Лекция 14. Метод анализа иерархий и его применение в решении задач многокритериальной оптимизации

Метод анализа иерархий (МАИ) предложен Т. Саати в конце семидесятых годов прошлого века [7.7]. Первоначально метод анализа иерархий предназначался для решения проблемы выбора вооружений. В дальнейшем метод получил более

широкий смысл, как метод комплексного принятия решений и распределения ресурсов.

Основные принципы МАИ основываются на том, что для практических целей система часто рассматривается в терминах ее структуры и функций.

В действительности структура и функции между собой тесно связаны. Структура системы позволяет анализировать ее функции, а в процессе функционирования может измениться структура системы. Иерархия является некоторой абстракцией структуры системы, предназначенной для изучения функциональных взаимодействий ее компонент и их воздействий на систему в целом.

Иерархия есть определенный тип системы, особенность которой заключается в том, что элементы системы могут группироваться в связанные множества. Элементы каждой группы находятся под влиянием другой вполне определенной группы элементов и, в свою очередь, оказывают влияние на элементы другой группы. Будем считать, что элементы в каждой группе иерархии (называемой уровнем, кластером) независимы [7.7]. Заметим, что хотя в этом определении обратная связь не предполагается, тем не менее, многие специалисты считали и считают иерархии важным элементом анализа. Красноречивым подтверждением увлечения иерархическими структурами является следующая цитата из достаточно давно вышедшей книги: «Очевидна огромная сфера приложений иерархической классификации. Это наиболее мощный метод классификации, используемый человеком для приведения в порядок опыта, наблюдений и информации... Использование иерархического упорядочивания, по-видимому, так же старо, как и человеческое мышление...» [Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1993].

Оценка вариантов решений методом анализа иерархий сводится к следующему:

1. Изучаемую систему представляют в виде иерархии, которая изображается графом связей (в простейшем случае типа дерево) между элементами уровней - первый и очень важный этап решения задачи.

Нулевой уровень иерархии {фокус иерархии) - глобальный критерий (цель) системы. Следующими уровнями иерархии могут служить: акторы (1- уровень) - участники процесса, действующие силы, организации, коллективы, поведение и предпочтения которых могут воздействовать на результаты (исходы), виды критериев; цели или критерии, определяющие действие акторов; возможные действия акторов - стратегии; альтернативные варианты решений - сцена­рии прогнозируемого или желаемого будущего, варианты проектов, программ и т.д.

2. Входной информацией для расчетов, выполняемых СППР, служат матрицы парных сравнений приоритетов элементов нижнего уровня иерархии, с точки зрения элементов верхнего (предыдущего) уровня, составляемые экспертами (или руководителями). По этим матрицам СППР рассчитывает вектор относительных приоритетов, являющийся собственным нормированным вектором матрицы суждений, который чаще всего, однако, вычисляется по следующему приближенному алгоритму: в матрице суждений необходимо суммировать элементы каждой строки и нормализовать сумму делением ее на сумму всех элементов матрицы; сумма полученных результатов будет равна единице; первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта, второй - второго и т.д.

Следуя [Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1993] для парных сравнений эффективнее всего использовать 9-балльную шкалу, исходя из которой составляется матрица приоритетов (суждений), хотя при необходимости, могут бить ис­пользованы и лингвистические переменные. Эта 9-балльная шкала выглядит следующим образом:

1 - одинаковая значимость (два сравниваемых фактора (объекта) вносят одинаковый вклад в конечный результат);

3 - слабое преобладание (легкое предпочтение отдается 1 объекту);

5 - существенное преобладание;

7 - очевидное преобладание;

9 - абсолютное преобладание;

2, 4, 6, 8 - промежуточные значения преобладания (например, 2 -слабо-существенное преобладание).

Матрица суждений составляется таким образом, что если приоритет i-ro объекта перед j-м есть b_ij, то приоритет j-го объекта перед i-м - l/b_ij, a b_ii=l и b_ii не равно нулю.

Сложность составления матрицы приоритетов состоит в том, что оценки руководителя могут оказаться несогласованными. Например, сравнивая три объекта C_l, C₂, С₃ они могут дать следующие противо­речивые оценки: C₁ = 5С₂ , C₁= 6С₃ ,С₂ = 4С₃, т.е. С1 = 20С₃ , и Q= 6С₃.

Для контроля согласованности матриц приоритетов вычисляют­ся две характеристики этой матрицы: индекс согласованности (ИС) и отношений согласованности (ОС):

ИС = , где n- размерность матрицы приоритетов (число сравниваемых объектов);

λ_max - наибольшее собственное значение (число) матрицы суждений, которое чаще всего вычисляется по следующему алгоритму, сначала суммируется каждый столбец матрицы суждений, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты, рассчитанного вектора приоритетов, сумма второго столбца на вторую и т.д.; затем полученные числа суммируются и получается значение λ_max.

Можно показать, что при λ_max =n обратно cимметрическая матрица, которой является матрица суждений, является идеально согласованной.

Индекс согласованности, сгенерированный случайным образом, называется случайным индексом согласованности (СИ). В табл. 2 приведены эмпирические значения СИ в зависимости от числа п столбцов (строк) матрицы суждений.

Таблица 1. Эмпирические индексы согласованности (СИ)

n
СИ	0.00	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45	1.49	1.51

Отношение ИС к СИ называется отношением согласованности (ОС) ОС=ИС/СИ. Значение ОС меньшее или равное 0.10 считается приемлемым [7.7], если нет, то руководителю необходимо пересмотреть свои приоритеты или даже саму иерархию.

3. Из векторов приоритетов, оценивающих влияние элементов i+1 го уровня на каждый связанный с ним элемент i-го уровня (связь фиксируется наличием соответствующей дуги в графе иерархии), образуется матрицу приоритетов, которая умножается справа на вектор приоритетов полученный на i-м уровне иерархии и получается вектор приоритетов i+1-го уровня.

4. Последовательное вычисление приоритетов элементов от верхних уровней к нижним позволяет численно оценить влияние всех включенных в иерархию элементов (акторов, стратегий, видов критериев, критериев, сценариев, действий и т. д.) на возможные ис­ходя (терминальные вершины графа иерархии).

5. Сравнивая полученные приоритеты для элементов последнего уровня можно установить соотношения в их значимости (выгодно­сти, эффективности) с точки зрения руководителя. Если задача состоит в выборе одного из альтернативных решений, то предпочтение следует отдать варианту с наибольшим приоритетом.

Рассмотрим пример: осуществление поддержки принятия решений в процессе стратегического управления материально-техническим обеспечением на примере предприятия трубопроводного транспорта нефтепродуктов

Актуальность разработки адекватного метода выбора поставщика связана с одновременным присутствием двух пересекающихся тенденций развития бизнеса. Первая заключается в том, что планирование потребности в материалах, системы своевременности производства и поставок, новый акцент на качество и ориентация на маркетинг приводят к изменению концепции работы с многочисленными поставщиками к работе с одним долгосрочным источником поставок. Вторая тенденция заключается в том, что с развитием того или иного рынка растет количество поставщиков и потребителей. Причем главным фактором является то, что в условиях постоянно обостряющейся конкуренции, с одной стороны, возможные различия между поставщиками становятся менее заметными, постоянно совершенствуются и расширяются условия приобретения товаров и сервис, а с другой стороны, компания-покупатель, находясь в таких же рыночных условиях, вынуждена сама формировать конкурентоспособное предложение с минимальными затратами ресурсов. Обе тенденции усложняют процесс выбора приоритетного поставщика. Критичность возможных последствий принимаемого решения, как с точки зрения экономики предприятия, так и с точки зрения эффективности осуществляемого комплекса маркетинга рассматривается практически во всех работах по логистике современных авторов.

Теперь если рассмотреть существующие методики и модели выбора поставщика, причем выбора – именно как оценки имеющихся кандидатов, позволяющей принимать обоснованный выбор приоритетного поставщика, можно обнаружить следующее. Большинство российских авторов предлагают или экспертные методы оценки или метод средневзвешенной оценки, ограничиваясь при этом рекомендациями по типовому набору оценочных показателей. Зарубежные специалисты приводят модели, сочетающие: экспертную оценку, методы формирования ограничений некоторых показателей и экономические расчеты (модели) с использованием закупочных цен поставщиков. В то же время нет четкой формализованной модели, ориентированной на количественную оценку конечного эффекта, и уж тем более, дающей возможность оптимального выбора нескольких поставщиков при наличии ограничений их производительности. Следствием является то, что многие информационные системы, предусматривая автоматизацию основных функций процессов закупки, сбор и обработку необходимой для принятия решения о выборе поставщика информации, и разработчики, заявляя о наличии функциональности выбора поставщиков, фактически используют только те методы, которые описаны выше.

Вернувшись к актуальности проблемы можно предположить, что сравнение поставщиков по таким показателям как время поставки, возможные отклонения от декларируемого времени поставки, условия платежа и т.п., рассматриваемое путем экспертной оценки, может быть неточным, тем более, если различия между значениями характеристик незначительны при большом количестве поставщиков. В дальнейшем проблематичной оказывается автоматизация данной процедуры, и даже не столько ее формальная автоматизация, сколько последующая работа менеджера с автоматизированной процедурой, так как в основном приходится заносить в аттестационную карточку поставщика не сами значения параметров, а их оценки. И, как показывает практика, в большинстве случаев единственным имеющимся в распоряжении компании «экспертом» является сам менеджер, производящий закупки данной группы товаров, следовательно, при такой экспертной оценке велика доля нежелательного субъективизма. Конечно, экспертная оценка – это универсальный метод, успешно применимый во многих случаях, а зачастую оказывающийся единственно пригодным для оценки, но также необходимо понимать, что применение других методик, основанных на аналитических расчетах, может дать более точный и адекватный результат.

Задача выбора поставщика является многокритериальной задачей, так как решение принимается с учетом многих (иногда противоречивых) решений. Используя разработанную онтологию моделей и методов, находим методы решения подобной многокритериальной задачи. Для решения данной задачи будем использовать метод анализа иерархий (МАИ).

Таким образом, формулируется многокритериальная задача: найти аналитическую модель выбора поставщика, основывающуюся на целесообразности его условий, ориентированную на достижение стратегических целей компании. Именно такой подход опирается на экономические расчеты, стратегическое планирование и проведение маркетинговых исследований. Основой предложенного метода выбора поставщика является построение алгоритмической и математической модели, которая позволяет оценить конечный экономический эффект при работе с выбранным поставщиком в предположении наличия всей необходимой информации, которая может быть обработана современной информационной системой. Речь идет о том, чтобы дать менеджеру инструмент объективной оценки, позволяющий принимать обоснованное решение, соответствующее целям компании.

Модель строится в три этапа по следующему принципу:

1. Определяется критерий оценки поставщика.

2. Устанавливается набор параметров поставщика, отвечающий условиям:

· все параметры являются релевантными для выбранного критерия оценки,

· в совокупности максимально полно описывает поставщика с точки зрения критерия оценки,

· параметры могут быть легко получены из доступных источников и являются универсальными для любого поставщика,

· количество параметров должно быть разумным, чтобы не вызвать затруднений у конечных пользователей модели в текущей деятельности.

3. Разрабатывается алгоритм расчета выбранного критерия оценки на основе выбранных параметров поставщика.

Рассмотрим подробнее. Как уже отмечалось ранее, представленная модель является оптимизационной, следовательно, мы должны определить критерий оптимизации (оценки). Предполагается, что выбор того или иного поставщика определяется его экономической целесообразностью с точки зрения компании, то есть величиной годовой прибыли (до уплаты налогов) при работе с этим поставщиком. Выбор именно годовой прибыли взят из имеющегося опыта и исходит из своего рода оптимизации: с одной стороны выбрать период, соотносимый с периодом работы с одним поставщиком, а с другой стороны являющийся достаточно хорошо прогнозируемым и предсказуемым.

Исходя из приведенных выше соображений о составе критерия оценки и обозначенных требований к набору параметров выделяем характеристики поставщика:

• качество;
• цена товара у поставщика (набор совокупностей: заказываемое количество и цена за единицу);
• дополнительные расходы на обработку поставки (упаковка, обработка, дополнительные коммерческие расходы и т.д.);
• стоимость выполнения заказа (командировки, транспорт, экспедиция и т.д.);
• сроки поставки;
• возможные отклонения от установленного срока поставки (дисциплина);
• минимальный и максимально возможный объем одной поставки;
• гарантированная производительность;
• условия платежа (набор совокупностей: доля от общей суммы и срок отсрочки для данной доли или лимит кредитования);
• вероятность стабильности заявленного уровня условий в течение года.

Пусть известно, что для выявления оптимальной поставки продукции в результате анализа определено три варианта поставщиков: Поставщик №1 (D1), Поставщик №2 (D2), Поставщик №3 (D3).

Предположим, что из множества показателей эффективности выбора оптимальной поставки продукции руководитель выбрал сле­дующие показатели (критерии):

В1. Экономические показатели

С1. Стоимость поставки

С2. Срок поставки

СЗ. Условия оплаты

В2. Технические показатели

С4. Транспортировка

С5. Хранение

С6. Степень соответствия требуемым техническим характеристикам

С7. Гарантированная производительность

В3. Сервисные показатели

С8. Гарантийный срок

С9. Пусконаладка оборудования

С10. Послепродажное обслуживание

Руководителю необходимо выбрать лучший вариант разработки, с учетом набора этих показателей эффективности.

Для поставленной задачи можно построить следующую иерар­хию: (рис. 4.4). Оптимальная поставка → Виды критериев → Критерии → Поставщики.

Оптимальный выбор поставщика осуществляется экспертами на основании данных о конкурсных предложениях полученных из базы данных ERP-ситемы Novision в отношении предложенных критериев поставки продукции.

Рис. 4.4 – Иерархия выбора оптимального поставщика

Здесь буквами В обозначены виды критериев (показателей) оптимальной поставки, буквы С обозначают кон­кретные критерии, буквы D — поставщики.

В данном примере, как и большинстве случаев, встречающихся при решении реальных стратегических задач, каждый из показателей имеет свою размерность. Однако в соответствии с методом анализа иерархий все значения матрицы должны быть одной размерности, поэтому требуется задать общую шкалу. В качестве шкалы выберем ряд значений от 1 до 9 предложенный Т. Саати:

1 - одинаковая значимость (два сравниваемых фактора (объекта) вносят одинаковый вклад в конечный результат);

3 - слабое преобладание (легкое предпочтение отдается 1 объекту);

5 - существенное преобладание;

7 - очевидное преобладание;

9 - абсолютное преобладание;

2, 4, 6, 8 - промежуточные значения преобладания (например, 2 -слабо-существенное преобладание).

Матрица парных сравнений (суждений или приоритетов), построенная на основе полученных оценок экспертов, оказались следующей:

Таблица 2

1-ый уровень иерархии

Матрица приоритетов показателей эффективности поставки (видов критериев)

A	В1	В2	В3	по строке	П(A)
В1					0,57
В2	1/2			4,5	0,32
В3	1/5	1/3		1,53	0,11

Сумма всех элементов матрицы равна 14,03; П – вектор приоритетов.

λ_max = (1+0.5+0.2)0.57+(2+1+0.33)0.32+(5+3+1)0.11=3,025

ИС=0,01, то есть эта матрица является согласованной.

Таблица 3

2-ой уровень иерархии

Матрицы приоритетов показателей эффективности поставки (критериев)

В1	В1С1	В1С2	В1С3	по стро­ке	П(B1)
В1С1		1/3		3,33	0,25
В1С2			1/4	4,25	0,32
В1С3	1/2			5,5	0,42
B2	В2С4	В2С5	В2С6	В2С7	по строке	П(B2)
В2С4						0,35
В2С5	1/2				9,5	0,37
В2С6	1/5	1/3			4,53	0,18
В2С7		1/5	1/3		2,53	0,10
В3	В3С8	В3С9	В3С10	по стро­ке	П(B3)
В3С8		1/3	1/5	1,53	0,11
В3С9					0,37
В3С10					0,52

Матрица приоритетов критериев выбора (табл. 4.8) содержит три вектора приоритетов, каждый из которых нормирован и представляет набор критериев определенного вида. Однако как следует из матрицы приоритетов видов критериев (табл. 4.7) каждый вид критериев также имеет свой приоритет, поэтому, чтобы получить истинные значения векторов приоритетов, необходимо умножить соответствующий вектор П(Bi) на соответствующее ему элемент вектора П(A):

||П(Bi)||= ||П(A)||= ||П(A,Bi)||=

0,25 0,15

0,32 * 0,57 = 0,19

0,42 0,24

-----

0,35 0,11

0,37 * 0,32 = 0,12

0,18 0,06

0,10 0,03

-----

0,11 0,01

0,37 * 0,11 = 0,04

0,52 0,06

После этого шага составляется 10 матриц (по числу кри­териев) приоритетов вариантов выбора оптимального поставщика (табл. 4.9):

Таблица 4

3-й уровень иерархии

Матрицы приоритетов вариантов выбора оптимального поставщика

С1	C1D1	C1D2	C1D3	по строке	П(C1)
C1D1					0,54
C1D2	1/2		1/4	1,75	0,12
C1D3	1/5			5,2	0,35
С2	C2D1	C2D2	C2D3	по строке	П(C2)
C2D1			1/2	4,5	0,42
C2D2	1/3			2,33	0,22
C2D3					0,37
С3	C3D1	C3D2	C3D3	по строке	П(C3)
C3D1		1/3		5,33	0,41
C3D2			1/2	4,5	0,34
C3D3	1/4			3,25	0,25
С4	C4D1	C4D2	C4D3	по строке	П(C4)
C4D1			1/2	2,5	0,28
C4D2					0,32
C4D3					0,42
С5	C5D1	C5D2	C5D3	по строке	П(C5)
C5D1		1/3		2,33	0,22
C5D2			1/2	4,5	0,42
C5D3					0,37
С6	C6D1	C6D2	C6D3	по строке	П(C6)
C6D1					0,55
C6D2	1/2			2,5	0,23
C6D3	1/3			2,33	0,22
С7	C4D1	C4D2	C4D3	по стро­ке	П(C7)
C7D1			1/2	5,5	0,47
C7D2	1/4			2,25	0,19
C7D3					0,34
С8	C5D1	C5D2	C5D3	по строке	П(C8)
C8D1					0,29
C8D2			1/3	2,33	0,23
C8D3					0,48
С9	C6D1	C6D2	C6D3	по строке	П(C9)
C9D1					0,7
C9D2	1/2		1/3	1,83	0,17
C9D3					0,46
С10	C6D1	C6D2	C6D3	по строке	П(C10)
C10D1		1/2		5,5	0,47
C10D2					0,34
C10D3	1/4			2,25	0,19

Далее из десяти полученных СППСР векторов-столбцов приоритетов ею формируется матрица приоритетов третьего уровня иерар­хии, которая умножается на векторы приоритетов П(A,Bi) полученный на пре­дыдущем шаге (аналогично вычислению векторов приоритетов П(A,Bi)) и получаются векторы приоритетов вариантов выбора оптимального поставщика П(A,Bi,Ci) (табл. 10). В таблице 10 приведены значения с учетом умножения на соответствующие векторы П(A,Bi).

Глобальный приоритет каждого из поставщиков получается как сумма по строкам матрицы приоритетов выбора оптимального поставщика.

Глобальный приоритет первого поставщика:

0,078 + 0,077 + 0,097 + 0,03 + 0,026 + 0,031 + 0,015 + 0,004 + 0,015 + 0,026 = 0,4

Глобальный приоритет второго поставщика:

0,017 + 0,04 + 0,083 + 0,036 + 0,049 + 0,013 + 0,006 + 0,003 + 0,007 + 0,019 = 0,27

Глобальный приоритет третьего поставщика:

0,051 + 0,068 + 0,06 + 0,048 + 0,044 + 0,012 + 0,011 + 0,006 + 0,019 + 0,011 = 0,33