Индивидуальные и общие индексы

В зависимости от степени охвата единиц изучаемой совокупности индексы делятся на индивидуальные и общие (сводные).

Индивидуальный индекс -это относительный показатель,отражающий изменение отдельного элементасложнойсовокупности.

Например, индивидуальный индекс характеризует изменение цены одного определенного тура среди всех реализуемых туров.

Динамику признаков по отдельным элементам совокупности за два сравниваемых периода можно оценить с помощью индивидуальных индексов. Приведем формулы некоторых индивидуальных индексов:

- индивидуальный индекс физического объема (количества) продукции (услуг);

- индивидуальный индекс цены;

- индивидуальный индекс стоимости продукции (товарооборота);

- индивидуальный индекс себестоимости единицы продукции (услуг);

- индивидуальный индекс производительности труда;

- индивидуальный индекс трудоемкости.

Таким образом, индивидуальные индексы представляют собой относительные показатели динамики или темпы роста. Могут рассчитываться в цепной или базисной формах по данным за несколько периодов.

Все индивидуальные индексы показывают, каково соотношение между отчетным и базисным показателями или во сколько раз изменилась (увеличилась или уменьшилась) индексируемая величина. Результат расчета индексных отношений выражается в процентах или коэффициентах. Например, индивидуальный индекс стоимости продукции показывает, во сколько раз изменилась стоимость продукции (услуг) в текущем периоде по сравнению с базисным периодом. Аналогично следует трактовать и другие индексы.

Индивидуальный индекс получается при сравнении двух величин. Поэтому при расчете индивидуальных индексов следует соблюдать следующие требования сопоставимости этих величин:

· одинаковая методология расчетов;

· однокачественность сравниваемых величин;

· одна и та же территория.

Для расчета индексов по всей совокупности единиц используются общие (сводные) индексы.

Общий (сводный) индекс - это относительный показатель, характеризующий изменение сложного социально-экономического явления, состоящего из непосредственно несоизмеримых элементов (различные виды продукции, товарные группы и т.д.).

Элементы сложного социально-экономического явления несопоставимы (в физических единицах), и поэтому непосредственно суммироваться не могут. Следовательно, чтобы рассчитать общие индексы, необходимо несоизмеримые составные элементы совокупности выразить их общей мерой - стоимостью. С этой целью используется агрегатная форма сводных индексов.

Общие индексы рассчитываются в виде агрегатных и средних индексов.

Агрегатные индексы

Агрегатные индексыявляются исходной формой общего индекса.

Агрегатный индекс – это: 1) это сложный относительный показатель, характеризующий среднее изменение социально-экономического явления, состоящего из несоизмеримых элементов; 2) общий индекс, полученный путем сопоставления итоговых количественных показателей, выражающих сложное явление в отчетном и базисном периодах с помощью соизмерителей.

Агрегатная форма индекса содержит два элемента:

1) индексируемую величину;

2) вес (соизмеритель), который позволяет соизмерить разнородные элементы совокупности.

В числителе и знаменателе агрегатного индекса изменяется лишь значение индексируемой величины, а соизмеритель остается постоянным, и фиксируется на уровне текущего или базисного периода. Это необходимо для того, чтобы не искажать оценку изменения индексируемой величины.

В результате, числитель и знаменатель агрегатного индекса представляет собой сумму произведений двух величин, одна из которых меняется (индексируемая величина), а другая - остается неизменной в числителе и знаменателе (вес индекса).

В качестве соизмерителей индексируемых величин могут использоваться:

· цена единицы продукции (услуг);

· количество продукции;

· себестоимость единицы продукции;

Таким образом, для построения агрегатного индекса необходимо определить:

- индексируемую величину, изменение которой показывает индекс;

- состав разнородных элементов сложного явления, по которым необходимо определить индекс;

- вес (соизмеритель) индексируемой величины, который позволяет: 1) выразить в одинаковых единицах измерения неоднородную продукцию, не подлежащую непосредственному суммированию; 2) определить объем изучаемой продукции в отчетном и базисном периодах.

Выбор соизмерителя зависит от исходной инфор­мации и от цели исследования. При этом универсальное значение имеют стоимостные соизмерители.

При выборе веса индекса используют следующее правило: при построении индекса количественного (объемного) по­казателя используются веса ба­зисного периода; при построении индекса качественного по­казателя используются веса отчетного периода.

Необходимость построения индексов количественных показа­телей возникает в случае, если итоги по отдельным элемен­там сложного явления непосредственно несоизмеримы. Например, если имеются данные о выпуске предприятием разнородной про­дукции (услуг) в натуральном выражении, то динамику выпуска в целом нельзя охарактеризовать отношением . Для сравнения объемов выпуска разных видов продукции (услуг) в отчетном и базисном периодах необходимо привести данные к единой, общей мере (например, к стоимостной оценке продукции). Тогда вместо получим где р - цена единицы продукции (услуги). Умножая цену р на количество продук­ции , и суммируя произведения, получим общий объем выпущен­ной продукции.

К агрегатным индексам качественных показателей относятся: - агрегатный индекс цен; - агрегатный индекс себестоимости; - агрегатный индекс трудоемкости; - агрегатный индекс производительности труда (выработки).

Рассмотрим построение агрегатного индекса на примере индексов физического объема , цены и стоимости продукции .

Агрегатный индекс физического объема продукции:

,

где - объем продукции соответственно в отчетном и базисном периоде; - цена единицы товара в базисном периоде; условная стоимость продукции отчетного периода в базисных ценах; фактическая стоимость продукции базисного периода в базисных ценах.

Индекс показывает относительное изменение стоимости продукции за счет изменения объема (количества) проданной продукции. В этом индексе индексируемой величиной является количество продукции в натуральном выражении, а весом (соизмерителем) – цена базисного периода. В качестве весов берутся цены базисного периода , так как индекс физического объема является индексом количественного показателя.

Так как числитель и знаменатель агрегатных индексов имеют экономический смысл, в статистическом анализе используются из разности. Например, разность числителя и знаменателя индекса физического объема продукции показывает абсолютное изменение общей стоимости продукции за счет изменения ее объема .

Замечание. При построении агрегатного индекса физического объема могут использоваться и другие соизмерители, например, себестоимость единицы продукции базисного периода :

.

Разность числителя и знаменателя индекса показывает абсолютное изменение общих затрат (издержек) на производство в связи с изменением количества продукции.

Агрегатный индекс стоимости продукции (товарооборота) :

,

где стоимость продукции отчетного периода;

стоимость продукции базисного периода.

Данный индекс показывает относительное изменение стоимости продукции в текущем периоде по сравнению с базисным периодом, как за счет изменения цены , так и за счет изменения количества (объема) отдельных товаров. Таким образом, в индексе вес отсутствует.

Величина показывает абсолютное изменение стоимости продукции.

При выборе весов индекса цен существуют два варианта: индекс Пааше и индекс Ласпейреса.

Агрегатный индекс цен :

(индекс Пааше),

где фактическая стоимость продукции текущего периода;

условная стоимость продукции, реализованной в текущем периоде по базисным ценам.

Индекс Пааше показывает относительное изменение стоимости продукции двух периодов за счет изменения цен . Этот индекс характеризует влияние изменения цен на стоимость продукции, реализованную в отчетном периоде. Индексируемой величиной является цена товара, а весом – количество продукции текущего периода . В качестве весов берется количество продукции текущего периода , так как индекс цены является индексом качественного показателя.

Величина показывает абсолютное изменение общей стоимости продукции за счет изменения цен.

Разность между числителем и знаменателем данного индекса показывает абсолютную экономию (перерасход) средств от снижения (увеличения) цен на продукцию:

В этой связи числитель и знаменатель агрегатного индекса цен можно интерпретировать с точки зрения потребителей. Числитель показывает сумму денег, фактически уплаченную покупателями за товары, приобретенные в текущем периоде. Знаменатель показывает сумму, которую бы заплатили покупатели за те же товары, если бы цены не изменились. При положительной разности числителя и знаменателя индекса возникает экономия населения, а при отрицательной – перерасход населения от изменения цен .

Замечание. В 1864 г. немецкий экономист Э. Ласпейрес предложил в качестве весов использовать продукцию базисного периода :

(индекс Ласпейреса),

где фактическая стоимость продукции базисного периода;

возможная стоимость продукции при ее продаже по новым ценам.

Индекс Ласпейреса показывает влияние изменения цен на стоимость продукции, реализованную в базисном периоде.

Разность не представляет практического интереса, так как показывает прирост стоимости продукции при ее продаже в базисном периоде по ценам текущего периода.

Как правило, при расчетах индекс Ласпейреса больше, чем индекс Пааше. Это объясняется тем, что индексы характеризуют различные качественные особенности изменения цен. Индекс цен Пааше показывает, насколько товары в текущем периоде стали дороже (дешевле) по сравнению с базисным периодом. Индекс цен Ласпейреса показывает, во сколько бы раз подорожали (подешевели) товары из-за изменения цен на них в отчетном периоде.

Также в экономическом анализе достаточно часто используется ещё один вид агрегатного индекса цен - индекс Лоу (общий индекс на средних весах):

, где

В этой формуле в качестве соизмерителя используется средний физический объем продаж . Индекс Лоу используется в расчетах, связанных с закупкой или реализацией товаров в течение длительного периода (по долгосрочным контрактам). Он показывает, во сколько раз в среднем изменился бы объем продаж за счет изменения цен.

Сфера применения индексов зависит от цели исследования. Например, индекс Пааше применяется в случае совместного рассмотрения с индексами стоимости и физического объема продукции. Индекс Ласпейреса применяется для характеристики среднего изменения цен на потребительские товары (потребительскую корзину). В частности, по формуле индекса цен Ласпейреса рассчитывается индекс потребительских цен (ИПЦ). Индекс покупательской способности рубля определяется по формуле .

Замечание. При расчетах следует помнить, что по умолчанию применяется индекс цен Пааше, т.е. индекс с весами текущего периода.

Замечание. По данным о количестве продукции и себестоимости отдельных видов продукции за два периода можно рассчитать агрегатный индекс себестоимости:

.

В этом индексе индексируемой величиной является себестоимость отдельных товаров , а весами – продукция отчетного периода

Индекс себестоимости показывает относительное изменение общих затрат (издержек) на производство за счет изменения себестоимости отдельных товаров.

Числитель индекса отражает затраты на производство продукции отчетного периода, а знаменатель – величину затрат на производство продукции отчетного периода при уровне себестоимости базисного уровня.

Разность между числителем и знаменателем данного индекса показывает сумму экономии (перерасхода) средств от снижения (увеличения) себестоимости продукции:

Средние индексы

Общие индексы могут быть представлены не только в агрегатной форме, но и другим способом – путем вычисления средней величины из индивидуальных индексов.

При расчете индексов часть необходимой информации может отсутствовать или базироваться на результатах выборочного наблюдения. Поэтому агрегатная форма общих индексов не применяется. В этом случае используется другая форма общих индексов – средневзвешенные индексы.

Таким образом, средний индекс – это индекс, вычисленный как средняя величина из индивидуальных индексов. Средний индекс всегда равен агрегатному индексу.

Средние индексы используются, когда отсутствуют данные по динамике признаков, но есть их относительное изменение. Средние индексы выводятся из агрегатных индексов и должны быть тождественны им. Для этого необходимо, чтобы слагаемые знаменателя агрегатного индекса были весами индивидуальных индексов.

На практике средние индексы рассчитываются в форме среднего арифметического и среднего гармонического индексов.

Средний арифметический индекс применяется в случае, если известно готовое произведение (выручка от реализации продукции) только базисного периода и изменение индивидуального индекса. Все преобразо­вания производятся в числителе агрегатного индек­са.

Преобразуем агрегатный индекс физического объема продукции в тождественную ему форму средних индексов:

; , .

Таким образом, общий индекс физического объема продукции может быть выражен в форме средней арифметической из индивидуальных индексов физического объема продукции, взвешенных по стоимости продукции базисного периода :

- средний арифметический индекс физического объема продукции.

Среднегармонический индекс применяется в случае, если известно готовое произведение (выручка от реализации продукции), а также изменение индивидуального индекса. Все преобразо­вания производятся в знаменателе агрегатного индекса.

Преобразуем агрегатный индекс цены продукции в тождественную ему форму средних индексов:

; ,

Таким образом, общий индекс цены продукции может быть выражен в форме средней гармонической из индивидуальных индексов цены продукции, взвешенных по стоимости продукции текущего периода :

- средний гармонический индекс цены продукции.

При построении средних индексов следует руководствоваться следующим правилом: для индекса количественного показателя используют формулу среднего арифметического индекса; для индекса качественного показателя (цена, себестоимость и т.д.) – формулу среднего гармонического индекса.

Например, запишем формулы среднего арифметического индекса физического объема продукции и среднего гармонического индекса себестоимости

Средний арифметический индекс производительности труда определяется по формуле:

.

Учитывая, что , можно перейти к агрегатному индексу трудоемкости продукции, в котором весами являются общие затраты времени на производство продукции в текущем периоде.

В средней арифметической форме также рассчитывается индекс производительности труда по трудоемкости, известный как индекс С.Г. Струмилина:

.

Индекс Струмилина показывает относительное изменение производительности труда.

Также средние индексы используются для анализа рынка ценных бумаг (индексы Доу-Джонса, Стэндарда и Пура).

9.5. Индексный анализ средних величин: индексы постоянного, переменного составов и структурных сдвигов

Индексы позволяют проанализировать изменения средних величин. При изучении динамики качественных показателей приходится определять изменение средней величины индексируемого показателя.

При этом на изменение средней величины показателя одновременно могут влиять два фактора:

1. изменение значений индексируемого показателя ( ) у отдельных единиц;

2. изменение состава (структуры) совокупности ( ), т.е. весов.

Под изменением структуры явления понимается изменение доли отдельных единиц совокупности в общей их численности ( ). Например, средняя зарплата может вырасти за счет роста оплаты труда сотрудников или за счет увеличения доли высокооплачиваемых сотрудников. Так как на изменение средней величины показателя влияют два фактора , то необходимо определить степень влияния каждого из них на общую динамику средней.

Поэтому, индексный метод в статистике также применяется для решения следующих задач:

· изучение динамики средних величин;

· выявление факторов, влияющих на динамику средних величин.

Динамику среднего уровня качественного показателя для одно­родной совокупности статистика изучает с помощью системы трех взаимосвязанных индексов:

· индекс переменного состава ;

· индекс постоянного состава ;

· индекс структурных сдвигов .

Индекс переменного состава представляет собой соотношение средних величин показателя в текущем и базисном периодах.

В связи с тем, что средние величины рассчи­тываются, как правило, по формуле средней арифметической взве­шенной, то индекс переменного состава для любых качественных показателей может быть построен следующим образом:

.

Он характеризует динамику средне­го показателя в однородной совокупности за счет влияния двух факторов:

1) изменение индексируемой величины у отдель­ных единиц совокупности;

2) изменение структуры совокупности по изучаемому признаку (весов ).

Индекс постоянного (фиксированного) составаотражает динамику среднего показателя лишь за счет изменения индексируемой величины при фиксировании весов на уровне отчетного периода . В общем виде данный индекс можно записать следующим образом:

.

Индекс постоянного состава может быть рассчитан и в агрегатной форме:

Индекс структурных сдвиговотражает динамику среднего показателя лишь за счет изменения весов при фиксировании индексируемой величины на уровне базисного периода .

.

Индекс структурных сдвигов можно получить, разделив индекс переменного состава на индекс постоянного состава:

.

Этот индекс показывает, в какой степени изменение средней величины индексируемого показателя произошло за счет изменения структуры совокупности.

Таким образом, индексы переменного, постоянного состава и структурных сдвигов взаимосвязаны следующей формулой:

Если в качестве весов (соизмерителей) использовать показатели доли единиц совокупности в ее общей численности , то система индексов может быть писана в следующем виде:

где , - доли отдельных единиц во всей совокупности в базисном и отчетном периодах соответственно ( ).

Система индексов средних величин строится для изучения динамики среднего уровня цен, себестоимости, рентабельности, заработной платы, производительности труда, фондоотдачи и других признаков.

Также с помощью индексов средних величин можно отразить абсолютное измене­ние среднего уровня показателя за счет отдельных факто­ров. Например, общий абсолютный прирост (уменьшение) среднего уровня показателя в целом по совокупности находится как разность числителя и знаменателя индекса переменного состава:

Абсолютное изменение среднего уровня показателя в целом по совокупности можно показать за счет:

1) изменения значений индексируемого показателя (индекс постоянного состава):

;

2) изменения структуры совокупности (индекс структурных сдвигов):

;

В общем виде разложение индексов имеет вид:

.

Рассмотрим применение индексного метода для анализа динамики средней цены . При изучении динамики средней цены на однородную продукцию (услуги), реализуемую на разных рынках, можно рассчитать следующие индексы:

Индекс переменного состава:

где: , .

Данный индекс показывает, относительное изменение средней цены определенного вида товара, реализованного по разным ценам и на разных рынках за счет двух факторов:

- изменения цен на отдельных рынках;

- изменения количества (доли) товаров , реализованных на разных рынках.

Индекс постоянного состава:

Этот индекс отражает среднее изменение цен на данный товар на всех рынках путем устранения влияния структурного фактора на динамику средних цен.

Индекс структурных сдвигов: .

Этот индекс отражает изменение средней цены товара за счет структурного фактора, т.е. за счет изменения долей продукции, реализованной по разным ценам.

На основе данных индексов можно рассчитать абсолютное изменение средней цены в целом и за счет изменения отдельных факторов.

Абсолютное изменение средней цены за счет изменения индивидуальных цен и за счет изменения структуры совокупности (производства продукции):

Абсолютное изменение средней цены за счет изменения индивидуальных цен при условии постоянства структуры совокупности (производства продукции):

Абсолютное изменение средней цены за счет изменения структуры совокупности (производства продукции):

Тогда общее изменение средней цены составит:

Индексы средних величин взаимосвязаны следующим образом:

Аналогично можно оценить динамику средней себестоимости, производительности труда, заработной платы.

Цепные и базисные индексы

При анализе динамики явлений часто приходится сопоставлять индексы, рассчитанные более чем за два периода. Поэтому возникает необходимость построения индексов за ряд последовательных периодов, которые образуют индексные системы. Системой индексов называется ряд последовательно построенных индексов.

В зависимости от выбора базы сравнения возможно по­строение системы цепных и базисных индексов.

Цепные индексы (с переменной базой сравнения) получают пу­тем сопоставления индексируемого показателя каждого последую­щего периода с показателем предшествующего ему периода.

Базисные индексы (с постоянной базой сравнения) рассчиты­вают путем сравнения индексируемого показателя каждого перио­да с соответствующим показателем одного периода, принятого за базу сравнения.

В табл. 9.1. приведены цепные и базисные индивидуальные индексы цен и физического объема продукции (услуг).

Таблица 9.1