Методи лінійного програмування

Економічні завдання, що вирішуються із застосуванням лінійного програмування, характеризуються альтернативністю розв'язків і певними обмежуючими умовами. Вирішити таке завдання означає обрати з альтернативних варіантів кращий, оптимальний. Важливість і цінність використання в економіці методу лінійного програмування полягає у тому, що оптимальний варіант обирається з доволі значної кількості альтернативних варіантів. За допомогою інших способів вирішувати такі задачі практично неможливо. Методи лінійного програмування застосовуються для вирішення багатьох екстремальних задач, з якими досить часто доводиться мати справу в економіці. Розв'язок передбачає знаходження граничних значень (максимуму і мінімуму) деяких функцій змінних величин.

Для вирішення економічних завдань математичними методами, насамперед слід побудувати адекватну математичну модель, тобто формалізувати мету та умови завдання у вигляді математичних функцій, рівнянь та (або) нерівностей.

У загальному випадку математична модель оптимізаційного завдання має вигляд:

Якщо цільова функція та функції, які входять до системи обмежень, лінійні відносно невідомих, які входять до задачі, така задача називається задачею лінійного програмування. Якщо ж цільова функція або система обмежень не лінійна, така задача називається задачею нелінійного програмування.

Лінійне програмування базується на вирішенні системи лінійних рівнянь (з перетворенням на рівняння і нерівності), коли залежність між явищами, що вивчаються, лише функціональна. Для нього характерне математичне вираження змінних величин, певний порядок, послідовність розрахунків (алгоритм), логічний аналіз. Застосовувати його можна лише у тих випадках, коли змінні величини та фактори, що вивчаються, мають математичну визначеність і кількісну обмеженість, коли в результаті відомої послідовності розрахунків відбувається взаємозамінність факторів, коли логіка в розрахунках, математична логіка поєднуються з логічно обґрунтованим розумінням сутності явища, що вивчається.

Лінійне програмування об'єднує методи вирішення завдань, які описуються лінійними рівняннями:

1) складання оптимального плану виробництва;

2) вибір структури інвестицій;

3) складання розкладу;

4) маршрутизація перевезень.

Нелінійне програмування об'єднує методи вирішення завдань, які описуються нелінійними співвідношеннями.

Для вирішення задач лінійного та нелінійного програмування можуть бути використані персональні комп'ютери (ПК).

За допомогою цього методу розраховується оптимальна загальна продуктивність машин, агрегатів, поточних ліній (при заданому асортименті продукції та інших заданих величинах), вирішується задача раціонального розподілу матеріалів (з оптимальним виходом заготовок).

У сільському господарстві він використовується для визначення мінімальної вартості кормових раціонів при заданій кількості кормів (за видами і поживними речовинами, що в них містяться).

Методи динамічного програмування.

Методи динамічного програмування застосовуються при вирішенні задач оптимізації, в яких цільова функція або обмежена, або характеризується нелінійними залежностями. Ознаками нелінійності є, зокрема, наявність змінних, у яких показник ступеня відрізняється від одиниці, а також наявність змінної в показнику ступеня, під коренем, лід знаком логарифму.

Приклади нелінійних залежностей доволі різноманітні. Наприклад, економічна ефективність виробництва зростає або спадає непропорційно до змін масштабів виробництва; величина витрат на виробництво партії деталей зростає у зв'язку зі збільшенням розмірів партії, але не пропорційно їм. Це пов'язано з тим, що витрати поділяються на змінні та умовно-постійні.

Відомо, що собівартість зі збільшенням обсягу виготовленої продукції знижується, але при порушенні ритмічності виробництва вона може і зростати (за рахунок оплати понаднормових робіт в кінці звітного періоду). Тут витрати виражаються нелінійною функцією від обсягу виробництва.

Нелінійним зв'язком характеризуються величини зносу виробничого обладнання залежно від часу його роботи, витрати бензину (на 1 км шляху) - від швидкості руху автотранспорту та багато інших господарських операцій.

ТЕМА 6