Моменты распределения первых четырех порядков

Порядок момента к	Момент распределения
начальный	центральный	условный
Нулевой (к=0)
Первый (к=1)
Второй (к =2)
Третий (к=3)
Четвертый (к=4)

Однако вычисления по данным формулам достаточно громоздки. Поэтому для их упрощения используют закономерности взаимосвязи между начальными, центральными и условными моментами:

;

Анализ табл. 6.4 позволяет сделать следующие выводы:

§ начальный момент первого порядка представляет собой сред­нюю арифметическую ;

§ центральный момент первого порядка (нулевое свойство средней арифметической) всегда равен нулю;

§ центральный момент второго порядка – дисперсия ;

§ центральный момент третьего порядка используется при определении показателя асимметрии, для характеристики асимметричного распределения, ибо для симметричных рядов всегда ;

§ центральный момент четвертого порядка используется при определении показателя эксцесса.

Рассмотри подробно условные моменты . С их помощью упрощаются вычисления основных характеристик.

При к = 0 получаем начальный момент относительно нуле­вого порядка:

;

При к = 1 получаем момент первого порядка:

и т.д.

Из последней формулы следует, что = + , т.е. средняя арифметическая равна условному моменту первого порядка плюс начало отсчета .

Если отклонения ( ) разделить на общий множитель , а затем умножить полученный момент на этот множитель в соответствующей степени, то, приходим к следующему равенству,

,

где – общий множитель.

Значит, = + .

Следует заметить, что вычисление средней методом отсчета от условного нуля называют методом моментов.

На практике начальные моменты относительно определяются следующим образом:

1. Из всех вариантов вычитают начало отсчета и находят отклоне­ния ;

2. Делят отклонения на общий множитель: ;

3. Вычисляют начальные моменты относительно х'.

4. Умножают найденные начальные моменты на .

Таким образом, в результате такого умножения получают искомые начальные моменты относительно .

Замечание. Метод моментов применяется при расчете средних величин в вариационных рядах с равными интервалами. Расчет ведется по формуле:

= + А;

,

где: - величина момента первого порядка;

- величина интервала;

- центральный вариант ряда (условный 0).

Асимметрия распределения

Как уже отмечалось в § 5.3, если большая часть совокупности расположена левее центра распределения, имеет место левосторонняя асимметрия ( < М_е < М_о), а если правее – правосторонняя (М_о < М_е < ).

Простейшей мерой асимметричности распределения являет­ся отклонение между характеристиками центра распределения. Поскольку в симметричном распределении = Me = Мо, то чем заметнее асимметрия, тем больше отклонение ( -Мо).

Для сравнительного анализа степени асимметрии нескольких распределений рассчитывается коэффициент асимметрии Пирсона:

Если значение <0, то асимметрия является левосторонней (скошенность влево). При =0 распределение является симметричным ( = Me = Мо). Если >0, то наблюдается правосторонняя асимметрия (скошенность вправо). При этом для правосторонней асимметрии выполняется неравенство > Me > Mo, а длялевосторонней - < Me < Mo.

Чем больше абсолютная величина коэффициента, тем больше степень асимметрии. Принято считать, что если , то асимметрия незначительна. Если , то асимметрия значительная.

Графическое изображение асимметрии распределения представ­лено на рис. 6.3.

Рис. 6.3. Асимметрия распределения

Для выявления асимметрии используют несколь­ко показателей. Наиболее надежным считается нормированный коэффициент асимметрии третьего поряд­ка, основанный на вычислении момента третьего по­рядка:

где: - центральный момент третьего порядка.

Он не зависит от масштаба, выбранного при измерении варианта, так как является отвлеченной величиной.

Чтобы можно было сравнивать асимметричность в разных рядах, сопоставляют со средним квадратическим отклонением в кубе.

На направление асимметрии указывает знак коэффициента:

§ < 0 - в ряду распределения преобладают варианты, которые меньше, чем средняя, т.е. ряд отрицательно асимметри­чен (левосторонняя скошенность - более длинная ветвь влево);

§ > 0 - для ряда распределения характерна поло­жительная асимметрия (правосторонняя скошенность - более длинная ветвь вправо);

§ = 0 - симметричное распределение, так как варианты равноудалены от и имеют одинаковую часто­ту, поэтому = 0.

Оценка степени существенности асимметрии дается с помощью средней квадратической ошибки , которая зависит от объема наблюдений n и рассчитывается по формуле:

=

Если то асимметрия существенна и распределение признака в совокупности не является симметричным.

Если то асимметрия несущественна, ее наличие объясняется влиянием случайных факторов.

Эксцесс распределения

Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности). Термин «эксцесс» происходит от лат. «excssus» - отступление, излишество.

Эксцесс – это островершинность или плосковершинность распределения по сравнению с симметричным распределением при той же силе вариации.

Другими словами, эксцесс представляет собой отклонение вершины эмпирического распределения вниз или вверх от вершины кривой симметричного (нормального) распределения. При этом эксцесс определяется только для симметричных и умерено асимметричных распределений.

Показатель эксцесса основан на использовании центрального момента четвертого порядка, и рассчитывается по формуле:

где - центральный момент четвертого порядка.

Знак коэффициента определяет вид распределения:

§ если - плосковершинное распределение;

§ если - симметричное распределение;

§ если - островершинное распределение.

На рис. 6.4 представлены различные виды распределений в зависимости от значений показателя эксцесса.

Рис. 6.4. Эксцесс распределений

Например, при отрицательной величине эксцесса распределение является плосковершинным по сравнению с нормальным распределением. Предельным значением отрицательного эксцесса является значение .

При положительной величине эксцесса, распределение более островершинное, чем нормальное. Величина положительного эксцесса является бесконечной.

В симметричном (нормальном) распределении

Средняя квадратическая ошибка эксцесса зависит от числа наблюдений n и рассчитывается по формуле:

Если отношение принимает значение то отклонение от симметричного распределения считается существенным. Это свидетельствует о существенном характере эксцесса.

Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса позволяет сделать вывод о том, можно ли отнести данное эмпи­рическое распределение к типу нормального распределения.

Контрольные вопросы

1. Что понимают под вариацией признака и чем вызвана необходимость ее изучения?

2. Назовите абсолютные и относительные показатели вариации, дайте их характеристику.

3. Перечислите свойства дисперсии.

4. Сформулируйте «правило трех сигм».

5. В каком случае совокупность единиц считается неоднородной?

6. Как определяются средняя величина и дисперсия альтернативного признака?

7. В чем состоит правило сложения дисперсий?

8. С какой целью используются разные виды дисперсий?

9. Как оценивают тесноту связи между признаками?

10. Какие показатели структуры распределения вам известны?

11. Какие показатели формы распределения вам известны?

12. Дайте определение понятия моментов распределения. Какие моменты распределения вы знаете?

13. В чем состоит метод моментов?

14. Расскажите об асимметрии распределения и методах ее оценки.

15. Что называют эксцессом распределения?

16. С какой целью применяется оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса?