НЕ 2.3. Багатокритеріальні оптимізація

1. Загальна постановка та основні властивості багатокритеріальної задачі. Приклади задач багатокритеріальної оптимізації.

2. Основні підходи і методи розв’язування задач багатокритеріальної оптимізації.

3. Діалогові процедури багатокритеріальної оптимізації.

1. Загальна постановка та основні властивості багатокритеріальної задачі. Приклади задач багатокритеріальної оптимізації.

На відміну від класичної оптимізаційної задачі, яка полягає у знаходженні максимуму або мінімуму деякої на­перед відомої дійсної цільової функції на заданій множині допустимих планів, у багатокритеріальній задачі вже з самого початку висувається вимога одночасної оптимізації декількох цільових функцій. Скажімо, якщо при плану­ванні виробничої програми бажано забезпечити, щоб при­буток був якнайбільшим, охоплений виготовленою продукцією певний сегмент ринку - теж якнайбільшим, а витрати на оплату праці робітників - якнайменшими, то йдеться саме про багатокритеріальну задачу.

Отже, у загальному випадку під задачею багатокритеріальної оптимізації розуміється така задача оптимізації, в якій є декілька цільових функцій. Якщо обмеження присутні у постановці, тоді відповідна задача багатокритеріальної оптимізації називається задачею з обмеженнями; якщо відсутні – задачею без обмежень.

У загальному вигляді математична постановка задачі багатокритеріальної оптимізації може бути сформульована у такому вигляді:

Якщо розглядати припущення про характер цільової функції, то можна отримати спеціальні класи задач багатокритеріальної оптимізації.

Дослідження багатокритеріальної задачі проводитимемо у припущенні, що множина допустимих планів є непорожньою, обмеженою та замкненою підмножиною евклідіва вимірного простору , а кожна з дійсних цільових функцій визначеною та неперервною на .

Проблеми багатокритеріальної оптимізації на скінченній множині альтернатив, а також більшість реальних лінійних, нелінійних та цілочислових (дискретних) багатокритеріальних задач вписуються у наведену загальну постановку.

Неефективні, ефективні та абсолютно-оптимальні плани; їх властивості. Об’єктивне зіставлення між собою двох довільних допустимих планів та багатокритеріальної задачі здійснюється порівнянням їх оцінок та .

Оцінкоюдопустимого плану називається такий вимірний вектор , кожний з компонентів якого дорівнює значенню відповідної цільової функції при плані .

Порівняння допустимих планів багатокритеріальної задачі. Нехай маємо два допустимих плани та , векторні оцінки яких дорівнюють, відповідно, та . Будемо говорити, що:

1) рівноціннийдо , якщо = ;

2) не є рівноцінним до , якщо ;

3) переважніший від , якщо ;

4) суворо переважніший від , якщо ;

5) непорівняльний з , якщо .

Зверніть увагу, що правила (1) – (5) порівняння допустимих планів є об’єктивними та виходять із постановки багатокритеріальної задачі, без додаткового звертання за інформацією про систему переважань ОПР.

Допустимий план багатокритеріальної задачі називається:

1) неефективним, якщо існує принаймні один допустимий план, суворо переважніший від ;

2) ефективним, якщо не існує жодного допустимого плану, суворо переважнішого від ;

3) абсолютно-оптимальним, якщо він переважніший (хоча б у нестрогому розумінні) від довільного допустимого плану.

Абсолютно-оптимальні плани, коли вони існують, забезпечують одночасне досягнення кожною з цільових функцій свого максимально можливого значення на множині допустимих планів. Тому у випадку, коли множина абсолютно-оптимальних планів непорожня, довільний її елемент можна взяти за розв’язок багатокритеріальної задачі. Усі абсолютно-оптимальні плани рівноцінні між собою. Кожний з абсолютно-оптимальних планів водночас є ефективним, причому інших ефективних планів, відмінних від абсолютно-оптимальних, у даному разі не існує.

Коли ж множина абсолютно-оптимальних планів багатокритеріальної задачі порожня (а такі випадки трапляються найчастіше), вибір розв’язку задачі слід обмежити множиною її ефективних планів. Цей висновок випливає з таких властивостей багатокритеріальної задачі:

- множина ефективних планів непорожня;

- довільний неефективний план завжди можна замінити принаймні одним таким ефективним планом, який суворо переважніший вихідного неефективного плану.

2. Основні підходи і методи розв’язування задач багатокритеріальної оптимізації.

Особливість багатокритеріальної задачі полягає в тому, що коли множина її абсолютно-оптимальних планів порожня, то тоді множина ефективних планів обов’язково міститиме елементи, які непорівнянні між собою. Точніше, будь-який ефективний план обов’язково буде кращим від деякого другого ефективного плану хоча б за однією з цільових функцій і водночас гірший від цього другого плану принаймні за одною іншою цільовою функцією. Виникає проблема – який саме з непорівнянних між собою ефективних планів слід обрати за розв’язок багатокритеріальної задачі. Це є проблема вибору розв’язку багатокритеріальної задачі, вирішити яку без залучення додаткової інформації – про правило вибору – неможливо.

Джерелом додаткової інформації про правило вибору є система переважань ОПР. Відзначимо, що ОПР завжди має певну систему переважань, на основі якої вона здійснює вибір розв’язку задачі, навіть якщо наявність такої системи не завжди чітко усвідомлюється. Інколи система переважань може саме формуватися в процесі дослідження конкретної задачі. З часом вона може і зміню­ватись. У будь якому разі система переважань ОПР та інфор­мація про неї під час дослідження задачі уточнюються або змінюються з надходженням додаткових відомостей про властивості задачі. Додатковий аспект проблеми полягає в тому, що часто належним чином формалізувати переважан­ня ОПР просто неможливо (мабуть, правильніше говорити про той чи інший ступінь апроксимації, а не про точне відбиття тими чи іншими засобами системи переважань ОПР). Тому у кожному випадку після знаходження певного ефективного плану, який начебто відповідає правилу вибо­ру та системі переважань ОПР, потрібно ще раз перекона­тись, чи відповідає цей план запитам ОПР і, в разі необхідності, здійснити корекцію інформації про систему переважань ОПР та правило вибору, а також корекцію знай­деного ефективного плану. Отже, стосовно багатокритеріальної оптимізації принциповим є те, що вона здійснюється, як правило, у формі відповідних діалогових процедур, з активною участю ОПР у процесі дослідження задачі та пошуку (виборі) її розв’язку.

Методика попереднього дослідження багатокритеріальної задачі. Вибір розв’язку багатокритеріальної задачі здійснюється з обов’язковою учас­тю ОПР, яка перетворюється на активного учасника про­цесу пошуку розв’язку та відіграє вирішальну роль у завершенні цього процесу. Необхідність активної участі ОПР для здійснення багатокритеріального вибору зумо­вила бурхливий розвиток діалогових процедур багаток­ритеріальної оптимізації. Такі процедури являють собою циклічний процес взаємодії ОПР та ЕОМ. Складні обчис­лювальні функції цього процесу реалізуються за допомо­гою ЕОМ, а аналітичні дослідження, які здійснюються на основі здобутої ЕОМ інформації про задачу, виконує ОПР. Протягом діалогу ОПР виконує начебто дві функції. По-перше, ця Особа вивчає властивості конкретної задачі, що розв’язується; по-друге, з’ясовує або уточнює власні пе­реважання та сповіщає додаткову інформацію, завдяки якій ЕОМ виробляє дедалі досконаліші рекомендації.

Обмеженість часу, що його має ОПР для діалогу, може бути серйозною перешкодою для успішного завер­шення процесу пошуку розв’язку. Тому одним із засобів, які дозволяють скоротити загальну тривалість діалогу, є максимальне вивчення певних властивостей конкретної багатокритеріальної задачі, яку потрібно розв’язати, ще до початку діалогу з ОПР. Зауважимо, що таке дослід­ження потребує проведення складних розрахунків, але може здійснюватись без участі ОПР. На наш погляд, по­переднє дослідження багатокритеріальної задачі корисно здійснювати завжди, незалежно від того, яку саме діало­гову процедуру знаходження розв’язку буде реалізовано далі. Більш того, інформація про особливості конкретної задачі може виявитись корисною і для вибору найбільш придатної процедури пошуку її розв’язку.

Отже, ми розглядаємо багатокритеріальну задачу:

де множина допустимих планів вважається непорож­ньою, обмеженою та замкненою підмножиною евклідового вимірного простору , а кожна з дійсних цільових функцій визначеною та неперервною на множині .

Серед практичних задач, які вписуються у зазна­чену постановку, є, зокрема, задачі багатокритеріального вибору серед скінченної кількості альтернатив, а також переважна більшість задач лінійного, нелінійного та дис­кретного багатокритеріального програмування.

Визначення основних складових попередньо­го дослідження. Вибір розв’язку багатокритеріальної задачі треба здійснювати лише з множини її ефективних планів. Це означає, що основним елементом попереднього дослідження багатокритеріальної задачі є відсів неефек­тивних планів, тобто визначення (або, принаймні, апрок­симація) множини ефективних планів.

Узагальненими характеристиками множини ефек­тивних планів багатокритеріальної задачі є діапазони зміни на ній значень кожної з цільових функцій. Підкрес­лимо, що йдеться про діапазони варіації кожної з цільо­вих функцій саме на множині ефективних, а не на вихідній множині допустимих планів багатокритеріальної задачі, щодо якої ефективні плани виступають лише як її деяка підмножина.

Інформація про діапазони зміни значень цільових функцій на множині ефективних планів дає подвійний результат. З одного боку, якщо коливання кожної з цільо­вих функцій на цій множині дорівнюватимуть нулю, то це свідчитиме про те, що всі ефективні плани рівноцінні між собою і, як наслідок, проблема вибору може бути вирішена однозначно без участі ОПР, оскільки кожний з ефективних планів є одночасно абсолютно-оптимальним. З іншого боку, інформація про ненульові коливання при­наймні деяких з цільових функцій на множині ефектив­них планів дозволить зробити висновок про необхідність залучення ОПР до пошуку розв’язку задачі. Окрім цього, інформація про коливання цільових функцій на множині ефективних планів дає можливість ОПР звернути серйоз­ну увагу саме на ті критерії, які апріорі здавались їй менш важливими порівняно з іншими, якщо оцінки ефективних планів за цими критеріями мають дуже великі діапазони зміни і включають дуже погані оцінки для окремих ефек­тивних планів. Тому другим елементом попереднього дос­лідження багатокритеріальної задачі є отримання інформації про діапазони зміни значень кожної із цільо­вих функцій множині ефективних планів.

Наявність ненульових коливань на множині ефек­тивних планів принаймні у деяких з цільових функцій свідчить про те, що серед допустимих планів відсутні еле­менти, які були б переважнішими (хоча б у несуворому розумінні) від усіх інших допустимих планів, а серед ефек­тивних планів обов’язково існують елементи, непорів­нянні між собою. Аналіз відношення непорівняльності між допустимими планами дозволяє зробити висновок, що коли один з планів переважає деякий інший за певними критер­іями оптимальності, то тоді цей інший план обов’язково переважає перший за деякими з решти критеріїв. Причому в разі, коли множина абсолютно-оптимальних планів по­рожня, який би з ефективних планів ми не обрали, завж­ди існуватиме інший, непорівнянний з обраним ефективний план. Ось чому для остаточного вибору по­трібна участь ОПР.

Залежність між зміною значень цільових функцій при переході від одного ефективного плану до іншого може бути монотонною у тому розумінні, що покращення по­казника за певним критерієм оптимальності або обов’яз­ково викликає погіршення показника за конкретним іншим критерієм (негативний зв’язок, який завжди має місце у двокритеріальних задачах), або супроводжується покра­щенням показника за певним третім критерієм оптималь­ності (позитивний зв’язок). Визначення пар (груп) монотонно зв’язаних між собою на множині ефективних планів критеріїв оптимальності, з характеристикою типу взаємозв’язку між ними, допомагає ОПР зосередити ува­гу саме на тих критеріях, зміни значень показників за яки­ми вона вважатиме визначальними, що також спрощуватиме процес подальшого пошуку розв’язку багатокритеріальної задачі. Отже, вивчення взаємозв’язку у поведінці цільових функцій на множині ефективних планів слід теж розглядати як один з елементів поперед­нього дослідження багатокритеріальної задачі.

Підбиваючи підсумки вищевикладеного, можна зробити висновок, що важливими складовими поперед­нього (перед початком діалогу з ОПР) дослідження бага­токритеріальної задачі виступають такі:

1) відсів множини неефективних та визначення (апроксимація) множини ефективних планів;

2) обчислення діапазонів зміни значень цільових функцій на множині ефективних планів;

3) визначення існування пар (груп) монотонно взаємозв’язаних між собою на множині ефективних планів цільових функцій та типу зв’язку між ними.

Доцільно передбачити, щоб вся інформація про властивості конкретної задачі, що підлягає розв’язуван­ню, готувалась у вигляді, зрозумілому та якомога зручні­шому для ОПР.

Оскільки не існує єдиного універсального критерію економічної ефективності, то досить часто вдаються до розгляду багатокритеріальної оптимізації. Хоча задача математичного програмування передбачає одну цільову функцію, розроблено математичні методи, що дають змогу будувати компромісні плани, тобто здійснювати багатокритеріальну оптимізацію.

Найчастіше способи використання багатьох критеріїв у задачах ма­тематичного програмування зводяться до штучного об’єднання кіль­кох вибраних показників в один. Наведемо кілька таких способів.

Нехай у задачі обрано m критеріїв оптимальності . Загальний критерій може мати вигляд суми окремих показників ефективності з відповідними коефіцієнтами:

, (1)

де — додатні чи від’ємні коефіцієнти. Додатні коефіцієнти відповідають тим критеріям, які потрібно максимізувати, а від’єм­ні — тим, які мінімізуються. Абсолютні значення коефіцієнтів відповідають пріоритету (важливості) того чи іншого показника.

Наприклад, якщо розв’язується виробнича задача, то з додатними коефіцієнтами ввійдуть такі величини, як обсяг прибутку, отриманого від реалізації товарів та послуг, з від’ємними — витрати ресурсів (часу, праці), собівартість одиниці продукції.

Узагальнений критерій може подаватись у вигляді дробу, де в чисельнику знаходиться добуток показників, які необхідно максимізувати, припустимо , а в знаменнику — добуток тих, які потрібно мінімізувати :

(2)

Загальним недоліком критеріїв (1), (2) є те, що існує можливість недостатню ефективність одного критерію компенсувати іншим. Наприклад, зниження значення виконання попередніх замовлень (в (2) буде в чисельнику) може компенсуватися зменшенням використання ресурсів (знаменник дробу (2)). Оскільки окремі величини в чисельнику та знаменнику пропорційно зменшилися, то значення дробу не змінюється, проте складені на основі таких розрахунків плани можуть призвести до негативних наслідків.

Такі критерії порівнюють із запропонованим Львом Толстим жартома «критерієм оцінки людини» у вигляді дробу, де в чисельнику зазначають справжні достоїнства людини, а у знаменнику — її думку про себе. Отже, якщо людина майже немає достоїнств (чисельник дробу буде малим числом) і водночас у неї зовсім відсутня зарозумілість (в знаменнику — майже нуль), то вона буде мати нескінченно велику цінність (оскільки будь-яке число, поділене на нескінченно малу величину, дає нескінченність).

Отже, до використання зазначених способів формування цільових функцій необхідно підходити зважено та продумано.

Ще один метод запропонував І. Никовський. Оптимальний план знаходять окремо за кожним з вибраних критеріїв, після чого отримують множину значень цільової функції . На останньому етапі розв’язується початкова задача з одним критерієм виду:

, (3)

де — значення i-го критерію оптимальності в оптимальному компромісному плані. За такого підходу розв’язок задачі визначається за критерієм, що дорівнює мінімальному значенню модулів часток відхилень значень кожної цільової функції у комп­ромісному плані від їх оптимальних значень у їх же оптимальних значеннях, що робить всі критерії однаково важливими. Для врахування переваг одних критеріїв над іншими доцільно застосовувати узагальнений критерій такого виду:

. (4)

Недоліками цих двох способів є, по-перше, жорстке співвідношення між значеннями відхилень критеріїв оптимальності, що значно звужує множину допустимих планів; по-друге, одному значенню деякого критерію може відповідати множина інших, причому таких, за яких оптимальний план з економічного погляду ефективніший; по-третє, відсутня методика об’єктивного визначення коефіцієнтів .

Багатоцільовий підхід до вирішення комерційних, економічних, фінансових, планових, управлінських та інвестиційних задач відрізняється від одноцільового не тільки кількістю критеріїв, що використовуються, але і якісно. Різниця виявляється у методології отримання оптимального рішення задачі. У більшості випадків під результатом вирішення багатоцільової задачі розуміють не якийсь конкретний план, а сукупність планів. Така ситуація принципово відрізняється від випадку множини оптимальних планів по моделі одно цільової задачі, оскільки тут рішенням вважаються будь-які оптимальні плани, еквівалентні між собою по даному критерію. У багатоцільовій постановці задачі еквівалентність по всім використаним у моделі критеріям може бути досягнута лише у особливому випадку. Множину всіх ефективних планів, що одержують при застосуванні методології векторної оптимізації, назв. множиною Парето, а плани – оптимальними по Парето.

Поява множини планів, оптимальних по Парето, породжує проблему вибору єдиного робочого плану з метою його наступного практичного використання. Ця проблема може вирішуватися за допомогою різних спеціальних методів, в залежності від структури та змісту економічної, фінансової, планової, управлінської чи інвестиційної задачі. Проблема вибору ефективного рішення багатокритеріальної задачі обумовлює виникнення деяких додаткових проблем, які не мають аналогів в теорії однокритеріальної оптимізації. Основними з них є визначення області рішень, оптимальних по Парето; визначення принципу оптимальності; приведення критеріїв до єдиного масштабу виміру; визначення ступеня вагомості критеріїв.

Багатоцільовий підхід до вирішення оптимізаційних задач можна розглядати як двоетапний процес. На першому етапі будується багатоцільова економіко-математична модель задачі, а на другому – розробляється (або обирається з вже відомих) метод її реалізації.

Всю множину підходів до рішення задач векторної оптимізації можна розділити на наступні групи:

1. Оптимізація ієрархічної послідовності критеріїв якості.

2. Визначення множини рішень, яку неможливо покращити.

3. Визначення рішення, яке ґрунтується на тому чи іншому виді компромісу.

Методика попереднього дослідження для ви­падку скінченної множини допустимих планів, пода­ної явно. Розглянемо спочатку методику попереднього дослідження багатокритеріальної задачі для випадку, коли множина допустимих планів є скінченною. Часто елемен­ти такої множини можна подати у явному вигляді:

Якщо множина допустимих планів може бути по­даною явно, то відсів неефективних планів та визначення множини ефективних планів легко здійснити на ЕОМ попарним порівнянням допустимих планів. Неефективні плани, які з’являтимуться у процесі порівнянь, можна відкидати, залишаючи для подальших попарних порівнянь лише вже знайдені до поточного моменту ефективні пла­ни та такі, перевірку яких ще повністю не закінчено.

Використання методики для випадків неявно поданої або нескінченної множини допустимих планів. Звернемося тепер до задачі, в якій множина допустимих планів або не задана в явному вигляді, або не є скінчен­ною. Такі випадки типові для багатокритеріальних задач математичного програмування. У цих випадках здійсню­вати відсів неефективних планів або дуже складно, або неможливо. Тому для отримання інформації про множи­ну ефективних планів потрібно використати інший підхід.

Методи багатокритеріальної оптимізації:

1) Методи, що зводять багатокритеріальну задачу до однокритеріальної:

Ø Метод вагових множників;

Ø Метод епсілон-обмежень;

2) Методи, які не зводять локальні критерії у скалярні суперкритерії, зокрема:

Ø Метод справедливого компромісу;

Ø Метод наближення до ідеального рішення;

Ø Метод послідовних поступок.

3. Діалогові процедури багатокритеріальної оптимізації.

Сукупність діалогових процедур для розв’язування багатокритеріальних задач можна розподілити на два основних класи. Перший клас охоплює процедури, в яких переважання ОПР відбивається шляхом введення до задачі додаткових обмежень. Ці обмеження стосуються таких припустимих значень цільових функцій, які ОПР вважає задовільними. Другий клас утворюють методи, які засновані на припущенні про існування функції цінності (корисності), що відбиває переважання ОПР.

Представниками методів першого класу виступають метод послідовних поступок, метод обмежень , методи з одночасним введенням критеріальних обмежень. До методів другого класу відносяться, наприклад, методи лінійної апроксимації функції корисності, метод стохастичної апроксимації градієнта функції корисності.

1. Метод послідовних поступок. Метод передбачає, що ОПР з самого початку може упорядковувати всі цільові функції за зменшенням їх відносної вагомості. Після цього здійснюється багатокрокова діалогова процедура. На черговому - му кроці спочатку ЕОМ обчислює максимальне значення - ї за вагомістю цільової функції на множині таких з доступних планів, які задовольняють вимоги ОПР стосовно значень вагоміших цільових функцій, що були визначені на попередніх кроках. Відповідний ефективний план (а точніше – його оцінка ) сповіщається ОПР. Далі ОПР має або погодитись з рекомендацією вибирати цей план за розв’язок багатокритеріальної задачі, або вказати таке значення поступки за - м критерієм, якого можна припуститися з метою покращання показників за менш вагомими критеріями.

Метод послідовних поступок не обмежує можливостей ОПР щодо вибору розв’язку багатокритеріальної задачі. Проте, якщо ОПР на перших кроках обере занадто малі поступки, то це може призвести наприкінці до неприпустимого низьких значень показників за апріорі менш вагомими критеріями. Навпаки, якщо на перших кроках ОПР обере дуже великі поступки, то це може призвести до планів з низькими показниками за більш вагомими критеріями. У таких випадках доведеться повторно реалізувати всю процедуру, що значно збільшуватиме тривалість діалогу з ОПР. Тому метод послідовних поступок доцільно застосовувати тоді, коли кожний черговий критерій оптимальності є настільки вагомішим від наступного, що ОПР на кожному кроці може обмежитись дослідженням попарного зв’язку лише між суміжних за вагомістю цільовими функціями. В інших випадках краще скористатись методами, що будуть наведені далі.

2. Метод обмежень. Він також являє собою багатокрокову процедуру діалогу ОПР – ЕОМ. На черговому - му кроці ЕОМ обчислює поточну “ідеальну” оцінку. Її компонентами є максимальні значення окремо кожної з цільових функцій на множині тих з допустимих планів, які задовольняють раніше введені критеріальні обмеження. Одночасно ЕОМ розшукує деякий ефективний план , який задовольняє ці обмеження. Дані ОПР порівнює оцінку цього ефективного плану з поточною “ідеальною” оцінкою. ОПР або погоджується з вибором плану , або має назвати критерій, за якими, на її погляд, досягнуте значення є найгіршим. ОПР також вказує на таке значення показника цим критерієм, яке вона вважає задовільним. Ця інформація вводиться в ЕОМ, і процес триває далі. Виявляється, що коли ОПР не змінюватиме своїм переважань щодо припустимих значень показників за тими критеріями, які були нею опрацьовані на попередніх кроках, то тоді розв’язок задачі буде знайдено не більш ніж за кроків діалогової процедури.

3. Метод одночасного введення критеріальних обмежень. Цей метод, на відміну від попередніх, дозволяє ОПР на кожному кроці вводити критеріальні обмеження одночасного за усіма критеріями оптимальності. Далі ЕОМ визначає, чи існують плани, які задовольняють усі критеріальні обмеження. Якщо такі плани є, то серед них розшукується найближчий до поточної “ідеальної” оцінки. Якщо ж планів, які задовольнятимуть усі критеріальні обмеження, немає, то ЕОМ розшукує нові, пропорційні до зазначених ОПР, припустимі рівні значень цільових функцій, знаходить відповідний ефективний план та сповіщає знайдену інформацію ОПР. Коли ОПР не погоджується з виробленими рекомендаціями, вона має вказати нові рівні значень показників за відповідними критеріями оптимальності, які були б меншими (принаймні за одним критерієм) від попередніх – це забезпечує збіжність процедури за скінчену кількість кроків.

4. Метод лінійної апроксимації функції цінності. Метод ефективно використовується для задач з вгнутими (за вимог максимізації) та неперервно диференційованими цільовими функціями, множина допустимих планів в яких являє собою многогранник, заданий системою лінійних рівнянь і/або нерівностей.

5. Метод стохастичної апроксимації градієнта функції корисності. Основна ідея методу полягає а тому, що коли залучити поряд з ‑ вимірною оцінкою чергового наближення зміщену оцінку , де ‑ досить мале додатне число, а ‑ реалізація випадкового ‑ вимірного вектора, рівномірно розподіленого на одиничній кулі, то тоді новий вектор

де з точністю до сталого додатного множника в середньому збігається з градієнтом функції корисності. Це дає можливість використовувати випадкові напрямки у схемах методів проектування стохастичних квазіградієнтів або стохастичний лінеаризації.

Стохастичні методи характеризуються відносно високою стійкістю щодо можливих помилок ОПР, проте можуть вимагати значної кількості ітерації, що не завжди є прийнятними для ОПР.

Методи багатокритеріальної оптимізації, які наведено в цьому підрозділі, не вичерпують всього арсеналу підходів до розв’язування задач з декількома цільовими функціями. Ми вважаємо, що для усіх випадків рекомендувати якусь одну з процедур неправильно. Кожний з методів має певні переваги та недоліки, тому бажано мати можливість в кожному конкретному випадку навіть переходити від одного методу до іншого щоб реалізувати найбільш адекватний підхід з погляду діалогу з ОПР.