Роль и значение графического метода в статистике

В результате сводки и дальнейшей обработки данных отчетности, различного рода обследований, переписей, наблюдений и т.п. экономист получает большое количество различных статистических показателей, которые он располагает в виде таблиц. Примене­ние табличного метода значительно облегчает ориентацию в материале. Однако из этого не следует, что можно ограничиться одними таблицами. Для того чтобы сделать даль­нейший шаг в понимании материала, надо от табличного метода перейти, к графическому.

Графиком в статистикеназывается условные изображения статистических дан­ных в виде различных геометрических образов: точек, линий, фигур и т.п. Главное досто­инство графиков ‑ наглядность.

В статистике графики используются, во-первых, в целях широкой популяризации данных и для облегчения их восприятия неспециалистами. Поэтому в различного рода докладах, речах и сообщениях представление статистических данных часто осуществляет­ся при помощи графиков. Графики облегчают ознакомление масс со статистическими данными, оживляют таблицу, делают ее более доступной. Во-вторых, графики широко ис­пользуются для обобщения и анализа статистических данных. Они находят большое при­менение в исследовательской работе. Именно при помощи графиков легче уяснить зако­номерности развития, распределения и размещения явлений. При помощи графиков в ряде случаев можно сделать выводы, которые на базе табличного метода были бы затрудни­тельными. В-третьих, надо еще указать и на контрольное значение графиков. Под этим следует понимать тот факт, что во многих случаях различного рода ошибки и неточности выявляются при применении графиков, т.е. они иногда являются контролером точности расчётов и вычислений.

В настоящее время графики прочно вошли в практику экономического анализа в связи с внедрением в статистическую работу новых математических методов и современ­ной вычислительной техники на базе ПЭВМ, с использованием пакетов прикладных про­грамм компьютерной графики. Наиболее распространёнными пакетами прикладных про­грамм являются: «Excel», «Stat Graff», «Super call», «Hazard graphics» и др. Эти программы облегчают задачу исследователя в практическом применении графиков, так как с помо­щью дисплеев можно демонстрировать графики на световом экране, при необходимости оперативно изменяя в них одни данные, вводя другие и т. д. Такого рода графики в прин­ципе могут заменить громоздкие таблицы компактными изображениями.

Графики различаются по своему виду, и задача состоит в том, чтобы найти наибо­лее подходящий график. Нужно научиться правильно пользоваться орудием графического метода при изображении статистических данных. Кроме этого, график надо уметь стро­ить, понимать принцип его построения. В противном случае можно выбрать правильный график, но сделать его таким, что он исказит действительную картину.

Несмотря на большое разнообразие статистических графиков, существуют общие правила их построения.

При построении графика важно найти такие способы изображения, которые наи­лучшим образом отвечают содержанию и логической природе изображаемых показателей.

В графике, кроме заголовка, обязательно даются словесные пояснения условных знаков и смысла отдельных элементов графического образа. Сюда относятся названия и цифры масштабов, названия ломаных линий, цифры, характеризующие величины отдель­ных частей графика, ссылки на источники и т.д.

Для графического представления статистических данных используется самые разнообразные виды графиков их можно классифицировать по разным признакам: характеру графического образа, способу построения и назначению (содержанию).

По способу построения графики можно разделить на диаграммы и статистические карты (рис. 7.1).

Различные виды диаграмм применяются для сравнения одноименных статистиче­ских данных, характеризующих разные территории или объекты. Наиболее распростра­нённым видом таких диаграмм являются столбиковые диаграммы.Они представляют собой график, в котором различные величины представлены расположенными в высоту прямоугольниками. Столбиковые диа­граммы применяются для сравнения некоторых объектов во времени.

Масштабная шкала должна начинаться с нуля, быть непрерывной и на ней записы­ваются лишь круглые или округленные значения.

Столбики должны быть даны на некотором, одинаковом для всех расстоянии или вплотную друг к другу. Ширина столбиков берется произвольно. На шкале должна быть указана единица измерения. При выборе масштаба надо рассчитать так, чтобы максимальное число было представлено на графике.

Рис. 7.1 Классификация статистических графиков по способу построения и содержанию изображаемых данных

Пример.Требуется изобразить с помощью столбиковой диаграммы данные о тру­доустройстве граждан органами государственной службы занятости региона (цифры ус­ловные): в 2007 г. трудоустроено 2822 чел.; в 2006 г. – 2398 чел.; в 2005 г. – 2406 чел.; в 2004 г. – 2218 чел. Примем масштаб: 500 чел. Наглядность данной диаграммы достигается сравнением высоты столбиков (рис. 7.2).

Рис. 7.2 Динамика трудоустройства граждан органами государственной службы занятости в регионе за 2004-2007 гг.

Если прямоугольники, изображающие показатели, расположить не по вертикали, а по горизонтали, то диаграмма получит название ленточной.В качестве примера приведем полосовую диаграмму сравнения, характеризующую данные о количестве сотрудников на предприятии N за 2009 г. (рис. 7.3, табл. 7.1,)

.

Рис.7.3 ‑ Динамика количества сотрудников на предприятии N за 4 квартала 2009 г.

Таблица 7.1 ‑ Данные о количестве сотрудников на предприятии N за 2009 гг.

квартал
количество работников , чел

Вторую большую группу показательных графиков составляют структурные диаграммы. Это такие диаграммы, в которых отдельные статистические совокупности сопоставляются по их структуре, характеризующейся соотношением разных параметров совокупности или ее отдельных частей.

Пример.Рассмотрим построение секторной диаграммы по данным табл. 5.4 .

Таблица 7.2 ‑ Структура иностранных инвестиций в РФ в 2002 г

Тип инвестиций	прямые	портфельные	прочие
Доля инвестиций, в %

Рис. 7.4 ‑ Удельный вес иностранных инвестиций в РФ за 2002 г.

Секторные диаграммы выглядят убедительно при существенных различиях сравниваемых структур, а при небольших различиях они могут быть не достаточно выразительны.

Для изображения и внесения суждений о развитии явления во времени строится диаграммы динамики. В рядах динамики используются для наглядного изображения явлений многие диаграммы: столбиковые, ленточные, квадратные, круговые, линейные, радиальные и другие. Выбор вида диаграмм зависит в основном от особенностей исходных данных, от цели исследования. Например, если имеется ряд динамики с неравноотстоящими уровнями во времени (1913, 1940, 1950, 1980, 2000, 2005 гг), то часто для наглядности используют столбиковые, квадратные или круговые диаграммы. Они зрительно впечатляют, хорошо запоминаются, но не годны для изображения большого числа уровней, так как громоздки, и если число уровней в ряду динамики велико, то целесообразно применять линейные диаграммы, которые воспроизводят непрерывность процесса развития в виде непрерывной ломаной линии.

Для построения линейных диаграмм используют систему прямоугольных координат. Обычно по оси абсцисс откладывается время (годы, месяца и т.д.), а по оси ординат наносят масштабы для отображения явлений или процессов. Особое внимание следует обратить на масштаб осей координат, так как от этого зависит общий вид графика. Обеспечение равновесия, пропорциональности между осями координат необходимо в диаграмме, так как нарушение равновесия дает неправильное изображение развития явления. Если масштаб для шкалы на оси абсцисс очень растянут по сравнению с масштабом на оси ординат, то колебание в динамике явлений мало выделяются, и наоборот, преувеличение масштаба по оси ординат по сравнению с масштабом на оси абсцисс дает резкие колебания. Если в ряду динамики данные за некоторые года отсутствуют, это должно быть учтено при построении графика. Равным периодом времени и размером уровня должны соответствовать равные отрезки масштабной шкалы.

Пример.Рассмотрим построение линейной диаграммы на основании следующих данных:

Таблица 7.3 ‑ Динамика валового сбора кормовых в регионе за 1995-2004 гг.

Год
Валовой сбор, млн тонн

Изображение динамики валового сбора кормовых культур на координатной сетке с неразрывной шкалой значений, начинающихся с нуля, вряд ли целесообразно, так как 2/3 поля диаграммы остается неиспользованным и ничего не дает для выразительности изображения. Поэтому в данных условиях рекомендуется строить шкалу без вертикального нуля, то есть шкала значений разрывается недалеко от нулевой линии и на диаграмму попадает лишь часть возможного поля графика. Это не приводит к искажениям в изображении динамики явления и процесс его изменения рисуется диаграммой более четко (7.5).

Рис. 7.5 ‑. Динамика валового сбора кормовых культур в регионе за 1995-2004 гг.

Контрольные задания

По данным статистических сборников о численности населения, динамики производства отдельных видов продукции и др. показателям за последние 5-10 лет постройте диаграммы и графики.

Обобщающие показатели

Абсолютные величины

Исходной, первичной формой выражения статистических показателей являются показатели в абсолютном выражении или абсолютные величины. Статистические показа­тели в форме абсолютных величин характеризуют абсолютные размеры изучаемых стати­стикой процессов и явлений, а именно их массу, площадь, объем, протяженность, отра­жают их временные характеристики, а также могут представлять объем совокупности, т.е. число составляющих ее единиц.

Индивидуальные абсолютные показатели, как правило, получают непосредственно в процессе статистического наблюдения как результат замера, взвешивания, подсчета и оценки интересующего количественного признака. В ряде случаев индивидуальные абсо­лютные показатели имеют разностный характер: разность между численностью работни­ков предприятия на конец и на начало года, разность между выручкой от реализации предприятия и общей суммой затрат и т.п.

Сводные абсолютные показатели, характеризующие объем признака или объем совокупности как в целом по изучаемому объекту, так и по какой-либо его части, получа­ют в результате сводки и группировки индивидуальных значений. К таким показателям относятся общая численность занятых в отрасли, совокупные активы коммерческих бан­ков региона и т.п.

Абсолютные статистические показатели всегда являются именованными числа­ми. В зависимости от социально-экономической сущности исследуемых явлений, их физических свойств они выражаются в натуральных, стоимостных или трудовых еди­ницах измерения.

В международной практике используются такие натуральные единицы измерения, как тонны, килограммы, квадратные, кубические и простые метры, мили, километры, гал­лоны, литры, штуки и т.д. Например, производство электроэнергии в России в 2003 г. со­ставило 915 млрд. кВт-ч, за этот же год добыто 408 млн. т нефти и 620 млрд. куб. м газа.

В группу натуральных также входят условно-натуральные измерители, используе­мые в тех случаях, когда какой-либо продукт имеет несколько разновидностей и общий объем можно определить только исходя из общего для всех разновидностей потребитель­ского свойства. Так, различные виды органического топлива переводятся в условное топ­ливо с теплотой сгорания 29,3 МДж/кг (7000 ккал/кг), мыло разных сортов ‑ в условное мыло с 40%-ным содержанием жирных кислот, консервы различного объема ‑ в условные консервные банки объемом 353,4 куб. см и т.д.

Перевод в условные единицы измерения осуществляется на основе специальных коэффициентов, рассчитываемых как отношение потребительских свойств отдельных раз­новидностей продукта к эталонному значению. Так, например, 100 т торфа, теплота сго­рания которого ‑ 24 МДж/кг, будут эквивалентны 81,9 т условного топлива (100 × 24,0/29,3), а 100 т нефти при теплоте сгорания 45 МДж/кг будут оцениваться в 153,6 т ус­ловного топлива (100 × 45,0/29,3).

В отдельных случаях для характеристики какого-либо явления или процесса одной единицы измерения недостаточно, и используется произведение двух единиц. Примером этому могут служить такие показатели, как грузооборот и пассажирооборот, оцениваемые соответственно в тонно-километрах и пассажиро-километрах, производство электроэнер­гии, измеряемое в киловатт-часах и т.д.

В условиях рыночной экономики наибольшее значение и применение имеют стои­мостные единицы измерения, позволяющие получить денежную оценку социально-экономических явлений и процессов. Так, одним из важнейших стоимостных показателей в системе национальных счетов, характеризующим общий уровень развития экономики страны, является валовой внутренний продукт, который в России за 1 квартал 2003 года составил 2893 млрд. рублей.

При анализе и сопоставлении стоимостных показателей необходимо иметь в виду, что в условиях высоких или относительно высоких темпов инфляции они становятся не­сопоставимыми. Так, сравнивать ВВП России за 2008 год с его величиной, например, за 1998 год вряд ли целесообразно, так как содержание рубля за этот период существенно изменилось. Для того, чтобы произвести подобные сравнения, там где это возможно, осу­ществляют пересчет в сопоставимые цены.

К трудовым единицам измерения, позволяющим учитывать как общие затраты тру­да на предприятии, так и трудоемкость отдельных операций технологического процесса, относятся человеко-дни и человеко-часы.

Относительные величины

Относительный показатель представляет собой результат деления одного абсолют­ного показателя на другой и выражает соотношение между количественными характери­стиками социально-экономических процессов и явлений. Поэтому, по отношению к абсо­лютным показателям, относительные показатели или показатели в форме относительных величин являются производными, вторичными. Без относительных показателей невозмож­но измерить интенсивность развития изучаемого явления во времени, оценить уровень раз­вития одного явления на фоне других взаимосвязанных с ним явлений, осуществить про­странственно-территориальные сравнения, в том числе и на международном уровне.

Относительные показатели могут выражаться в коэффициентах, процентах, про­милле, продецимилле или быть именованными числами. Если база сравнения принимает­ся за 1, то относительный показатель выражается в коэффициентах, если база принимается за 100, 1000, то относительный показатель соответственно выражается в про­центах (%), промилле (‰) и т.д.

Все используемые на практике относительные статистические показатели можно подразделить на следующие виды:

1)Относительный показатель динамики(ОПД) представляет собой отношение уровня исследуемого процесса или явления за данный период времени (по состоянию на данный момент времени) к уровню этого же процесса или явления в прошлом:

(8.1)

2)Относительные показатели плана и реализации плана (ОПП) и (ОПРП).Все субъекты финансо­во-хозяйственной деятельности, от небольших индивидуальных частных предприятий и до крупных корпораций, в той или иной степени осуществляют как оперативное, так и стратегическое планирование, а также сравнивают реально достигнутые результаты с ра­нее намеченными. Для этой цели используются относительные показатели плана (ОПП) и реализации плана (ОПРП):

(8.2)

(8.3)

Первый из этих показателей характеризует относительную высоту планового уров­ня, т.е. во сколько раз намечаемый объемный показатель превысит достигнутый уровень или сколько процентов от этого уровня составит. Второй показатель отражает фактиче­ский объем производства или реализации в процентах или коэффициентах по сравнению с плановым уровнем.

Предположим, оборот торговой фирмы в 2008 г. составил 3,0 млн. руб. Исходя из проведенного анализа складывающихся на рынке тенденций, руководство фирмы считает реальным в следующем году довести оборот до 3,6 млн. руб. В этом случае относитель­ный показатель плана, представляющий собой отношение планируемой величины к фактически достигнутой, составит 120% .

Предположим теперь, что оборот фирмы за 2009 г. составил 3,8 млн. руб. Тогда относительный показатель реализа­ции плана, определяемый как отношение фактически достигнутой величины к ранее запланированной, составит 105,6%

Между относительными показателями плана, реализации плана и динамики суще­ствует следующая взаимосвязь: .

В нашем примере: или .

Основываясь на этой взаимосвязи, по любым двум известным величинам при необ­ходимости всегда можно определить третью неизвестную величину.

3)Относительный показатель структуры (ОПС)представляет собой соотношение струк­турных частей изучаемого объекта и их целого:

(8.4)

Таблица 8.1 ‑ Структура валового внутреннего продукта РФ в 1 квартале 2010 г. (цифры условные)

Структура ВВП	Объем
млрд. руб.	% к итогу
ВВП – всего в том числе: - производство товаров - производство услуг - чистые налоги на продукты		31,7 56,5 11,8

Рассчитанные в последней графе данной таблицы проценты представляют собой относительные показатели структуры (в данном случае ‑ удельные веса). Сумма всех удельных весов всегда должна быть строго равна 100% или 1.

4) Относительный показатель координации(ОПК)представляет собой отношение одной части совокупности к другой части этой же совокупности:

(8.5)

При этом в качестве базы сравнения выбирается та часть, которая имеет наиболь­ший удельный вес или является приоритетной с экономической, социальной или какой-либо другой точки зрения. В результате получают, во сколько раз данная часть больше базисной или сколько процентов от нее составляет, или сколько единиц данной структур­ной части приходится на 1 единицу (иногда ‑ на 100, 1000 и т.д. единиц) базисной струк­турной части. Так, на основе данных приведенной выше таблицы 5 мы можем вычис­лить, что на каждый рубль произведенных товаров приходится 1,8 руб. произведенных услуг ( ) и 0,4 руб. чистых налогов на продукты ( ).

5)Относительный показатель интенсивности(ОПИ)характеризует степень распростра­нения изучаемого процесса или явления и представляет собой отношение исследуемого показателя к размеру присущей ему среды:

(8.6)

Данный показатель получают сопоставлением уровней двух взаимосвязанных в своем развитии явлении. Поэтому, наиболее часто он представляет собой именованную величину, но может быть выражен и в процентах, промилле, продецимилле.

Обычно относительный показатель интенсивности рассчитывается в тех случаях, когда абсолютная величина оказывается недостаточной для формулировки обоснованных выводов о масштабах, явления, его размерах, насыщенности, плотности распределения. Так, например, для определения уровня обеспеченности населения легковыми автомобилями рассчитывается число автомашин, приходящихся на 100 семей, для определения плотности населения рассчитывается число людей, приходящихся на 1 кв. км.

Так, по данным социальной статистики на конец 2008 г. общая численность зарегистрированных безработных в РФ составляла 1,552 млн. чел., а экономически активное население – 75,892 млн. чел.

Отсюда следует, что уровень безработицы составлял 2,05% ( %).

Разновидностью относительных показателей интенсивности являются относи­тельные показатели уровня экономического развития, характеризующие производство продукции в расчете на душу населения и играющие важную роль в оценке развития эко­номики государства или региона. Так как объемные показатели производства продукции по своей природе являются интервальными, а показатель численности населения ‑ моментным, в расчетах используют среднюю за период численность населения (предположим, среднегодовую).

Например, рассматривая лишь абсолютный размер ВВП России (в текущих ценах) на конец 2008 года (41668034 млн. руб.), трудно оценить эту величину. Для того, чтобы на основе данной цифры сделать вывод об уровне развития экономики, необходимо со­поставить ее со среднегодовой численностью населения страны (142,1 млн.чел), кото­рая в простейшем случае рассчитывается как полусумма численности населения на начало и на конец года. В результате годовой размер ВВП на душу населения составит

293,2 тыс.руб. = ,

Рассчитаем ВВП в 2001 г., размер ВВП составлял

62,6 тыс.руб. = .

6) Относительный показатель сравнения (ОПСр)представляет собой соотношение одно­именных абсолютных показателей, характеризующих разные объекты (предприятия, фир­мы, районы, области, страны и т.п.):

(8.7)

Для выражения данного показателя могут использоваться как коэффициенты, так и проценты.

Например, согласно официальным статистическим данным, инвестиции в основной капитал в РФ в 2002 г. за счет средств федерального бюджета составили 81,6 млрд. руб., бюджетов субъектов Федерации и местных бюджетов ‑ 184,5 млрд. руб., средств пред­приятий ‑ 653,1 млрд. руб. Таким образом можно сделать вывод, что инвестиции за счет средств предприятий в 8 раз превышали инвестиции из средств федерального бюджета и в 3,5 раза превышали инвестиции из бюджетов субъектов Федерации и местных бюджетов и .

Средние величины

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, является средняя величина, представляющая собой обоб­щенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в кон­кретных условиях места и времени. Показатель в форме средней величины выражает ти­пичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности. Широкое применение средних объясняется тем, что они имеют ряд положи­тельных свойств, делающих их незаменимым инструментом анализа явлений и процессов в экономике.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака от­дельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множест­ва факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Например, курс акций корпорации в основном определяется финансовыми результатами ее деятельности. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учи­тываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенно­стей, присущих отдельным единицам.

В статистике используются различные виды средних величин. Наиболее часто применяются средняя арифметическая, гармоническая, геометрическая и квадратическая. Выбор той или иной средней зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять.

Указанные средние величины могут быть вычислены, либо когда каждый вариант совокупности встречается только один раз, при этом средняя называется простой или невзвешенной, либо когда варианты повторяются различное число раз, при этом число повторений вариантов называется частотой, или статистическим весом, а средняя, вычисленная с учетом весов, – средней взвешенной.

Средняя арифметическая простая – самый распространенный вид средней величины, рассчитывается по формуле

(8.8)

Средняя арифметическая взвешенная (8.9)

где х_i – вариант, а f_i – частота или статистический вес.

Пример. Обследование пяти кабинетов первого этажа офиса показало, что в них работает 1, 2, 3, 4, 5 человек. Рассчитаем среднюю арифметическую простую

т.е. в среднем на один кабинет первого этажа приходится 3 человека.

Результаты обследования всех кабинетов этого же здания приведены в табл. 8.2.

Таблица 8.2 – Результаты обследования офисного здания

Количество работающих хi	Количество кабинетов fi	хifi
Итого

Вычислим среднее число сотрудников, работающих в данном здании:

т.е. в среднем на 2 кабинета в этом здании приходится 7 сотрудников.

Среднеарифметическая – всегда обобщающая количественная характеристика варьирующего признака совокупности.

Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда приходится суммировать не сами варианты, а обратные им величины.

Формула средней гармонической простой представлена ниже:

(8.10)

Средняя гармоническая взвешенная определяется по формуле

(8.11)

где x_i – вариант, n – количество вариантов, V_i – веса для обратных значений x_i.

Пример. Средняя гармоническая невзвешенная.Эта форма средней, используемая значи­тельно реже, чем взвешенная. Для иллюстрации области ее применения воспользуемся упрощенным условным примером. Предположим, в фирме, специализирующейся на торговле по почте на основе предварительных заказов, упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 5 мин., второй – 15 мин. Каковы средние затраты времени на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна?

На первый взгляд, ответ на этот вопрос заключается в осреднении индивидуальных значений затрат времени на 1 заказ, т.е. (5+15):2=10, мин. Проверим обоснованность тако­го подхода на примере одного часа работы. За этот час первый работник обрабатывает 12 заказов (60:5), второй – 4 заказа (60:15), что в сумме составляет 16 заказов. Если же заме­нить индивидуальные значения их предполагаемым средним значением, то общее число обработанных обоими работниками заказов в данном случае уменьшится:

Подойдем к решению через исходное соотношение средней. Для определения средних затрат времени необходимо общие затраты времени за любой интервал (на­пример, за час) разделить на общее число обработанных за этот интервал двумя ра­ботниками заказов:

Если теперь мы заменим индивидуальные значения их средней величиной, то об­щее количество обработанных за час заказов не изменится:

заказов.

Подведем итог: средняя гармоническая невзвешенная может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значения Wj для единиц совокупности равны (в рассмот­ренном примере рабочий день у сотрудников одинаковый).

Пример. Средняя гармоническая взвешенная.В ходе торгов на валютной бирже за первый час работы заключено пять сделок. Данные о сумме продажи рублей и курсе рубля по отношению к доллару США приведены в табл.8.3.

Таблица 8.3 – Данные о ходе торгов на валютной бирже

Номер сделки	Сумма продажи V, млн руб.	Курс рубля x, руб. за 1 дол.	V/x
	175,0 127,5 208,0 106,0 122,5	25,0 25,5 26,0 26,5 24,5	7,0 5,0 8,0 4,0 5,0
	739,0	-	29,0

Для того чтобы определить средний курс рубля по отношению к доллару, нужно найти соотношение между суммой продажи рублей, которые затрачены на покупку долларов в ходе всех сделок, и суммой приобретенных в результате этих сделок долларов.

т.е. средний курс за один доллар составил 25,48 руб.

Если бы для расчета среднего курса была использована средняя арифметическая, т.е. руб.. за один доллар, то по данному курсу на покупку 29 млн дол. нужно было бы затратить 739,5, что не соответствует действительности.

Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака обычно представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин как отношение каждого уровня ряда к предыдущему уровню.

Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле

(8.12)

Если использовать частоты m, получим формулу средней геометрической взвешенной

(8.13)

Средняя квадратическая применяется, когда изучается вариация признака. В качестве вариантов используются отклонения фактических значений признака либо от средней арифметической, либо от заданной нормы.

Для несгруппированных данных используют формулу средней квадратической простой

(8.14)

Для сгруппированных данных используют формулу средней квадратической взвешенной

(8.15)

Средние арифметическая, гармоническая, геометрическая и квадратическая, рассчитанные для одного и того же ряда вариантов, отличаются друг от друга. Их численное значение возрастает с ростом показателя степени в формуле степенной средней, т.е. – правило мажорантности средних А.Я. Боярского.

Структурные средние

Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными средними являются мода и медиана.

Мода – это величина признака (варианта), который наиболее часто встречается в данной совокупности, т.e. это варианта, имеющая наибольшую частоту. В дискретном ряду мода определяется в соответствии с определением, т.е. это одна из вариант признака, которая в ряду распределения имеет наибольшую частоту. Для интервального ряда моду находим по формуле (8.16), сначала по наибольшей частоте определив модальный интервал:

(8.16)

где х_о – начальная (нижняя) граница модального интервала;

h – величина интервала;

f_Мо – частота модального интервала;

f_Мо-1 – частота интервала, предшествующая модальному;

f_Мо+1– частота интервала следующая за модальным.

Медианой называется такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда, т.е. в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значение признака больше медианы, другая – меньше медианы.

В дискретном ряду медиана находится непосредственно по накопленной частоте, соответствующей номеру медианы.

В случае интервального вариационного ряда медиану определяют по формуле

(8.17)

где х_о – нижняя граница медианного интервала;

N_Ме– порядковый номер медианы (Σf/2);

S _Me-1 – накопленная частота до медианного интервала;

f_Me – частота медианного интервала.

Пример. Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 8.4.

Таблица 8.4 – распределение семей города по размеру среднедушевого дохода в январе 2008 г.

Группы семей по размеру дохода, руб	Число семей	Накопленные частоты	Накопленные частоты, в % к итогу
До 5000
5000-6000		1300(600+700)
6000-7000		3000(1300+1700)
7000-8000
8000-9000
9000-10000
Свыше 10000
Итого		-	-

Найдем моду по формуле (8.16):

Рассчитаем медиану по формуле (8.17):

сначала находится N медианы: N_Ме = Σf_i/2= 5000. По накопленным частотам определим, что 5000 находится в интервале (7000 – 8000), ее значение определим по формуле:

Вывод: по моде – наиболее часто встречается среднедушевой доход в размере 7730 руб., по медиане – что половина семей города имеет среднедушевой доход ниже 7800 руб., остальные семьи – более 7800 руб.

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если М₀<М_е<Х – имеет место правосторонняя асимметрия, при Х<М_е<М₀ следует сделать вы­вод о левосторонней асимметрии ряда.

Контрольные задания.

1. Какова роль относительных величин в статистике?

2. Какие существуют формы выражения относительных величин?

3. Каково значение средних величин в статистике?

4. Какие виды средних величин применяются в статистике?

5. В каких случаях применяются средняя гармоническая, квадратическая, геометрическая?

6. По данным табл. 8.5 определить моду и медиану.

Таблица 8.5 – Распределение торговых предприятий города по уровню розничных цен на товар А

Цена, руб.	Число торговых предприятий
Всего

7. По данным табл. 8.6 определить средний возраст персонала

Таблица 8.6 – Распределение сотрудников предприятия по возрасту

Возраст (лет)	Число сотрудников (чел.)
до 25 25-30 30-40 40-50 50-60 60 и более
Итого:

8. По табл.8.7 определить средний стаж работы: а) рабочих; б) служащих

Таблица 8.7 – Распределение работников по стажу работы