B. Добавка приправ C. Упаковка

Доход от производства 1 т «Crunchy» составляет 150 ф. ст., а от производства «Chewy» – 75 ф. ст. На настоящий момент нет никаких ограничений на возможные объемы продаж. Имеется возможность продать всю произведенную продукцию.

Требуется сформулировать модель линейного программирования, максимизирующую общий доход фабрики за месяц, и реализовать решение этой модели.

Вариант 6

Оливер А. Петерс скоро уйдет на пенсию, и ему предстоит решить, как поступить с единовременным пособием, которое в соответствии с пенсионной программой будет предоставлено ему фирмой. М-р Петерс и его супруга намерены предпринять длительную поездку в Австралию к своей дочери сроком на два года, поэтому любые сделанные в настоящий момент инвестиции будут свободны для использования на данный период. Очевидно, цель м-ра Петерса состоит в максимизации общего дохода от вложений, полученного за двухлетний период.

Мистера Петерса проконсультировали, что наилучшим вариантом вложения инвестиций был бы инвестиционный фонд, и в настоящее время он рассматривает возможность помещения инвестиций в один из таких фондов, состоящий из инвестиций трех типов – А, В и С. Сумма единовременного пособия составит 25000 ф. ст., однако мистер Петерс считает, что нет необходимости вкладывать в данный инвестиционный фонд все деньги; часть из них он намерен перевести на свой счет жилищно-строительного кооператива, который гарантирует ему 9% годовых.

По мнению бухгалтера фирмы, мистеру Петерсу следует попытаться распределить свои инвестиции таким образом, чтобы обеспечить как получение дохода, так и рост капитала. Поэтому ему посоветовали не менее 40% от общей суммы вложить в вариант А и перевести на свой счет. Для обеспечения значительного роста капитала не менее 25% общей суммы денежных средств, вложенных в инвестиционный фонд, необходимо поместить в проект В, однако вложения в В не должны превышать 35% общего объема вложений в инвестиционный фонд ввиду высокой вероятности риска, соответствующей проекту В. Кроме того, для сохранности капитала в проекты А и С следует вложить не менее 50% средств, помещаемых в инвестиционный фонд.

В настоящее время проект А позволяет получать 10% годовых и обеспечивает 1% роста капитала, проект В предполагает рост капитала в 15%; проект С дает 4% годовых и 5%-й рост капитала.

Требуется, учитывая цель м-ра Петерса, сформулировать модель линейного программирования, показывающую, как следует распределить сумму единовременного пособия между различными проектами инвестиций.

Вариант 7

Китайская компания с ограниченной ответственностью по произ­водству гусеничных механизмов выпускает пять сходных друг с другом товаров – А, В, С, D и Е. В табл. 2.7 представлены расходы ресурсов, необходимых для выпуска единицы каждого товара, а также недельные запасы каждого ресурса и цены продажи единицы каждого продукта.

Таблица 2.7

Ресурсы	Товар	Недельный запас ресурсов
А	В	С	D	Е
Сырье, кг Сборка, ч Обжиг, ч Упаковка, ч	6,00 1,00 0,50	6,50 0,75 4,50 0,50	6,10 1,25 0,50	6,10 1,00 0,75	6,40 1,00 4,50 1,00
Цена продажи, ф. ст.

Известны также издержки, связанные с использованием каждого вида ресурсов:

сырье – 2,10 ф. ст. за 1 кг;

сборка – 3,00 ф. ст. за 1 ч;

обжиг – 1,30 ф. ст. за 1 ч;

упаковка – 8,00 ф. ст. за 1 ч.

Требуется сформулировать задачу линейного программирования таким образом, чтобы в качестве переменных как целевой функции, так и ограничений выступали ресурсы. Кратко сформулировать предпосылки применения модели. Для максимизации элементов, составляющих прибыль за неделю, следует использовать компьютерный пакет прикладных программ.

Вариант 8

Нефтяная компания «РТ» для улучшения эксплуатационных ка­честв и снижения точки замораживания дизельного топлива, которое она производит, добавляет в него определенные химикаты. В каждом бензобаке объемом 1000 л должно содержаться не менее 40 мг химиче­ской добавки X, не менее 14 мг химической добавки Y и не менее 18 мг химической добавки Z. Необходимые химические добавки в форме го­товых смесей поставляют «РТ» две химические компании А и В. В табл. 2.8 приведено содержание химических добавок в каждом продук­те, поставляемом указанными компаниями.

Таблица 2.8

Продукт	Химические добавки, мг/л
X	У	Z
А В

Стоимость продукта А – 1,50 ф. ст. за 1 л, а продукта В – 3,00 ф. ст. за 1 л. Требуется найти ассортиментный набор продуктов А и В, мини­мизирующий общую стоимость добавленных в топливо химикатов.

Вариант 9

Администрация компании «АВТО», осуществляя рационализаторскую программу корпорации, приняла решение о слиянии двух своих заводов в Харькове и Полтаве. Предусматривается закрытие завода в Полтаве и за счет этого – расширение производственных мощностей предприятия в Харькове. На настоящий момент распределение рабочих высокой и низкой квалификации, занятых на обоих заводах, является следующим (табл. 2.9).

Таблица 2.9

Квалификация	Харьков	Полтава
Высокая Низкая
Итого

В то же время после слияния завод в Харькове должен насчитывать 240 рабочих высокой и 320 рабочих низкой квалификации.

После проведения всесторонних переговоров с привлечением руководителей профсоюзов были выработаны следующие финансовые соглашения:

1. Все рабочие, которые попали под сокращение штатов, получат выходные пособия следующих размеров:

Квалифицированные рабочие – 20000 грн.;

Неквалифицированные рабочие – 15000 грн.

Рабочие завода в Полтаве, которые должны будут переехать, получат пособие по переезду в размере 20000 грн.

2. Во избежание каких-либо преимуществ для рабочих Харьковского завода доля бывших рабочих завода в Полтаве на новом предприятии должна совпадать с долей бывших рабочих Харьковского завода.

Требуется построить модель линейного программирования, в которой определяется, как осуществить выбор работников нового предприятия из числа рабочих двух бывших заводов таким образом, чтобы минимизировать общие издержки, связанные с увольнением и переменой места жительства части рабочих. В процессе формализации следует использовать следующие переменные:

S1 – число квалифицированных рабочих, переведенных на новую работу с завода в Полтаве,

S2 – число квалифицированных рабочих, переведенных на новую работу с завода в Харькове;

U1 – число неквалифицированных рабочих, переведенных на новую работу с завода в Полтаве;

U2 – число неквалифицированных рабочих, переведенных на новую работу с завода в Харькове.

Вариант 10

Компания «ЛАКИ» – частная промышленная фирма, специализирующаяся на производстве технических лаков. Представленная ниже табл. 2.10 содержит информацию о ценах продажи и соответствующих издержках производства единицы полировочного и матового лаков.

Таблица 2.10

Лак	Цена продажи 1 кг, грн.	Издержки производства 1 кг, ср. ст.
Матовый Полировочный	13,0 16,0	9,0 10,0

Для производства 1 кг матового лака необходимо затратить 6 мин трудозатрат, а для производства одного кг полировочного лака – 12 мин. Резерв фонда рабочего времени составляет 400 чел.-час. в день. Размер ежедневного запаса необходимой химической смеси равен 100 кг, тогда как ее расход на один кг матового и полировочного лаков составляет 0,05 и 0,02 кг соответственно. Технологические возможности завода позволяют выпускать не более 3000 кг лака в день.

В соответствии с соглашением с основным оптовым покупателем компания должна поставлять ему 5000 кг матового лака и 2500 кг полировочного лака за каждую рабочую неделю (состоящую из 5 дней). Кроме того, существует профсоюзное соглашение, в котором оговаривается минимальный объем производства в день, равный 2000 кг. Администрации данной компании необходимо определить ежедневные объемы производства каждого вида лаков, которые позволяют получать максимальный общий доход.

Требуется построить и решить линейную модель для производственной проблемы, с которой столкнулась компания. Для исходной задачи (не учитывающей сверхурочные работы) определить промежуток изменения показателя единичного дохода за 1 кг полировочного лака, в котором исходное оптимальное решение остается прежним.

Вариант 11

Членов Ассоциации ученых Мидленда недавно уведомили, что их ассоциация получит государственные гранты на проведение исследований в соответствии с четырьмя основными исследовательскими проектами. Исполнительный директор ассоциации должен по каждому проекту назначить научного руководителя. В настоящее время эти обязанности можно возложить на одного из пяти исследователей – Адаме, Браун, Карр, Дэй и Иване. Время, требуемое для завершения каждого из исследовательских проектов, зависит от опыта и способностей исследователя, которому будет поручено руководство выполнением проекта. Исполнительному директору были представлены оценки времени выполнения проекта каждым из ученых (в днях).

Поскольку все четыре проекта обладают равным приоритетом в выполнении, исполнительный директор заинтересован в таком назначении научных руководителей, которое бы позволило свести к минимуму общее время (в днях), требуемое для завершения всех четырех проектов.

Таблица 2.11

Ученый-исследователь	Проект
Адаме
Браун
Карр
Дай
Иване

Используя данные табл. 2.11, определите оптимальный вариант назначения научных руководителей проектов и, следовательно, общее число дней, необходимое для завершения четырех проектов. Необходимо найти какие-либо другие варианты назначения, которые привели бы к тому же результату. Учитывая, что ученые Браун, Карр и Дэй отдают предпочтение проектам 2 и 3, а ученые Адаме и Иване – проектам 1 и 4, какой из имеющихся оптимальных вариантов назначения, принятый исполнительным директором, был бы наиболее разумным?

Вариант 12

Собственные средства банка вместе с депозитами в сумме составляют 100 млн долл. Часть этих средств, но не менее 35 млн долл., должна быть размещена в кредитах. Кредиты являются неликвидными активами банка, так как в случае непредвиденной потребности в наличности обратить кредиты в деньги без существенных потерь невозможно.

Ценные бумаги (особенно государственные) можно в любой момент продать. Поэтому существует правило, согласно которому коммерческие банки должны покупать в определенной пропорции ликвидные активы – ценные бумаги, чтобы компенсировать неликвидность кредитов. В нашем примере ликвидное ограничение таково: ценные бумаги должны составлять не менее 30% средств, размещенных в кредитах и ценных бумагах.

Найти оптимальный план работы банка с ценными бумагами и собственными средствами.

Вариант 13

Фабрика имеет в своем распоряжении определенное количество ресурсов: рабочую силу, деньги, сырье, оборудование, производственные площади и т.п. Допустим, ресурсы трех видов: рабочая сила, сырье и оборудование – имеются в количестве соответственно 80 (чел./дней), 480 (кг) и 130 (станко/час). Фабрика может выпускать ковры четырех видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого вида, и доходах, получаемых предприятием от единицы каждого вида товаров, приведена в табл. 2.12.

Таблица 2.12

Вид ресурса	Норма ресурсов на одно изделие	Ресурсы
Ковер «Лужайка»	Ковер «Силуэт»	Ковер «Детский»	Ковер «Дымка»
Труд Сырье Оборудование
Цена (тыс. грн.)

Найти оптимальный план выпуска продукции.

Вариант 14

Рацион для питания животных на ферме состоит из двух видов кормов 1 и 2. Один килограмм корма 1 стоит 80 ден. ед. и содержит 1 ед. жиров, 3 ед. белков, 1 ед. углеводов, 2 ед. нитратов. Один килограмм корма 2 стоит 10 ден. ед. и содержит 3 ед. жиров, 1 ед. белков, 8 ед. углеводов, 4 ед. нитратов.

Составить наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий жиров не менее 6 ед., белков не менее 9 ед., углеводов не менее 8 ед., нитратов не более 16 ед.

Вариант 15

На двух автоматических линиях выпускают аппараты трех типов. Другие условия задачи приведены в табл. 2.13.

Таблица 2.13

Тип аппарата	Производительность работы линии, шт. в сутки	Затраты на работу линий, ден. ед. в сутки	План, шт.
А В С

ЛБ4.

Транспортная задача

Контрольный пример

Фирма имеет 4 фабрики и 5 центров распределения ее товаров. Фабрики фирмы располагаются в Днепропетровске, Борисполе, Каховке и Запорожье с производственными возможностями 200, 150, 225 и 175 единиц продукции ежедневно соответственно. Центры распределения товаров фирмы располагаются в Львов, Запорожье, Луганск, Донецк и Ровно с потребностями в 100, 200, 50, 250 и 150 единиц продукции ежедневно соответственно. Хранение на фабрике единицы продукции, не поставленной в центр распределения, обходится в $0,75 в день, а штраф за просроченную поставку единицы продукции, заказанной потребителем в центре распределения, но там не находящейся, равен $2,5 в день. Стоимость перевозки единицы продукции с фабрик в пункты распределения приведена в табл. 2.14.

Необходимо так спланировать перевозки, чтобы минимизировать суммарные транспортные расходы.

Поскольку данная модель сбалансирована (суммарный объем произведенной продукции равен суммарному объему потребностей в ней), то в этой модели не надо учитывать издержки, связанные как со складированием, так и с недопоставками продукции. В противном случае в модель нужно было бы ввести:

Таблица 2.14

		Львов	Запорожье	Луганск	Донецк	Ровно
	Днепропетровск	1,50	2,00	1,75	2,25	2,25
	Борисполь	2,50	2,00	1,75	1,00	1,50
	Каховка	2,00	1,50	1,50	1,75	1,75
	Запорожье	2,00	0,50	1,75	1,75	1,75

t в случае перепроизводства - фиктивный пункт распределения, стоимость перевозок единицы продукции в который полагается равной стоимости складирования, а объемы перевозок объемам складирования излишков продукции на фабриках;

t в случае дефицита - фиктивную фабрику, стоимость перевозок единицы продукции с которой полагается равной стоимости штрафов за недопоставку продукции, а объемы перевозок - объемам недопоставок продукции в пункты распределения.

Для решения данной задачи построим ее математическую модель

Неизвестными в данной задаче являются объемы перевозок. Пусть х_ij- объем перевозок с i-й фабрики в j-й центр распределения. Функция цели - это суммарные транспортные расходы, т. е. где с_ij- стоимость перевозки единицы продукции с i-й фабрики j -й центр распределения.

Неизвестные в данной задаче должны удовлетворять следующим ограничениям:

t Объемы перевозок не могут быть отрицательными.

t Так как модель сбалансирована, то вся продукция должна быть вывезена с фабрик, а потребности всех центров распределения должны быть полностью удовлетворены.

В результате имеем следующую модель:

- минимизировать при ограничениях:

где a_ij – объем производства на i-й фабрике, b_j – спрос в j-м центре распределения.